完整版水平宽铅垂高求三角形面积doc.docx
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作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
S△ABC=1\2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的
距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”.我们
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点
O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在
（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？
若存在，求出点C的坐标；若不
存在，请说明理由.（4）如果点P是
（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最
大面积？
若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
解：
（1）B（1，3）
（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+a），代入点B（1,3），得a3，因此y3x223x
333
（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.
k3
设直线AB为y=kx+b.所以kb3,解得3，因此直线AB为y3x23，当x=－1时，y3，
2kb0.23333b
3
因此点C的坐标为
（－1，
3/3）.
（4）如图，
过P
作y轴的平行线交AB于D
SSS1（y
SPABSPADSPBD2（yD
yP）（xBxA）
13
x
23
32x
23x3
23
3
3
3
32
x
3x
x
3
2
2
3x
x
2
1
93
2
2
8
当x=－1时，△PAB的面积的最大值为93，此时P1,3
2824
例2．（2014益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0），交y轴于点B.
（1）求抛物
连结PA，PB，当P点运动到顶点
线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，
1
（2）因为C点坐标为（１,4）所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2SCAB323（平方单位）
2
（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则
229129
hy1y2（x22x3）（x3）x23x由S△PAB=S△CAB得3（x23x）3化简
828
线的解析式；
（2）设
（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的
周长最小？
若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在
（1）中的抛物线上的第二象限上
明理由.
解：
（1）将A（1，0），B（－3，
0）代y
x2bx
c中得
c＝0
3b
c0
∴抛物线解析式为：
y
x22x
（2）存在。
理由如下：
由题知A、B两点关于抛物线的对称轴
1对称
∴直线BC与x1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小
2x
∴C的坐标为：
（0，3）直线BC解析式为：
yx3Q点坐标即为
的解
x3
x1
∴Q（－1，2）
y2
3）答：
存在。
理由如下：
12（x
3
2
3
2
（x，
x22x
3）
（3x
0）∵
SBPCS四边形BPCO
S四边形BPCO
＝SRt
S直角梯形PEOC
SBPC就最大，
BPE
3）（
x22x
3）
1（x）（
2x
2x
33）＝
有最大值，则
P点
S四边形BPCO最大值＝
x22x3145
27
8
点P
SBOCS四边形BPCO若S四边形BPCO
211
BEPEOE（PEOC）
22
2（x
2）
2
8
最大＝
9
27
9
27
2
8
2
8
3
15
（32，
）
4
标为
SBPC
332927
y
C
C
Q
4
同学们可以做以下练习：
存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。
图②
图①
3.（2015年恩施）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数错误!
未找到引用源。
的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP错误!
未找到引用源。
C，那么是否存
在点P，使四边形POP错误!
未找到引用源。
C为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
解：
（1）将B、C两点的坐标代入得
错误!
未找到引用源。
解得：
所以二次函数的表达式为
错误!
未找到引用源。
引用源。
（2）存在点P，使四边形POP错误!
未找到引用源。
C为菱形．设P点坐标为（x，错误!
未找到引用源。
），PP错误!
未找到引用源。
交CO于E若四边形POP错误!
未找到引用源。
C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP错误!
未找到引用源。
则PE⊥CO于E，∴OE=EC=错误!
未找到引用
源。
错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
解得错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
，错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
∴P点的坐标为（
错误!
未找到引用源。
不合题意，舍去）
）错误!
未找到引用源。
3）过点P作错误!
未找到引用源。
轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，错误!
未找到
引用源。
），易得，直线BC的解析式为错误!
未找到引用源。
则Q点的坐标为（x，x－3）
错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
当时，四边形ABPC的面积最大
错误!
未找到引用源。
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积错误!
未找到引错误!
未找到引用源。
用源。
．
25．（2015绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为
A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
1）
求抛物线的函数解析式，并写出顶点
D的坐标；
3）
在直线EF上求一点H，使△CDH
的周长最小，并求出最小周长；
若点K在x轴上方的抛物线上运动，
当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？
并求出最大
面积．
0，3），（0，－1），求△
DH+CH=DH+HB=BD=BM2DM2313．
2
∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=．
2
2k1b10,3设直线BD的解析式为y=k1x+b，则9解得k13，b1=3．
k1b19,12
2
所以直线BD的解析式为y=3x+3．由于BC=25，CE=BC∕2=5，Rt△CEG∽△COB，
2
13得CE:
CO=CG:
CB，所以CG=2.5，GO=1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线EF的解析式为y=1x+3．
22联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（3，15）．
48
（3）如图所示，设K（t，1t2t4），xF2
则KN=yK－yN=1t2t4－（
1t+3）
1t2
3t
5．
2
22
2
2
2．
所以S△EFK=S△KFN+S△KNE
1
=KN（t+
3）+1
KN（1
－t）=
2KN
=－t2－3t+5=
－（t+3）
229
+
2
2
2
4
即当t=－3时，△EFK的面积最大，
最大面积为
29，
，
此时
K（－
3，
，
35）．
2
4
2
8
平面直角坐标系中三角形面积的求法
.解题时我们要注意其中的解题方法和解题
我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题技巧.
1．有一边在坐标轴上：
例1：
如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），ABC的面积.
分析：
根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，
由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是
A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.
2．有一边与坐标轴平行：
例2：
如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求△ABC的面
积.
分析：
由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB
与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.
3．三边均不与坐标轴平行：
4．三角形面积公式的推广：
过△ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出1一种计算三角形面积的新方法：
S△ABC=1ah
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
例4：
已知：
直线l1：
y=﹣2x+6与x轴交于点A，直线l2：
y=x+3与y轴交于点B，直线l1、l2交于点C．（Ⅰ）建立平面直角坐标系，画出示意图并求出C点的坐标；
（Ⅱ）利用阅读材料提供的方法求△ABC的面积．
5．巩固练习：
k'
1）已知：
如图，直线ykxb与反比例函数y（x<0）
x
点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.（Ⅰ）试确定反比例函数的关系式；
（Ⅱ）求△AOC的面积．
2）如图，在直角坐标平面内，函数y
m（x0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a1．过x
点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB．
若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
3）已知，直线
与x轴、
y轴分别交于点
A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰
Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．Ⅰ）求三角形ABC的面积S△ABC；
Ⅱ）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；Ⅲ）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．
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