概率论和数理统计吴赣昌主编课后习题答案解析.docx

概率论和数理统计吴赣昌主编课后习题答案解析.docx

《概率论和数理统计吴赣昌主编课后习题答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论和数理统计吴赣昌主编课后习题答案解析.docx（79页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

概率论和数理统计吴赣昌主编课后习题答案解析

习题1试说明随机试验应具有的三个特点．

习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示"第一次出现正面","两次出现同一面","至少有一次出现正面",试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.

1.2随机事件的概率

1.3古典概型与几何概型

1.4条件概率

1.5事件的独立性

复习总结与总习题解答

习题3.证明下列等式：

习题5.

习题6.

习题7

习题8

习题9

习题10

习题11

习题12

习题13

习题14

习题15

习题16

习题17

习题18

习题19

习题20

习题21

习题22

习题23

习题24

习题25

习题26

第二章随机变量及其分布

2.1随机变量

习题1随机变量的特征是什么？

解答：

①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.

②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.

③随机变量取特定值的概率大小是确定的.

习题2试述随机变量的分类.

解答：

①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.

习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个,观察号码是"小于5","等于5","大于5"的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.

解答：

分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果"小于5","等于5","大于5",则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：

             X=X<ω>={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3

则X取每个值的概率为

   P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,

   P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,

   P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.

2.2离散型随机变量及其概率分布

习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.

解答：

由P{X=1}=P{X=2}, 得

                 λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.

习题2

设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,

试求<1>P{12P{1≤X≤3};   <3>P{X>3}.

解答：

<1>P{12

<2>P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

              =115+215+315=25;

<3>P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.

习题3

已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.

解答：

依题意知,12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得

                 c=3716=2.3125.

由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}

                   =12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.

习题4

一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.

解答：

随机变量X的可能取值为3,4,5.

P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,

所以X的分布律为

X

3

4

5

pk

1/10

3/10

3/5

习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务,每出租一辆汽车,可从出租公司得到3元.因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元,设每天出租汽车数X是一个随机变量,它的概率分布如下：

X

10

20

30

40

pi

0.15

0.25

0.45

0.15

求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.

解答：

因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：

   P{3X>60}, 即P{X>20},

   P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.

就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.

习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求：

<1>X的概率分布；            <2>P{X≥5};

<3>在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?

解答：

<1>P{X=k}=<1-p>kp=<0.9>k×0.1,k=0,1,2,⋯;

<2>P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞<0.9>k×0.1=<0.9>5;

<3>设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件,则m应满足

P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4.由于

      P{X≤m-1}=∑k=0m-1<0.9>k<0.1>=1-<0.9>m,

故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,

因此,以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.

习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时,投篮命中的概率分布.

解答：

此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量,设为X, 它可能的值只有两个,即0和1.

X=0表示未投中,其概率为 p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,

X=1表示投中一次,其概率为         p2=P{X=1}=0.6.

则随机变量的分布律为 

X

  0 

  1 

P

 0.4 

 0.6 

习题8某种产品共10件,其中有3件次品,现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布.

解答：

设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为

P{X=0}=C73C103=35120,     P{X=1}=C73C31C103=36120,

P{X=2}=C71C32C103=21120,    P{X=3}=C33C103=1120.

X的分布律为

 X

   0123 

 P

习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.

解答：

由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.

设第k次才取到正品<前k-1次都取到次品>, 则随机变量X的分布律为

    P{X=k}=310×310×⋯×310×710=<310>k-1×710,k=1,2,⋯.

习题10设随机变量X∼b<2,p>,Y∼b<3,p>, 若P{X≥1}=59, 求P{Y≥1}.

解答：

因为X∼b<2,p>,

P{X=0}=<1-p>2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.

因为Y∼b<3,p>, 所以 P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-<2/3>3=19/27.

习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.

解答：

以X记纺锭断头数,  n=800,p=0.005,np=4,

应用泊松定理,所求概率为：

    P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b

                 ≈∑k=02P=e-4<1+41!

+422!

>≈0.2381.

习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.

解答：

\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即

              λ11!

e-λ=λ22!

e-λ⇒λ=2,

∴P{X=0}=e-2,

∴p=4=e-8.

2.3随机变量的分布函数

习题1F={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0, 是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量.

解答：

离散.

由于F是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.

习题2设F={0x<0x20≤1,1x≥1 问F是否为某随机变量的分布函数.

解答：

首先,因为0≤F≤1,∀x∈<-∞,+∞>.

其次,F单调不减且右连续,即

         F<0+0>=F<0>=0,  F<1+0>=F<1>=1,

且       F<-∞>=0,F<+∞>=1,

所以F是随机变量的分布函数.

习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,

试写出X的分布函数F,并画出图形.

解答：

由题意知X的分布律为：

X 

  135 

 Pk

 .2

所以其分布函数F=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.

F的图形见图.

习题4设离散型随机变量X的分布函数为    F={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,

试求：

<1>X的概率分布；    <2>P{X<2∣X≠1}.

解答：

<1>

 X

-113 

 pk

 .2

<2>P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.

习题5设X的分布函数为

           F={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,

求P{0.40.5},P{1.7

解答：

P{0.4=<1.3-0.5>-0.4/2=0.6,

P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F<0.5>=1-0.5/2=0.75,

P{1.7-F<1.7>=1-1=0.

习题6设随机变量X的分布函数为

        F=A+Barctanx<-∞,

试求：

<1>系数A与B;        <2>X落在<-1,1]内的概率.

解答：

<1>由于F<-∞>=0,F<+∞>=1, 可知

          {A+B<-π2>A+B<π2>=1=0⇒A=12,B=1π,

于是 F=12+1πarctanx, -∞

<2>P{-1-F<-1>

 =<12+1πarctan1>-[12+1πarctanx<-1>]

 =12+1π⋅π4-12-1π<-π4>=12.

习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.

解答：

 F=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x

 2.4连续型随机变量及其概率密度

习题1设随机变量X的概率密度为

f=12πe-24<-∞,则Y=¯∼N<0,1>.

解答：

应填3+X2.

由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N<0,1>, 所以Y=3+X2∼N<0,1>.

习题2已知X∼f={2x,0.

解答：

P{X≤0.5}=∫-∞0.5fdx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,

P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5fdx-∫-∞0.5fdx=0.

当X≤0时,F=0;

当0=∫-∞xfdt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;

当X≥1时,F=∫-∞xfdt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故

            F={0,x≤0x2,0

习题3设连续型随机变量X的分布函数为

 F={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：

<1>A,B的值；<2>P{-1概率密度函数F.

解答：

<1>\becauseF<+∞>=limx→+∞=1,  ∴A=1;

又 \becauselimx→0+=F<0>=0,     ∴B=-1.

<2> P{-1-F<-1>=1-e-2.

<3>f=F′={2e-x,x>00,x≤0.

习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F.

解答：

由概率密度函数的性质知,∫-∞+∞fdx=1, 即

                      ∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,

而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx

              =Aex∣-∞0+<-Ae-x∣0+∞>=A+A=2A

或   ∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A, 所以2A=1, 即A=1/2.

从而f=12e-∣x∣,-∞=∫-∞xfdt, 所以

当x<0时,F=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;

当x≥0时,F=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt

               =12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,

从而F={12ex,x<01-12e-x,x≥0.

习题5某型号电子管,其寿命<以小时计>为一随机变量,概率密度

                 f={100x2,x≥1000,其它,

某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.

解答：

设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为

    P{X>150}=∫150+∞fdx=∫150+∞100x2dx

              =-100x∣150+∞=100150=23,

从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为  p=<2/3>3=8/27.

习题6设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.

解答：

设X为每位乘客的候车时间,则X服从[0,5]上的均匀分布.设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数.由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布,其参数

             n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,

所以        P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.

习题7

设X∼N<3,22>.<1>确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};<2>设d满足P{X>d}≥0.9, 问d至多为多少?

解答：

因为X∼N<3,22>, 所以X-32=Z∼N<0,1>.

<1>欲使P{X>c}=P{X≤c}, 必有1-P{X≤c}=P{X≤c}, 即 P{X≤c}=1/2,

亦即Φ=12, 所以c-32=0, 故c=3.

<2>由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9, 即             P{X≤d}≤0.1.

于是Φ≤0.1,Φ<3-d2>≥0.9.查表得3-d2≥1.282, 所以d≤0.436.

习题8

设测量误差X∼N<0,102>, 先进行100次独立测量,求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.

解答：

先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,

    p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}

      =1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ<1.96>-Φ<-1.96>]

     =1-[2Φ<1.96>-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.

设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数,则Y∼b<100,0.05>.

因为n很大,p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ, 所以

    P{Y≥3}≈1-50e-50!

-51e-51!

-52e-52!

=1-3722-5≈0.87.

习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定.根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N<4000,3600>.假定车间主任希望10%的工人获得超产奖,求：

工人每月需完成多少件产品才能获奖？

解答：

用X表示工人每月需装配的产品数,则X∼N<4000,3600>.

设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=0.1, 即

                 1-P{X

所以1-F=0.1, 即  1-Φ=0.1, 所以Φ=0.9.

查标准正态人分布表得Φ<1.28>=0.8997, 因此  x-400060≈1.28, 即x=4077件,

就是说,想获超产奖的工人,每月必须装配4077件以上.

习题10某地区18岁女青年的血压<收缩压,以mm-HG计>服从N<110,122>. 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X.<1>求P{X≤105},P{100确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.

解答：

已知血压X∼N<110,122>.

<1>P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ<0.42>=0.3372,

 P{100-Φ<100-11012>

                 =Φ<0.833>-Φ<-0.833>=2Φ<0.833>-1≈0.595.

<2>使P{X>x}≤0.05, 求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即 Φ≥0.95,

查表得x-10012≥1.645, 从而x≥129.74.

习题11设某城市男子身高X∼N<170,36>, 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.

解答：

X∼N<170,36>, 则X-1706∼N<0,1>.

设公共汽车门的高度为xcm,由题意P{X>x}<0.01, 而

             P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ<0.01,

即Φ>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.

因此,车门的高度超过183.98cm时,男子与车门碰头的机会小于0.01.

习题12某人去火车站乘车,有两条路可以走.第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间<单位：

分钟>服从正态分布N<40,102>; 第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N<50,42>, 求：

<1>若动身时离开车时间只有60分钟,应走哪一条路线？

<2>若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线？

解答：

设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间,则 X∼N<40,102>,Y∼N<50,42>. 

哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.

<1>因为P{X<60}=Φ<60-4010>=Φ<2>=0.97725,P{Y<60}=Φ<60-504>=Φ<2.5>=0.99379,

所以有60分钟时应走第二条路.

<2>因为P{X<45}=Φ<45-4010>=Φ<0.5>=0.6915,

       P{X<45}=Φ<45-504>=Φ<-1.25>=1-Φ<1.25>=1-0.8925=0.1075

所以只有45分钟应走第一条路.

 2.5随机变量函数的分布

习题1已知X的概率分布为

X

-2

-1

0

1

2

3

pi

2a

1/10

3a

a

a

2a

试求：

<1>a;    <2>Y=X2-1的概率分布.

解答：

<1>\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,

∴a=1/10.

<2> 

Y

-1

0

3

8

pi

3/10

1/5

3/10

1/5

习题2设X的分布律为P{X=k}=12k,k=1,2,⋯, 求Y=sinπ2X的分布律.

解答：

因为 sinxnπ2={1,当n=4k-10,当n=2k-1,当n=4k-3,

所以Y=sin<π2X>只有三个可能值-1,0,1. 容易求得P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815

故Y的分布律列表表示为

Y 

 -101

 P

 21513815

习题3

设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,令Y=cX+d, 试求随机变量Y的密度函数.

解答：

 fY={fX⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,

当c>0时,fY={1c,ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时,fY={-1c,cb+d≤y≤ca+d0,其它.

习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=eX的概率密度fY.

解答：

f={1,0≤x≤10,其它,

f=ex,x∈<0,1>是单调可导函数,y∈<1,e>, 其反函数为x=lny, 可得

       f={fX∣ln′y,1

习题5设X∼N<0,1>,求Y=2X2+1的概率密度.

解答：

因y=2x2+1是非单调函数,故用分布函数法先求FY.

    FY=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}<当y>1时>

         =P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,

所以fY=F′Y=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是

     fY={12πe-y-14,y>10,y≤1.

习题6设连续型随机变量X的概率密度为f, 分布函数为F, 求下列随机变量Y的概率密度：

<1>Y=1X;     <2>Y=∣X∣.

解答：

<1>FY=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.

①当y>0时,FY=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}

         =P{X≤0}+P{X≥1/y}=F<0>+1-F<1/y>,

故这时fY=[-F<1y>]′=1y2f<1y>;；

②当y<0时,FY=P{1/y≤X<0}=F<0>-F<1/y>,

故这时fY=1y2f<1y>;

③当y=0时,