510 加乘法原理应用一.docx

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510加乘法原理应用一

10加、乘法原理应用

（一）

学习目标:

1、正确理解加法原理和乘法原理的意义，能结合树形图帮助理解加法原理和乘法原理。

2、正确区分加法原理和乘法原理，理解与掌握加法原理是与分类相关，乘法原理是与分步相关的。

3、培养学生分析问题解决问题的能力，让孩子认识到数学知识在实际生活中的运用。

教学重点:

1、理解掌握加法原理和乘法原理。

2、能区分加法原理和乘法原理，理解何谓“分类用加法，分步用乘法”。

教学难点：

能区分加法原理和乘法原理，理解何谓“分类用加法，分步用乘法”。

教学过程：

一、情景体验

生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中,又有几种不同的做法。

那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到今天我们要学习的加法原理和乘法原理来解决。

（板书：

加、乘法原理应用一）

先通过简单的题目来认识加法原理和乘法原理吧。

1、某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津。

那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法吗？

师：

读完题，可知从北京去天津，既可以乘坐火车，也可以乘长途汽车，这两种乘车方式是相互独立的。

我们把这两种乘车方式看作是两类，第一类乘火车，每天有五次，也就是有5种选择。

第二类乘长途汽车，每天有4趟，就是有4种选择。

所以从北京去天津一共有5+4=9种不同的走法。

像这样，用加法来计算就是今天要学习的新内容：

加法原理。

加法原理：

一般地，如果完成一件事需要k类方法，第一类方法中有m1种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法……第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+……+mk种不同的方法。

2、某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会。

其中，他从北京到大连可以乘汽车、火车或飞机，而他从大连到天津只能乘汽车或飞机。

那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？

师：

这道题稍微变化了，从北京到天津中途要经过大连，思考一下，有多少种不同的走法呢？

学生讨论交流，列举说出自己的想法。

师通过PPT展示六种走法

如果是乘飞机从北京到大连，再从大连到天津有飞机、汽车两种方法；

如果是乘火车从北京到大连，再从大连到天津有飞机、汽车两种方法；

如果是乘汽车从北京到大连，再从大连到天津有飞机、汽车两种方法；

因此除了一一列举，还可以列算式计算：

3×2=6（种）

师：

本题中从北京到天津，中途要经过大连，也就是分成北京-大连、大连-天津，我们可理解成分成了2个步骤。

第一个步骤北京-大连有3种方法，第二个步骤大连-天津有2种方法。

因为这2个步骤不能独立存在，因此要完成从北京到天津一共有6种不同的方法。

像这样，用乘法来计算就是今天要学习的第二个内容：

乘法原理。

乘法原理：

一般地，如果完成一件事需要m个步骤，其中，做第一步有a1种不同的方法，做第二步有a2种不同的方法……做第m步有am种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=a1×a2×……×am种不同的方法。

师强调小结：

在乘法原理中，完成一件事要分成若干个步骤，每一个步骤要一个接一个地进行（每一个步骤都是必不可少），才能完成这件事。

凡是“分步”完成的事情用乘法原理。

在加法原理中，把完成一件事的各种办法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成这件事。

凡是“分类”完成的事情用加法原理。

二、思维探索（建立知识模型）

展示例1

例1：

王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：

报名的结果会出现多少种不同的情形？

学生读题

师：

题目问的是报名的结果会出现多少种不同的情况，报名的结果是属于分步还是分类呢？

生：

报名的结果会因为每个人的选择不同而不同，应该属于分步。

师：

是的，举个例子，如果王英选择跳远，赵明也选择跳远，李刚就可以选择四项中的一项，有4种结果。

如果赵明不是选择跳远而是其他的一项，李刚同样又有四种选择。

因此报名结果就需要分成王英、赵明、李刚三步，看每步中各有多少种方法。

师：

有四项比赛，王英有4种选法，赵明也有4种选法，李刚也有4种选法，因此报名结果就有4×4×4=64（种）不同的情况。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

三、思维拓展（知识模型拓展）

展示例2

例2：

下图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并且使每行每列只能出现一个棋子，问：

共有多少种不同的放法？

学生读题

师：

大家先动手填一填，做一做。

学生动手，老师可提问学生是怎么思考的。

师：

现在要把四个不同的棋子放在方格里，是分步放，还是分类放？

生：

分步放，每一步都不能独立完成。

师：

是的，做题之前一定要先判断是分步用乘法原理，还是分类用加法原理。

本题中，要把四个不同的棋子放进方格，一个一个放，需要分成四个步骤，因此属于分步，用乘法原理。

师结合PPT讲解：

首先来放A，很明显有16种放法。

然后放B，因为题目要求每行每列只能出现一个棋子，不妨把A放在第一行第一列，那么B就不能放第一行第一列的方格，有9种放法。

不妨把B放在第二行第二列。

接着放C，同样的，C不能放第一二行和第一二列的方格，有4种放法。

最后放D，因为A、B、C都已经放入方格，并且所在的行、列都不能放，D只有1种放法。

因此，最后一共有16×9×4×1=576（种）不同的放法。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

展示例3

例3：

有4袋品种不同的酥糖和3袋品种不同的奶糖，每袋一样重，如果每次取3袋酥糖和2袋奶糖合成什锦糖，可合成多少种不同的什锦糖？

学生读题

师：

本题用什么原理呢？

学生思考回答，说出自己的想法，师再补充说明。

师：

合成什锦糖，要分成两部分，酥糖和奶糖，属于分步完成，用乘法原理。

师：

第一步选择酥糖，从4袋品种不同的酥糖中取出3袋，怎么取？

有几种取法？

生：

可以一一列举出来。

师：

是的，假设有A、B、C、D四种不同的酥糖，取出3袋，可以是ABC、ABD、ACD、BCD，有4种取法。

师：

第二步选择奶糖，从3袋品种不同的奶糖中取出2袋，怎么取？

有几种取法？

生：

同样的列举出来。

师：

大拇指给你点赞，真棒！

假设有①、②、③三种不同的奶糖，取出2袋，可以是①②、①③、②③，有3种取法。

师：

所以，列式子就是4×3=12（种）

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例4

例4：

已知一个三位数，各位上数字之和是24，这样的三位数一共有多少？

学生读题

师：

三位数的各数位数字之和是24，想一想，哪些数符合呢？

生：

8+8+8=24

师：

8、8、8可以组成几个三位数？

生：

888，一个。

师追问：

除了8、8、8以外，还有其他数字相加和是24吗？

生1：

9、8、7

生2：

9、9、6

师：

9、8、7可以组成几个三位数？

生：

987、978、897、879、798、789，六个。

师：

那么9、9、6可以组成几个三位数？

生：

996、969、699，三个。

师：

所以这样的三位数一共有多少个？

生：

1+6+3=10（个）

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

展示例5

例5：

大队辅导员从5张儿童手抄报、4张儿童简笔画、3张书法作品和2篇获奖作文中，任选三张不同类型的作品布置少先队展览橱窗，一共有多少种不同的选法？

学生读题

师：

读完题，思考一下，本题应该先做什么，再做什么？

学生讨论交流

师：

本题中，有儿童手抄报、儿童简笔画、书法作品、获奖作文四种类型作品，首先算出从这四种作品中任选三种不同类型的作品，可以有几种类型？

生：

①儿童手抄报、儿童简笔画、书法作品

②儿童手抄报、儿童简笔画、获奖作文

③儿童手抄报、书法作品、获奖作文

④儿童简笔画、书法作品、获奖作文

师：

然后再来从每种类型中各选一张，有多少种选法。

①儿童手抄报、儿童简笔画、书法作品

从儿童手抄报中选一张有5种选法，从儿童简笔画中选一张有4种选法，从书法作品中选一张有3种选法，所以有5×4×3=60（种）。

同理，可算出②、③、④的选法。

师：

最后把这四种类型的选法相加，一共有60+40+30+24=154（种）。

师引导学生完成计算

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

展示例6

例6：

例6：

A、B、C、D、E五辆车排成一排。

（1）如果C必须排在中间，共有多少种排法？

（2）如果A不在中间，那么有多少种排法？

（3）如果A不在两端，共有多少种排法？

（4）如果A、B必须在两端，共有多少种不同的排法？

学生读题

师：

我们画五个方框表示这五辆车，先来看第

（1）题，要求C必须排在中间，因此C只有1种排法。

那么我们可以采用分步计算，从第一个方框开始，第一个方框可以是什么车？

生：

第一个方框可以是A、B、D、E四个中的一个，有四种排法。

师：

第一个和中间的方框确定了，接下来第二个方框就只能从剩下的三辆车中选，有三种排法。

第四个方框就只能从剩下的两辆车中选，有二种排法。

最后第五个方框就只有一种排法。

分步计算用乘法原理，因此一共有4×3×1×2×1=24（种）排法。

第

（2）题，如果A不在中间，那么A可以选择第一、二、四、五个方框，有四种排法。

同样仍然是分步计算，假设A排在第一个方框，那么第二个方框就从剩下的B、C、D、E四辆车中选一辆，有四种排法。

同理，第三个方框就有三种排法，第四个方框有二种排法，第五个方框有一种排法。

因此一共有4×4×3×2×1=96（种）排法。

第（3）题，如果A不在两端，那么A可以选择第二、三、四个方框，有三种排法。

同样仍然是分步计算，假设A排在第二个方框，那么第一个方框就从剩下的B、C、D、E四辆车中选一辆，有四种排法。

同理，第三个方框就有三种排法，第四个方框有二种排法，第五个方框有一种排法。

因此一共有4×3×3×2×1=72（种）排法。

第（4）题，如果A、B必须在两端，那么有两种排法AB，BA。

同样仍然是分步计算，假设是AB排法，即第一个方框是A，第五个方框是B，那么第二个方框就从剩下的C、D、E三辆车中选一辆，有三种排法。

同理，第三个方框就有二种排法，第四个方框有一种排法。

因此一共有2×3×2×1=12（种）排法。

五、总结

通过这次课的学习，你学到了什么呢？