李同林弹塑性力学第六章平面问题极坐标解答.docx
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李同林弹塑性力学第六章平面问题极坐标解答
第六章平面问题极坐标解答
§6—1平面问题基本方程的极坐标表示
极坐标系0U与直角坐标系oxy、可的关系式如图6—1所示。
x=rcos；y=rsin；r2=x2y2；■tg_1-（a）
x
1.平衡微分方程
我们在物体中取一单位厚度的微分体abed,如图6—2所示，其在r，二方向的
体力分量分别为Fr,F护
该微分单元体abed的中心角为dv，内半径为r，外半径为r+dr。
列出平衡方程丰=0和二F厂0，即
%三心drsi哥rdrsin2
G=dr（rdr）dv-；「rrdv-
汀
dvdrcosdr2drcosdFr（rdv）dr=O
2寸2
dvdrdrcosd廿胡Ioa
（b）
dr
dr
rco4+Sa+^^dr（r+dr）dT-“口闵日
2l廿£r丿灯
=drsin
由于dr是个小量，故取sind—，及cosd1，并略去三阶以上微量，整理后
222
可得：
dQ
r
1
CT
r6
CT-CT
———-Fr=0
r
r
de
r
1
.+
CT
r
JF=0
（6—1）
r
r
r
式（61）第
「式中
匚r
r
及—
r
项为面积增大及方向变化而引起的，
第二式中的2宀
r
项则两者兼有之。
再由iM^O（C为微分体形心），并略去高阶微量，将再次证得剪应力互等定
2.几何方程
在极坐标中，用u，v分别代表A点的径向位移和切向位移，即为极坐标的位移分量。
用；「、上分别代表径向正应变和切向正应变，用y、申代表剪应变。
它
们都是位置坐标r，二的函数。
根据小变形条件，位移均为微量，在导出的过程中都略去高阶微量，不计
的偏转对其长度的影响。
于是由图6—3可得微元体的各应变分量。
u*旦0r_u
:
r
^cv
AB-ABBB-AAr一ABAB
dr
（d）
AD
AD—AD（DD“+GA"—AA）-AD用=比
ADAD
.:
vu
=+—
r.rr
——d日+（r+u）d。
-v-rd。
3）
rd^
（e）
-「2"BAFDAH
丄DD“_AA“
AG-AAGH
在上几式中，由于
中均可略去。
因此,
£u
z=
r■r；
:
v
dr
:
r
cu
drdr
cr
u：
r故一u:
:
：
：
1，ru：
r，
一r
用极坐标表示的几何方程则为:
:
vu
⑰=—-.丫
r石er；
BE-EFDH
ABAH
:
u亠
一UXv：
：
u
c9
v：
：
：
：
：
rd^
rd-
BEAA
AB斎
，故話
（f）
于是在计算
LU
厂v
r
u项为径向位移使半径增大而引起的弧长增大部分；
r
项为由于切向位置移动使径向半径偏斜而引起的整体刚性角位移，应予减去。
式（6—2）第二式中
（6—2）
第三式的丫
r
3.本构方程（Hooke定律）
由于极坐标系也是正交坐标系，所以用极坐标表示的Hooke定律与用直角坐标表示的形式不变。
显然由于局部一点的坐标仍直角坐标系表示的公式中的
（1）平面应力问题
是一个直角坐标系
X、y分别换成r、二即可。
于是有：
因而只需将用
r-
用应力分量表示应变分量,
1/、行二己（，r_，J
（2）平面应变问题：
E（1
（J=
r
r.
（6—3）
r-
ir0
2
（1）
则为:
1
——T
G
（6—4）
（1_巧（1_2。
）IE（1"）r（1+9）（1_2u）（6—5）
rA
2
（1）
若用应力分量表示应变分量，则为：
1
r]•
7
（6—6）
4.极坐标中的应力函数和应变协调方程
平面问题直角坐标系中，当无体积力、或体积力为常量时，由式（式（5—18），可用应力或应力函数表示的连续性方程分别为
5—15）及
）7
4':
（g）
a）得:
F面我们将上列方程变换成用极坐标表示的形式。
据式（
-rsin^
c0
x21-sin^
现求应力函数
COST
（h）
'（r,v）对x及y的微分:
l、r~\
cycr
de
£y
按照式
（i）
和（j），则有
c
1
d护
1
=
co^s
sin=
c
o%-
s
in忡
dx
钉
r
C0
r
j
1
护
1
—
sin+-
coZ
s
in+
c
o%
dy
r
dQ
\.£r
r
dQ
J
可得出
w的二阶偏微分：
（d
1
/
1
-
cos日
sin。
cos9
—
sin日
&®
+
（i）
（j）
cQ
也即:
?
2
.:
r
cos
-2
r\
「r
；2.：
sin2-
■y
.r
cos
.r
sin）cos'sin
汽sin日
cos^
.:
r
cos
L、ra
.r71
cos
.:
r
-2
y--..■-
.r71
占半sin日cos。
+占2®sin
2g2
c9
c6
cos
（k）
一sinrcos^—sin2J:
sin-cos-
.:
r
应用上式（k）中第一及第二式相加，并利用二角公式得
1+
因此，按照上式，在极坐标中用应力函数表示的应变协调方程可表示为下式:
1?
1:
2
++
222
:
rr:
rr门
:
:
2仁
——++
222
r釘r2朋2丿
=0（6—7）
此式即为极坐标中平面问题的双调和方程。
若将此式展开，可得:
4宀2宀2；：
4;:
\、■■
42J2
.rr一.r
42
23
+
3
r汀
1沙
++
4“23
rr；r
此外根据坐标的几何条件式（
可以得出以应变表示的所应满足的应变协调方程
6—2），
（6—8）
采用导出直角坐标应变协调方程的方法，则
为：
22
「,.1.2
222
rr二r：
r
o
1：
r=1：
：
d1：
：
心
2
r:
rr：
rvr丁
（6—9）
为在极坐标中将各应力分量用应力函数表示,
可使x轴与r轴重合，y轴与轴重合
（参考图6—1），也就是使0=0，贝
。
r=ex）z=T円心0
（8“、
。
日十y）心二TT
LX儿=0
r2半、
（m）
Sr=Cxy）Z=丁―
LX咛丿A。
应用式（k），并令式中日=0，得
2
:
1r
+o'
（6—10）
rrr
&2r2
1:
2
rr:
-
若将上式代入平衡方程（6—1）将自动满足。
这就是极坐标中用应力函数表示应力
分量的表达式。
§6—2平面问题的极坐标解法•极坐标轴对称问题
一、求解步骤与应力边界条件
在极坐标中，弹性力学边值问题的解法仍然归结为寻求一个应力函数:
（r^）,
它除了必须满足双调和方程式（6—7）以外，还应由式（6—10）求得的应力分量满足应力边界条件。
根据极坐标的基本方程，其求解问题（应力法）的步骤为：
1）确定体力面力；
2）选取以待定系数表示的应力函数；
3）写出应力分量的表达式，根据应变协调方程和应力边界条件确定待定常数
二、轴对称平面问题
z轴，应力分量不依赖
如果应力分布对称于O点且垂直于厂平面的垂直轴:
于二，而只是
r的函数,
则称为应力分布轴对称问题
由于对称，-必定是零。
这时平衡微分方程式（6—1）变为：
（不计体力）
r0drr
当应力分布轴对称的同时，如果位移也是轴对称的，则称为
（6—11）
完全轴对称问题。
对于平面问题则为完全轴对称平面问题
u=u（r），
6—2）变为：
由于轴对称，这时有
v=0
于是几何方程式（
du
r
dr
（6—12）
对于应力分布轴对称或完全轴对称问题,
d2®
▽A=n
dr2
rdr
同时，双调和方程（
其应力分量都由式（
6—7）可以简化为
1d'd2®1d®>d4申rdr八dr2rdr
6—10）得:
-r=
1d2
（6—13）
2d3
+
43223
drrdrrdrr
这是一个变系数微分方程，也称为Euler方程。
将方程（6—14）化为常系数性微分方程，可引入一个新的参数
t=lnr
dr
0（6—14）
t，
并令:
于是可得：
d④ddtdtdr
徨）d“d叮
I=
drIdt丿drdr
d2「_d_dr2
亡_dd2:
dr3-
rdt
1d®,1d1沪
；3］丄dr（dr2丿drr2
1d八,3「一d2「
dr4r4dt4dt3dt2
将上列各式代入式（6—14）则有：
d"川
4—
dt4dt3
44
rdt
其特征方程为:
—一+_一—r2dtrdridt丿艺］］=丄［dtJi°［
dQ
dt」
d^d2申+2d甲、
r\dt3dt2dt
（b）
（c）
—6
dt丿
「0dt2
（d）
（e）
或K2（K-2）2=0（f）
这个方程有两个重根，则K=0,K=2，与重根对应的积分为：
0-to-t2t
e=1，te-t；e，
t
te；
所以式
（a）的通解为
=AtBte2tCe2tD
（g）
将t二
Inr代入，则上述通解可改写为：
22
9=Alnr+BrInr+Cr+D
（6—15）
将式（6—15）代入应力分量表达式（6—13）得，
A
12B（12lnr）2C
r
a
B（32lnr）2C
r|（6—16）
r厂”=0
式中的待定系数A，B，C可根据具体问题所给定的边界条件予以确定。
下节我们举厚壁圆筒问题为例。
§6—3厚壁圆筒问题的弹性解
考察一厚壁圆筒，管内外沿轴向受均匀分布径向压力Pi和P2（图6—5），其
内外半径分别为a和b。
厚壁筒一般认为b:
a>1.1。
管子长度很长，以致可以认为离两端足够远处的应力和应变分布沿长度方向没有差异。
MTTTTTTH
由对称性可知，原来的任一横截面变形后仍保持平面，沿管轴z向可以假定没有位
移，即w=0。
又由于构件外形及载荷对称于筒轴z，因而应力与应变的分布对称于圆筒中心轴
线。
则每一点的位移仅有径向位移u，而环向位移v=0，且u仅是坐标r的函数。
于是厚壁筒问题是一个完全轴对称的平面应变问题。
其应力分量可由式（6—16）来确定,
A—B（V2lnr）2CrA2B（32lnr）2Cr
r-
而式中的特定系数
Lr）®
代入上式有：
A—B（1a
a
—B（12lnb）2C…p2b
A、B、C可由下述边界条件来确定，即:
（r）r=b
-Pl；
P2
2lna）2C…；
（b）
上式中有三个待定系数，而只有两个边界条件。
因为这是一个多连域问题，还应考查位移单值条件。
由环向位移v=0，且径向位移u与极角二无关，所以几何方程式（6—2）可简化
为式（6—12）:
du
（C）
将平面应变的物理方程代入上式，则有
du
dr
[（1一）匚E
（d）
再将应力分量的表达式
6—16）代入上式（d）的第一式，并对其积分得:
u1+uA'-=——+B[2（1—2u）lnr—1]+2C（1—2）卜+DrEkrJ
式中的D为积分常数。
将式（6—仃）再代入式（e）的第二式，则有:
（f）
+B[2（1_2。
）Inr+（3_4）]+2C（1_2）>
比较式（e）与式（f），可以看出由它们算得的同一点的位移u是不相同的，这说明
对多连域出现了位移的多值解答。
显然根据位移的单值性条件，则必须使上述两位移表达式一致,
D=0。
由此，径向位移表达式，可写为
u1A
—+
2
因此必有B=0，
r
把B=0代入式（
A
cr=+
r2
r
2C（1_2）
E一r2
6—16），则应力分量为
A
+
r2
2C；
7
（6—仃）
（g）
以B=0代入边界条件式（c）可解得:
A=_a2b2e-P2）
22
b-a
把A、C值代入式（h），并由豊
力公式解为（Lame公式）：
2
aP1
-b2p2
2（b2-a2）（h）
则得承受内、外均匀压力的厚壁圆筒的应
2.2
Pia-P2b
（Pi-P2）a2b2
Pia2-P2b
22、2
（b-a）r
22
（Pi一P2）ab
CT
z
把A、C值代入式
b2-a2
Jr）
222
（b-a2）r2
（6—18）
（6—仃）得到平面应变轴对称问题的径向位移公式:
_2）ga2-p?
b2）r（5-P2）a2b2
2丿2222xb-a（b-a）r
（6—19）
P1a2-
P2b2
（P1-
\2^2
P2）ab
rb2-
a2
（b2
-a2）r2
ya2
P2b2
（P1-
P2）a2b2
&b2-
a2
（b2
-a2）r2
z二0
如果为厚壁圆环，即平面应力问题，贝u应力分量为:
其径向位移公式推导方法相似，而径向位移公式则变为:
1〃、（PQ2-P2b2）r川、（P〔-P2）a2b2——（1-2）—2_
（1）一吟ELb-a（b-a）r
（6—20）
在实际问题中最常见的是只有内压的情况，如压力油缸、高压容器、油气井和煤层气井的水力压裂等都属于这种情况。
这时在公式（到应力公式为：
6—18）中，令P2=0，得
.22
b-a
2
22
b-a
2J
P1ab
（b-a2）r2
2J
»ab
2
Pt
ci
z
（b2-a2）r2
.22
b-a
2
“a
22
b-a
2
r丿
亡
r23
（6—21）
（二r二.）
匚丁>0，永为拉应力。
式中的r值恒满足acrv0,永为压应力它的分布情况如图6—6所示。
关于油气井和煤层气井水力压裂的力学机理分析和对水力压裂临界深度值影响的研究，请参阅相关文献。
从图6—6的应力分布图可以看出，当厚壁圆筒仅受内压时，在内表面应力.和二丁都达到最大值，且为异号。
这在设计上是十分不利的。
由下节强度分析可知，如厚壁筒为提高强度而增加壁厚，则收效甚微。
因此工程上为了使应力合理分布，常用组合圆筒方法。
所谓组合圆筒就是将两个或多个圆筒用热压配合或压入配合法套在一起，这种装配应力与内压力引起的工作应力叠加，可大大提高圆筒的承载能力。
这种组合圆筒的问题具有广泛的实际意义，如夹层炮筒、轮轴套合以及压力隧道等的设计均采用此种方法。
§6—4厚壁圆筒问题的弹塑性解
本节将讨论不可压缩理想弹塑材料只受内压的厚壁圆筒问题的弹塑性解答。
现设厚壁圆筒问题仍属平面应变状态，由于在理想塑性情况，按屈服条件和平衡方程联合求解，可求出应力分量的塑性解答，无需使用变形条件和本构关系。
这种问题属于“静定”问题，是塑性力学的最简单问题。
、弹性解（P乞Pe）:
当内压力P1=分量为
P，且不大时，整个厚壁筒处于弹性状态，由式
6—22）
应力
b2-a2
b2'
2
r丿
b2-a2
b2、
2
r丿
（J
z
（a）
从上式，可以看出当
■-=0.5时，；=>二z>匚「。
因此二1二二，2
当p逐渐增大，圆筒开始屈服时，应力应该满足屈服条件。
把式（条件：
z，3
a）代入
CFr。
Mises
（b）
\3b2
哄1
a2
（c）
圆筒首先在
r=a处屈服，这时的压力
P=Pe，即为弹性极限载荷:
Ps=
1
'b2
（6—22）
当b时，Pe二―3，由此可知，在弹性无限空间内的圆柱形孔洞受内压时（如
实际上，对于厚壁来说,
隧道），其内表面开始屈服时的压力值与内孔的半径无关。
lbj比较小，只加大筒的外半径b,并不会明显提
高圆筒的弹性极限压力
例如当齐3时,
Pe
8s
9\3
而当
b「:
时,
极限荷载约11%
因此，不能只是加大筒的厚度来提高厚壁筒的强度。
如采用两个或两个以上的圆筒以过盈配合的方法构成组合厚壁筒，其应力分布将比单一的整体厚壁筒合理。
、弹塑性解（Pe”PPs）:
p的增大，将在
c的
c当内压力达到Pe时，在圆筒的内壁开始产生塑性变形。
随着靠近内壁处形成塑性区。
由于对称，弹塑性区交界线必为一个半径为某一数值圆。
于是圆筒分为两个环状区域（见图6—7）：
a区。
弹性区
如略去体力，在塑性区平衡方程为
drr
将Mises屈服条件（b）代入（d）d-r2-s门
drv3r'
式中A为积分常数，由边界条件定出。
当
2r
r^3s|nr「P
上式（f）代入式（b），得：
+2。
亠—p+2°
日r73s73sP73
在弹塑性交界处r=c处的应力为：
十2,c
「c…PsIn
V3a
为得
tj
r
tj
s
InrA
时，匚r=
r2
lnr:
^s
（d）
（e）
p=A，因此:
（h）
因而，对于外层弹性区来说，Cc就是作用到该区内侧的径向压力，此时问题转
化为外半径为b,内半径为c的圆筒，受内压力cc作用的弹性极限问题，见图6—7也即按式6—22，将a换成c，一pr换为二c得：
CT
s
因而在r=c处,
-r必连续，由式（
lnC1
a
2<
1-
»与（h）相等，可得
\3p
2-
JS
2\
c
b2」
这是弹塑性交界线
出c值。
当c和二c算出后，容易由弹性公式计算出弹性区的应力综上所述，塑性区（
c应满足的方程，此乃一超越方程，当给定
（i）
（6—23）
p时，可用数值法求
a2|rIn——p；
\3a；
y吋卩；
（6—24）
三、塑性解（P=Ps）：
当载荷继续增加时，塑性区逐渐向外扩大。
当其前沿一直扩展到圆筒的外侧时,整个圆筒全部进入塑性状态，这种状态称为塑性极限状态。
在极限状态以前，由于有外侧弹性区的约束，圆筒内侧塑性区的变形与弹性变形为同量级。
从极限状态开始，圆筒将开始产生较大的塑性变形，成为无约束性流动。
极限状态是从正常工作状态转向丧失工作能力的一种临界状态，与之对应的载荷，称为（塑性）极限荷载，用Ps表示。
由（6—23）,使c=b,得ps为：
Ps
（6—25）
本节计算过程中采用了
Mises条件，如采用Tresca条件，则屈服条件为:
（当一2时,
2bs
Mises条件为_Cr）在所有公式中将
§6—5半无限平面体问题
对于地基土体承受建筑物作用和大尺寸薄板边界受作用于板的中面载荷等问题，均属于半无限平面体受载问题。
以下按平面应力问题来讨论，其结果同样可转化到平面应变问题。
我们先从楔形尖顶承受载荷作用这一问题着手。
一、楔形尖顶承受载荷P作用
如图6—9所示楔形截面的长柱（取单位厚度的柱体研究），在顶端受均布垂直
荷载P力的作用。
可根据量纲分析，选取应力函数为：
甲=
Ar二sin
（a）
上式满足应变协调方程v4:
=0，且由式（6—10），得：
2A,
二rcos-；
r；
■0；r厂0
（b）
尸
o
|x
-r的分布
其上的分布
显然上述应力分量，满足在楔形体的外缘边上无外力作用的边界条件，且对称于x轴，M点的应力随r增大而减小。
现在我们来确定待定常数A。
为此我们取一半径为r的弧形面mn，应力的合力应与P力相平衡，得：
a
rCOS，心P=0
（c）
代入式（b）,积分得
2AP（:
sin2：
）2
，所以
（:
（6—28）
0
这个解满足边界
CT=T
日r日
设作直径为d的圆周，圆心在圆周上任一点m，r=dcos^
x轴上，与y轴相切于o点，见图6—10，对于这
从式（6—28）得
CJ
2P
（d）
（6—27）
1.-si
2
在上式中r-0,二r―二。
这说明，在楔顶载荷P作用点处应力无穷大，此解答不适用。
但根据圣维南原理除去在作用点附近的一个小扇形区，其解答仍然不失为精确解。
二、半无限平面体边界上承受载荷P作用
现在来考察一半无限大板，在其水平边界AB上受力P的作用，见图6—10
取板厚为单位厚度，P为均匀分布在单位厚度上的力。
1.应力：
利用式（6—26），设a=兀/2，则可得到上述问题应力解答
2PCOS"
由此可知，除荷载作用点外，此圆上各点的应力G均相等，即此圆为径向应力等值
轨迹线。
在光弹性试验中称为等差
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