李同林弹塑性力学第六章平面问题极坐标解答.docx

1、李同林弹塑性力学第六章平面问题极坐标解答第六章平面问题极坐标解答 61 平面问题基本方程的极坐标表示极坐标系0U与直角坐标系oxy、可的关系式如图6 1所示。x = rcos ； y = rsin ； r2 = x2 y2 ； tg_1 - （ a）x1.平衡微分方程我们在物体中取一单位厚度的微分体 abed,如图62所示，其在r，二方向的体力分量分别为Fr , F护该微分单元体abed的中心角为dv，内半径为r，外半径为r+dr。列出平衡方程丰=0和二F厂0，即% 三心drsi哥 rdrsin2G =dr (r dr)dv -；rrdv -汀dv dr cosd r2dr cosd Fr(r

2、dv)dr=O2 寸 2dv dr dr c o s d 廿胡 I o a(b)drdrrco4+ Sa+dr (r + dr)dT -“口闵日2 l廿r 丿 灯= drs in由于dr是个小量，故取sind ，及cosd 1，并略去三阶以上微量，整理后2 2 2可得：dQr1CTr6CT - CT-Fr = 0rrd er1.+CTrJ F = 0(6 1)rrr式（6 1）第式中匚rr及r项为面积增大及方向变化而引起的，第二式中的2宀r项则两者兼有之。再由iMO（C为微分体形心），并略去高阶微量，将再次证得剪应力互等定2.几何方程在极坐标中，用 u，v分别代表A点的径向位移和切向位移，即为

3、极坐标的位 移分量。用；、上分别代表径向正应变和切向正应变，用 y、申代表剪应变。它们都是位置坐标r，二的函数。根据小变形条件，位移均为微量，在导出的过程中都略去高阶微量，不计的偏转对其长度的影响。于是由图 63可得微元体的各应变分量。u * 旦 0r _ u:rcvAB -AB BB -AA r 一 AB ABdr(d)ADAD AD (D D “ + GA AA) - AD 用= 比AD AD.:v u= + r .r rd日 + (r + u)d。- v- rd。3 )rd(e)- 2 B A F D A H丄 DD“_AA “A G - A A GH在上几式中，由于中均可略去。因此,u

4、z = r r ；:vdr:r cudr drcru ： r 故一u : ： 1， r u ： r，一r用极坐标表示的几何方程则为:v u=- . 丫r 石 e r ；B E - EF D HA B AH:u亠一 U X v ：uc9v ： rdrd -BE A AAB 斎，故話(f)于是在计算LU厂vru项为径向位移使半径增大而引起的弧长增大部分；r项为由于切向位置移动使径向半径偏斜而引起的整体刚性角位移，应予减去。式(6 2)第二式中(62)第三式的丫r3.本构方程(Hooke定律)由于极坐标系也是正交坐标系，所以用极坐标表示的 Hooke定律与用直角坐标 表示的形式不变。显然由于局部一点

5、的 坐标仍 直角坐标系表示的公式中的(1)平面应力问题是一个直角坐标系X、y分别换成r、二即可。于是有：因而只需将用r-用应力分量表示应变分量,1 / 、 行二己(，r _，J(2)平面应变问题：E(1(J =rr.(6 3)r-i r02(1 )则为:1TG(6 4)(1 _ 巧(1 _ 2。)IE(1) r(1 +9)(1 _2u) E(6 5)r A2(1 )若用应力分量表示应变分量，则为：1r 7(6 6)4.极坐标中的应力函数和应变协调方程平面问题直角坐标系中，当无体积力、或体积力为常量时，由式( 式(518)，可用应力或应力函数表示的连续性方程分别为5 15 )及)74:(g)a)

6、得:F面我们将上列方程变换成用极坐标表示的形式。据式（-rsinc0x21 -sin现求应力函数COST(h)（r, v）对x及y的微分:l、 rcy c rd ey按照式(i)和（j），则有c1d护1=c ossi n =co%-si n忡dx钉rC0rj1护1si n+ -c o Zsi n +co%dyrdQ.rrdQJ可得出w的二阶偏微分：（d1/1-cos日sin。cos9sin日& +(i)(j)cQ也即:?2.:rcos-2rr；2 .：sin2 -y.rcos.rsin)cos sin汽sin日cos.:rcosL、 r a.r 71cos.:r-2y-. .-.r 71占半s

7、in日cos。+占2 sin2 g 2c9c6cos(k)一 sin r cos sin2 J : sin - cos-.:r应用上式（k）中第一及第二式相加，并利用二角公式得1+ 因此，按照上式，在极坐标中用应力函数表示的应变协调方程可表示为下式:1 ? 1 :2+ + 2 2 2:r r :r r 门:2 仁+ +2 2 2r釘 r2朋2丿=0 ( 6 7)此式即为极坐标中平面问题的双调和方程。若将此式展开，可得:4 宀 2 宀 2 ；：4 ;: 、 4 2J2.r r 一 . r4 22 3+ 3r汀1沙+ + 4 “ 2 3r r ； r此外根据坐标的几何条件式（可以得出以应变表示的所

8、应满足的应变协调方程6 2），(6 8)采用导出直角坐标应变协调方程的方法，则为：2 2, . 1 . 22 2 2r r 二 r ： ro1 ： r = 1 ： d 1 ：心2r : r r ： r v r 丁(6 9)为在极坐标中将各应力分量用应力函数表示,可使x轴与r轴重合，y轴与轴重合（参考图6 1），也就是使0 = 0，贝。r = e x）z = T 円心0（8“、。日十y）心二 TTLX 儿=0r2半、(m)Sr = Cxy）Z = 丁LX咛丿A。应用式（k），并令式中日=0，得2: 1 r + o (610)r r r& 2pr21 :2r r:-若将上式代入平衡方程（6 1）将

9、自动满足。这就是极坐标中 用应力函数表示应力分量的表达式。 62 平面问题的极坐标解法极坐标轴对称问题一、求解步骤与应力边界条件在极坐标中，弹性力学边值问题的解法仍然归结为寻求一个应力函数 :（r）,它除了必须满足双调和方程式（ 6 7）以外，还应由式（610）求得的应力分量 满足应力边界条件。根据极坐标的基本方程，其求解问题（应力法）的步骤为：1 ）确定体力面力；2）选取以待定系数表示的应力函数；3 ）写出应力分量的表达式，根据应变协调方程和应力边界条件确定待定常数二、轴对称平面问题z轴，应力分量不依赖如果应力分布对称于 O点且垂直于 厂平面的垂直轴:于二，而只是r的函数,则称为应力分布轴对

10、称问题由于对称，-必定是零。这时平衡微分方程式（6 1）变为：（不计体力）r 0 dr r当应力分布轴对称的同时，如果位移也是轴对称的，则称为(6 11)完全轴对称问题。对于平面问题则为完全轴对称平面问题u = u（r），6 2）变为：由于轴对称，这时有v = 0于是几何方程式（durdr(6 12)对于应力分布轴对称或完全轴对称问题,d2 A = ndr2r dr同时，双调和方程（ d4申r dr 八 dr2 r dr610)得:-r =1 d2(613)2d3+ 4 3 2 2 3dr r dr r dr r这是一个变系数微分方程，也称为 Euler方程。将方程（614）化为常系数性微分方

11、程，可引入一个新的参数t = l nrdr0 (614)t，并令:于是可得：dd dtdt dr徨)d “ d叮 I = dr Idt 丿 dr 1.1。管子长度很长，以致可以 认为离两端足够远处的应力和应变分布沿长度方向没有差异。MTTTTTTH由对称性可知，原来的任一横截面变形后仍保持平面，沿管轴 z向可以假定没有位移，即w = 0。又由于构件外形及载荷对称于筒轴 z，因而应力与应变的分布对称于圆筒中心轴线。则每一点的位移仅有径向位移 u，而环向位移v = 0，且u仅是坐标r的函数。于是厚壁筒问题是一个完全轴对称的平面应变问题 。其应力分量可由式(616)来确定,AB(V 2ln r) 2

12、C rA2 B(3 2lnr) 2Crr-而式中的特定系数Lr)代入上式有：AB(1 aaB(1 2lnb) 2C p2 bA、B、C可由下述边界条件来确定，即:(r)r=b-Pl ；P22ln a) 2C ；(b)上式中有三个待定系数，而只有两个边界条件。因为这是一个多连域问题，还应考 查位移单值条件。由环向位移v = 0，且径向位移u与极角二无关，所以几何方程式(6 2)可简化为式（612）:du（C）将平面应变的物理方程代入上式，则有dudr（1 一 ）匚 E(d)再将应力分量的表达式616）代入上式（d）的第一式，并对其积分得:u 1 + u A -=+ B2（1 2u）ln r 1

13、+ 2C（1 2 ）卜 + D r E k r J式中的D为积分常数。将式（6仃）再代入式（e）的第二式，则有:(f)+ B2(1 _ 2。)In r + (3_ 4 ) + 2C(1 _ 2 ) 比较式（e）与式（f），可以看出由它们算得的同一点的位移 u是不相同的，这说明对多连域出现了位移的多值解答。显然根据位移的单值性条件， 则必须使上述两位移表达式一致,D = 0。由此，径向位移表达式，可写为u 1 A+2因此必有B = 0，r把B = 0代入式（Acr = +r 2r2 C(1 _ 2 )E 一 r2616)，则应力分量为A+r22C ；7(6仃)(g)以B = 0代入边界条件式（c

14、）可解得:A = _ a2b2e - P2）2 2b - a把A、C值代入式（h），并由豊力公式解为（Lame公式）：2a P1-b2p22（b2-a2） （h）则得承受内、外均匀压力的厚壁圆筒的应2 .2Pia - P2b(Pi - P2)a2b2Pia2 - P2b2 2、2(b - a )r2 2(Pi 一 P2)a bCTz把A、 C值代入式b2 - a2Jr)2 2 2(b- a2)r2(618)（6仃）得到平面应变轴对称问题的径向位移公式:_ 2 ) ga2 - p?b2)r (5 - P2)a2b22 丿 2 2 2 2 x b - a (b - a )r(619) P1a2-P

15、2b2(P1 - 22P2)a br b2 -a2(b2-a2)r2ya2P2b2(P1 -P2)a2b2& b2 -a2(b2-a2)r2z 二 0如果为厚壁圆环，即平面应力问题，贝u应力分量为:其径向位移公式推导方法相似，而径向位移公式则变为:1 、(PQ2 - P2b2)r 川 、(P - P2)a2b2(1 - 2 ) 2_ (1 ) 一吟E L b - a (b - a )r(6 20)在实际问题中最常见的是只有内压的情况，如压力油缸、高压容器、油气井和 煤层气井的水力压裂等都属于这种情况。这时在公式（ 到应力公式为：618）中，令 P2 = 0，得.2 2b - a22 2b -

16、a2JP1a b(b - a2)r22 Ja b2Ptciz(b2 - a2)r2.2 2b - a2“a2 2b - a2r丿亡r2 3(6 21)(二 r 二.)匚丁0，永为拉应力。式中的r值恒满足a r 二 z 匚。因此二 1 二二 ，2当p逐渐增大，圆筒开始屈服时，应力应该满足屈服条件。把式（ 条件：z，3a）代入CF r。Mises(b)3b2哄1a2(c)圆筒首先在r = a处屈服，这时的压力P = Pe，即为弹性极限载荷:Ps =1 b2(622)当b 时，Pe二3，由此可知，在弹性无限空间内的圆柱形孔洞受内压时（如实际上，对于厚壁来说,隧道），其内表面开始屈服时的压力值与内孔的

17、半径无关。lb j比较小，只加大筒的外半径 b,并不会明显提高圆筒的弹性极限压力例如当齐3时,Pe8 s93而当b:时,极限荷载约 11 %因此，不能只是加大筒的厚度来提高厚壁筒的强度。如采用两个或两个以上的 圆筒以过盈配合的方法构成组合厚壁筒，其应力分布将比单一的整体厚壁筒合理。、弹塑性解（Pe ” P Ps）:p的增大，将在c的c r b为弹性当内压力达到Pe时，在圆筒的内壁开始产生塑性变形。随着 靠近内壁处形成塑性区。由于对称，弹塑性区交界线必为一个半径为某一数值 圆。于是圆筒分为两个环状区域（见图 6 7）： a r c为塑性区；区。弹性区如略去体力，在塑性区平衡方程为dr r将Mis

18、es屈服条件（b）代入（d） d- r 2 - s 门dr v 3 r 式中A为积分常数，由边界条件定出。当2 rr3 s|nrP上式（f）代入式（b），得：+2。亠p+2日 r 73 s 73 s P 73在弹塑性交界处r= c处的应力为：十2 , cc P s InV3 a为得tjrtjsIn r A时，匚r =r 2lnr:s(d)(e)p= A，因此:(h)因而，对于外层弹性区来说， Cc就是作用到该区内侧的径向压力，此时问题转化为外半径为b,内半径为c的圆筒，受内压力cc作用的弹性极限问题，见图6 7 也即按式6 22，将a换成c，一 pr换为二c得：CTs因而在r = c处,-r必

19、连续，由式（lnC 1a21-与（h）相等，可得3p2-J S2 cb2这是弹塑性交界线出c值。当c和二c算出后，容易由弹性公式计算出弹性区的应力 综上所述，塑性区（c应满足的方程，此乃一超越方程，当给定（i）（6 23）p时，可用数值法求a r c)的应力解为:2 | r In p ； 3 a ；y吋卩；(6 24)三、塑性解（P = Ps ）：当载荷继续增加时，塑性区逐渐向外扩大。当其前沿一直扩展到圆筒的外侧时, 整个圆筒全部进入塑性状态，这种状态称为 塑性极限状态。在极限状态以前，由于有外侧弹性区的约束，圆筒内侧塑性区的变形与弹性变 形为同量级。从极限状态开始，圆筒将开始产生较大的塑性变

20、形，成为无约束性流动。极限状态是从正常工作状态转向丧失工作能力的一种临界状态，与之对应的载 荷，称为（塑性）极限荷载，用Ps表示。由（6 23）,使 c = b,得 ps为：Ps(6 25)本节计算过程中采用了Mises条件，如采用Tresca条件，则屈服条件为:（当一2时,2bsMises条件为_ Cr ）在所有公式中将 6 5半无限平面体问题对于地基土体承受建筑物作用和大尺寸薄板边界受作用于板的中面载荷等问 题，均属于半无限平面体受载问题。以下按平面应力问题来讨论，其结果同样可转化到平面应变问题。我们先从楔 形尖顶承受载荷作用这一问题着手。一、楔形尖顶承受载荷 P作用如图69所示楔形截面的

21、长柱（取单位厚度的柱体研究） ，在顶端受均布垂直荷载P力的作用。可根据量纲分析，选取应力函数为：甲 =Ar 二 sin（a）上式满足应变协调方程 v 4:=0，且由式（6 10），得：2A ,二 r cos-；r ； 0 ； r厂 0（b）尸o| x-r的分布其上的分布显然上述应力分量，满足在楔形体的外缘边上无外力作用的边界条件，且 对称于x轴，M点的应力随r增大而减小。现在我们来确定待定常数 A。为此我们取一半径为 r的弧形面mn， 应力的合力应与 P力相平衡，得：ar COS，心 P = 0(c)代入式（b）,积分得2AP(:sin 2：)2，所以（:(6 28)0这个解满足边界CT =

22、T日 r日设作直径为d的圆周，圆心在 圆周上任一点 m ， r = d cosx轴上，与y轴相切于o点，见图610，对于这从式（6 28）得CJ2P(d)(6 27)1 . -s i2在上式中r- 0,二r 二。这说明，在楔顶载荷 P作用点处应力无穷大，此解答不适 用。但根据圣维南原理除去在作用点附近的一个小扇形区，其解答仍然不失为精确 解。二、半无限平面体边界上承受载荷 P作用现在来考察一半无限大板，在其水平边界 AB上受力P的作用，见图610取板厚为单位厚度，P为均匀分布在单位厚度上的力。1.应力：利用式（6 26），设a =兀/2，则可得到上述问题应力解答2P COS由此可知，除荷载作用点外，此圆上各点的应力 G均相等，即此圆为径向应力等值轨迹线。在光弹性试验中称为 等差