高中数学人教A版必修二 模块综合检测二 7.docx

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高中数学人教A版必修二模块综合检测二7

模块综合检测

（二）

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（共10小题，每小题6分，共60分）

1．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋（a－1）y＝－7＋a平行，则实数a＝（　　）

A．3　　　　　　　　B．－2

C．－2或3D．－3或2

解析：

选A　因两直线平行，所以a（a－1）－2×3＝0，解得a＝3或a＝－2.经检验，当a＝－2时，两直线重合，故选A.

2．若空间直角坐标系中，x轴上一点P到点Q（3,1,1）的距离为，则点P的坐标为（　　）

A．（3,0,0）B．（2,0,0）

C．（4,0,0）D．（2,0,0）或（4,0,0）

解析：

选D　由题意，设P（a,0,0），则|PQ|＝＝，解得a＝2或a＝4.

3．直线l：

ax＋by＝0和圆C：

x2＋y2＋ax＋by＝0在同一坐标系的图形只能是（　　）

解析：

选D　可知圆心C，半径r＝，则圆心到直线的距离为d＝＝＝r，∴直线与圆相切，由此排除A，B，C，选D.

4．已知圆C1：

（x＋1）2＋（y－1）2＝1，圆C2与圆C1关于直线l：

x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为（　　）

A．（x－2）2＋（y＋2）2＝1B．（x＋2）2＋（y－2）2＝1

C．（x－2）2＋（y－2）2＝1D．（x－2）2＋（y－1）2＝1

解析：

选A　可知C1（－1,1），直线l的斜率为1，设圆C2的圆心坐标为（a，b），则kC1C2＝，线段C1C2的中点为.∵圆C2与圆C1关于直线l对称，∴线段C1C2被直线l垂直平分，∴有解得

∴圆C2的方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝1，故选A.

5．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（　　）

A．πQB．2πQ

C．3πQD．4πQ

解析：

选B　设正方形边长为a，则a＝，S侧＝2π·a·a＝2πQ.

6．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：

①m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；

②m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；

③m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；

④m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.

其中真命题的序号是（　　）

A．①②B．③④

C．①④D．②③

解析：

选D　对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，所以①是假命题；②是真命题；对于③，m⊥α，α∥β⇒m⊥β，若n∥β，必有m⊥n，所以③是真命题，从而④是假命题，故选D.

7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D　由三视图可知，该几何体是三分之一个圆锥，其体积为V＝××π×22×4＝.

8．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2，则它的表面积为（　　）

A．4（3＋4）B．12（＋2）

C．12（2＋1）D．3（＋8）

解析：

选B　

如图所示，

S＝12××22＋6×2×2＝12＋24

＝12（＋2）．

9．三棱锥PABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H一定为△ABC的（　　）

A．垂心B．外心

C．内心D．重心

解析：

选A　若三棱柱的三个侧面两两垂直，则三条侧棱两两垂直（可以证明，略），根据线面垂直的判定与性质可知，H一定为△ABC的垂心．

10．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D为垂足，以AD为折痕，将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：

①BD⊥CD；②BD⊥AC；

③AD⊥面BCD；④△ABC是等边三角形．

其中正确的结论的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选D　∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴∠BDC是二面角BADC的平面角．又平面ABD⊥平面ACD，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD，同时，AD⊥平面BCD,BD⊥平面ACD，∴BD⊥AC，∵DA＝DB＝DC，

∴Rt△ABD、Rt△BCD、Rt△ACD全等，

∴△ABC是等边三角形，故①②③④均正确．

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

11．圆x2＋y2－4x－2y－11＝0上的点到直线x＋y－13＝0的最大距离与最小距离之差是________．

解析：

圆的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝16，圆心到直线的距离为d＝＝5，所以，圆上的点到直线的最大距离为5＋4，圆上的点到直线的最小距离为5－4，所以，最大距离与最小距离之差是8.

答案：

8

12．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．

解析：

过A作AE⊥BC于点E，则易知AE⊥面BB1C1C，则∠ADE即为所求，又tan∠ADE＝＝，故∠ADE＝60°.

答案：

60°

13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为________．

解析：

此几何体是三棱锥PABC（直观图如图），底面是斜边长为4的等腰直角三角形ACB，且顶点在底面内的射影D是底面直角三角形斜边AB的中点．易知，三棱锥PABC的外接球的球心O在PD上．设球O的半径为r，则OD＝2－r，

∵CD＝2，OC＝r，∴（2－r）2＋22＝r2，解得r＝，

∴外接球的表面积为4πr2＝.

答案：

14．若直线y＝kx＋2k与圆x2＋y2＋mx＋4＝0至少有一个交点，则实数m的取值范围是________.

解析：

∵直线y＝kx＋2k即y＝k（x＋2），∴直线经过定点M（－2,0），因为直线y＝kx＋2k与圆x2＋y2＋mx＋4＝0至少有一个交点，则点M在圆上或圆内，所以将M的坐标代入，得（－2）2＋02＋（－2）m＋4≤0，解之得m≥4，又因为方程x2＋y2＋mx＋4＝0表示圆，所以m2＋02－16>0，解之得m<4，或m>4，综上所述，实数m的取值范围是（4，＋∞）．

答案：

（4，＋∞）

三、解答题（共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分10分）求与点P（4,3）的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．

解：

设所求直线方程为y＝kx或＋＝1（a≠0）．

对于y＝kx,5＝，9k2＋24k＋16＝0，

解之得k＝－.

对于x＋y＝a,5＝，

解之得a＝7＋5或7－5.

故所求直线方程为y＝－x或x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0.

16．（本小题满分12分）已知圆x2＋y2－6mx－2（m－1）y＋10m2－2m－24＝0，直线l1：

x－3y－3＝0.

（1）求证：

不论m取何值，圆心必在直线l1上；

（2）与l1平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离．

解：

（1）证明：

将圆的方程化为标准方程为

（x－3m）2＋[y－（m－1）]2＝25，

∴圆心是（3m，m－1）．

∵3m－3（m－1）－3＝0，

∴不论m取何值，圆心必在直线l1上．

（2）设与直线l1平行的直线l2的方程为x－3y＋b＝0（b≠－3），

则圆心到直线l2的距离为d＝＝.

∵圆的半径r＝5，

∴当d＜r，即<5，

亦即－5－3

当d＝r，即＝5，b＝－5－3或b＝5－3时，直线与圆相切；

当d＞r，即>5，b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．

17．（本小题满分12分）已知以点C为圆心的圆经过点A（－1,0）和B（3,4），且圆心C在直线x＋3y－15＝0上．

（1）求圆C的方程；

（2）设点Q（－1，m）（m>0）在圆C上，求△QAB的面积．

解：

（1）法一：

依题意所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点，

∵AB中点为（1,2），斜率为1，

∴AB垂直平分线方程为y－2＝－（x－1），

即y＝－x＋3.

联立

解得

即圆心C（－3,6），半径r＝＝2，

所求圆C的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40.

法二：

设圆C的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

依题意求出a＝－3，b＝6，r＝2，

所求圆C的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40.

法三：

设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

依题意求出D＝6，E＝－12，F＝5，

所求圆C的方程为x2＋y2＋6x－12y＋5＝0.

（2）点Q（－1，m）（m>0）在圆C上，

∴m＝12或m＝0（舍去），

|AQ|＝12，点B到直线AQ的距离为4.

所以△QAB的面积为24.

18.如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：

（1）FD∥平面ABC；

（2）AF⊥平面EDB.

证明：

（1）取AB的中点M，连接FM，MC.

∵F，M分别是BE，BA的中点，

∴FM∥EA，FM＝EA＝a.

∵EA，CD都垂直于平面ABC，

∴CD∥EA，∴CD∥FM.

又∵DC＝a，∴FM＝DC，

∴四边形FMCD是平行四边形，

∴FD∥MC.

∵FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，

∴FD∥平面ABC.

（2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，

∴CM⊥AB.

又∵CM⊥AE，AB∩AE＝A，

∴CM⊥平面EAB，∴CM⊥AF.

又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.

∵F是BE的中点，EA＝AB，∴AF⊥BE.

又∵FD∩BE＝F，∴AF⊥平面EDB.

19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC＝CP＝2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD.

（1）求证：

平面PAD⊥平面PCD；

（2）若E是PC的中点，求三棱锥APEB的体积．

解：

（1）证明：

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AD.

又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC，

∴ABCD是正方形，

∴AD⊥CD，

又PD∩CD＝D，故AD⊥平面PCD,

∵AD⊂平面PAD，

∴平面PAD⊥平面PCD.

（2）∵AD∥BC，又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，

∴AD∥平面PBC，

∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离．

又∵PD＝DC，E是PC的中点，

∴DE⊥PC.

由

（1）知有AD⊥平面PCD，∴AD⊥DE.

由题意得AD∥BC，故BC⊥DE.

于是，由BC∩PC＝C，可得DE⊥平面PBC.

∴DE＝，PC＝2，

又∵AD⊥平面PCD，

∴AD⊥CP，

∵AD∥BC，∴CP⊥BC，

∴S△PEB＝S△PBC＝×＝，

∴VAPEB＝VDPEB＝×DE×S△PEB＝.

20．（本小题满分12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．

（1）若AC⊥BC，证明：

直线BC⊥平面ACC1A1；

（2）设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？

请证明你的结论．

解：

（1）证明：

因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.

因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，

所以AA1⊥平面ABC.

因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.

又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，

所以BC⊥平面ACC1A1.

（2）取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，

设O为A1C，AC1的交点．

由已知，O为AC1的中点．

连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，

所以，MD綊AC，OE綊AC，

因此MD綊OE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则D