第3讲 相交线及三线八角尖子班.docx
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第3讲相交线及三线八角尖子班
第3讲相交线及三线八角
知识点1对顶角和邻补角
对顶角
1.对顶角的模型:
∠1和∠2是对顶角,∠3和∠4是对顶角.
特点:
①成对出现;②两个角有公共的顶点;③角的两边互为反向延长线.
2.对顶角的性质:
对顶角相等.
邻补角
1.邻补角:
两个角有一条公共边,他们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角互为邻补角.
2.邻补角的模型:
∠1和∠3是邻补角,∠1和∠4是邻补角,∠2和∠3是邻补角,∠2和∠4是邻补角,
特点:
①成对出现;②两个角有公共的顶点;③两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线.
3.邻补角的性质:
两个角的和为180°.
【典例】
1.如图,直线a、b相交于点O,将量角器的中心与点O重合,发现表示60°的点在直线a上,表示138°的点在直线b上,则∠1=_________°.
【方法总结】
由图可知直线a与量角器0刻度线之间的角度和直线b与量角器0刻度线之间的角度,两角的差即为直线a与直线b之间的角度.由对顶角相等可知∠1等于所求的直线a与直线b之间的角度,从而得解.
本题考查了角的度量、角计算、对顶角的性质,熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键.
2.如图,直线AB、CD、EF相交于点O.
(1)写出∠BOE的对顶角和邻补角;
(2)若∠AOC:
∠AOE=2:
1,∠EOD=90°,求∠BOC的度数.
【方法总结】
本题主要考查了对顶角、邻补角的定义,利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解.
总结:
两条直线相交所形成的4个角中,只要知道其中一个,就可以求出另外3个.
【随堂练习】
1.(2017秋•海港区期末)如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOD,若∠BOC=70°,则∠COE的度数是( )
A.110°B.120°C.135°D.145°
2.(2017秋•香洲区期末)如图,两条直线相交于点O,若射线OC平分平角∠AOB,∠1=56°,则∠2等于( )
A.44°B.56°C.45°D.34°
3.(2018春•固始县期末)如图所示,直线AB与CD相交于点O,OB平分∠DOE,若∠DOE=60°,则∠AOE的度数是( )
A.90°B.150°C.180°D.不能确定
4.(2018春•宜城市期末)如图所示,直线AB交CD于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD:
∠BOE=5:
2,则∠AOF等于( )
A.140°B.130°C.120°D.110°
知识点2垂线
垂线
1.两直线相交所形成的角中,当有一个角等于90°时,这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,他们的交点叫做垂足.
2.垂直的模型:
说法:
①直线a是直线b的垂线(或直线b是直线a的垂线),垂足为O.
②直线a垂直于直线b于点O(或直线b垂直于直线a于点O).
结论:
两垂直直线形成的四个角都是直角,均为90°.
3.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段
1.过直线外一点作直线的垂线,以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.
2.垂线段模型:
线段AB是点A到直线a的垂线段.
3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
简单说成:
垂线段最短.
4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
注意:
距离是长度,不是线段.
【典例】
1.如图,OM⊥NP,ON⊥NP,所以ON与OM重合,理由是_________________.
2.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O.
(1)写出图中与∠1互为余角的角;
(2)若∠AOC:
∠2=3:
2,求∠1的度数.
【方法总结】
总结:
在平面内过一点做已知直线的垂线具有存在性和唯一性,过一点作已知直线的两条垂线,这两条直线必重合.
方法:
找一个角的余角时,先找与它相邻的(从垂直和90°角入手),再找与它补相邻的,做到不重不漏.
3.如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5cm,BC=3cm,则BD的长度的取值范围是________________.
4.如图,BC⊥AC,CB=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么点B到AC的距离是________cm,点A到BC的距离是________cm,C到AB的距离是___________cm.
【方法总结】
总结:
①直角三角形中,直角边的长可以看做是一个顶点到另一条直角边的距离;
②直角三角形中,若两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则斜边上的高为
,即直角顶点到斜边的距离.
【随堂练习】
1.(2018春•微山县期中)如图直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB垂足为O,
(1)与∠1互为补角的角是______;
(2)若∠AOC:
∠2=3:
2,求∠1的度数.
2.(2018春•武清区期中)如图,直线AB、CD相交于点O,OM⊥AB.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;
(2)若∠1=
∠BOC,求∠AOC和∠MOD的度数.
3.(2018春•东莞市校级月考)如图,直线AB、CD相交于点O,OM⊥AB.
(1)若∠1=∠2,则∠2的余角有___________.
(2)若∠1=
∠BOC,求∠AOD和∠BOD的度数.
知识点3三线八角
模型:
1.同位角:
两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角分别在两直线的同一方,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同位角.如∠1与∠8,∠2与∠5.
2.内错角:
两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线之间,并且在第三条直线(截线)的两侧,则这样一对角叫做内错角.如∠1与∠6,∠4与∠5.
3.同旁内角:
两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线之间,并且在第三条直线(截线)的同一旁,则这样一对角叫做同旁内角.如∠1与∠5,∠4与∠6.
4.三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角,完全由那两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时,应从角的两边入手,具有上述关系的角必有两边在同一直线上,此直线即为截线,而另外不在同一直线上的两边,它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F”形,内错角的边构成“Z”形,同旁内角的边构成“U”形.
【典例】
1.如图,图中∠1与∠2是同位角的序号是___________.
2.如图,已知直线a,b被直线c,d所截,直线a,c,d相交于点O,按要求完成下列各小题.
(1)在图中的∠1~∠9这9个角中,同位角共有多少对?
请你全部写出来;
(2)∠4和∠5是什么位置关系的角?
∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗?
【方法总结】
判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法:
①按定义判断,找到截线(两个角的公共边所在的直线)与被截线,判断两个角的位置关系;②按两个角构成的形状判断,若构成“F”形,则为同位角;若构成“Z”形,则为内错角;若构成“U”形,则为同旁内角.数角的对数的时候,要认真仔细,做到不重不漏.
【随堂练习】
1.(2018春•涟源市期末)如图所示,下列说法中:
①∠A与∠B是同旁内角;②∠2与∠1是内错角;③∠A与∠C是内错角;④∠A与∠1是同位角.正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.(2018春•厦门期中)如图,点E在BC的延长线上,则下列两个角是同位角的是( )
A.∠BAC和∠ACDB.∠D和∠BADC.∠ACB和∠ACDD.∠B和∠DCE
3.(2018春•无锡期中)如图,按各组角的位置判断,下列结论:
①∠2与∠6是内错角;②∠3与∠4是内错角;③∠5与∠6是同旁内角;④∠1与∠4是同旁内角.其中正确的是( )
A.①②B.②③④C.①②④D.①②③④
综合运用
1.如图是一把剪刀,其中∠1=∠2,其理由是__________.
2.如图,线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线,角平分线,中线,比较线段AC、AD、AE、AF的长短,其中最短的是_________________.
3.如图所示,AB⊥l1,AC⊥l2,则点A到直线l1的距离是线段_________的长度.
4.如图所示,直线AD与直线BD相交于点D,BE⊥AD,垂足为点E,AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_______的长度,点D到直线AB的距离是线段______的长度.
5.如图,直线a、b被直线c所截,互为同旁内角是______________.
6.如图所示,两只手的食指和拇指在同一平面内,它们构成的一对角可以看成__________.
7.如图,OC⊥AB于点O,∠1=∠2,则图中互余的角有____________对.
8.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC=76°,∠DOF=90°,求∠EOF的度数.
9.如图所示:
(1)与∠B是同旁内角的有哪些角?
(2)与∠C是内错角的有哪些角?
它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的?