云南省师范大学附属中学届高三上学期高考适应性考.docx

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云南省师范大学附属中学届高三上学期高考适应性考

2017届云南省师范大学附属中学高三上学期高考适应性考试月考

（二）理数

一、选择题：

共12题

1．设集合,为整数集,则集合中元素的个数是

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力;

∵集合，为整数集

∴,共有5个元素.

2．在复平面内,复数对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】本题考查了复数的运算法则和复数的几何意义；

对应点为位于第二象限.

3．设,向量,,且,则

A.B.C.10D.

【答案】A

【解析】本题主要是考查向量垂直的条件以及向量的数量积的坐标运算；

∵

∴

∴

∴

∴.

4．高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第层楼时,上下楼造成的不满意度为,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室应在（    ）楼

A.2B.3C.4D.8

【答案】B

【解析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用；

总的不满意度：

当且仅当,即时取得，故选楼．

5．函数的值域为

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】本题主要是考查利用和角公式化简以及三角函数求值域；

∵,

∴的值域为   .

6．如图所示的程序框图,若,,输入,则输出的

A.2016B.2017C.D.

【答案】C

【解析】本题主要是考查程序框图以及对数值比较大小；

根据程序框图可知，最终输出中的较小者.

∵,

∴输出

7．在中,所对的边分别是,,且,则的值为

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】本题主要是考查余弦定理的应用；

由余弦定理得，

∴①

∵

∴

整理得②

由①②得

∴

解得（舍去负值）

8．函数的导函数为,对,都有成立,若,则不等式的解是

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性；

设,则

∴在R上单调递增

∵

∴

∵

∴

∴

即原不等式的解集是.

9．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

A.50B.50.5C.51.5D.60

【答案】D

【解析】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积；

由已知中的三视图可得：

该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，

其直观图如下图所示：

底面是两直角边分别为和的直角三角形，面积为：

侧面是直角梯形，面积为：

侧面是矩形，面积为：

侧面是直角梯形，面积为：

上底面是直角边分别为：

和的直角三角形，面积为：

故几何体的表面积.

10．用半径为的圆铁皮剪一个内接矩形,再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径,则圆柱的体积最大时,该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】本题主要是考查利用导数研究函数的最值；

设矩形的长、宽分别为,则

∴圆柱的体积为

∴

令得,此时体积取最大值

该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为 .

11．设双曲线的右焦点为,过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点,且与双曲线在第一象限的交点为,设为坐标原点,若,,则该双曲线的离心率为

A.B.C.3D.2

【答案】D

【解析】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解;

双曲线的渐近线，设焦点为则

∵

∴

∴

解得

∵

∴

∴

∴

12．对于函数,设,,…,且）,令集合,则集合为

A.空集B.实数集C.单元素集D.二元素集

【答案】B

【解析】本题主要是考查函数的周期性的应用；

∵，,,,,,故从开始组成了一个以为首项，以4为周期的一列代数式，

∵

∴

∴

二、填空题：

共4题

13．若,且满足,则的最大值等于         .

【答案】

【解析】本题主要是考查简单线性规划；

作出表示的平面区域，如图所示：

作出直线，平移，由图可知，当直线经过点时，取最大值

由解得,即

∴

14．在平面直角坐标系中,已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1,则实数的值是         .

【答案】

【解析】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会根据圆的标准方程找出圆心坐标和半径;

∵圆上有且仅有三个点到直线的距离为1

∴圆心到直线的距离为

∴

∴

15．已知数列为等比数列,是它的前项和,设,若,且与的等差中项为,则         .

【答案】

【解析】本题主要是考查等差与等比数列的性质；

∵与的等差中项为

∴

∴

∴

∴

16．若,且,则下列关系式:

①;②;③;④;⑤.

其中正确的序号是         .

【答案】④

【解析】本题考查正弦函数的单调性;

令，,则为偶函数

∴在上是增函数，

∴在上是减函数

∴当时,

∴

三、解答题：

共7题

17．已知数列中,,,.

（1）证明数列是等差数列,并求的通项公式;

（2）设,求的前项和.

【答案】（Ⅰ）当时,,

∴.

又,∴,

故是以2为首项,3为公差的等差数列,

∴,

∴.

（Ⅱ）,

∴

.

令,①

则.②

①

②得:

.

∴.

【解析】本题主要是考查数列通项与数列求和；

（Ⅰ）根据等差数列的定义进行证明；

（Ⅱ）根据错位相减法求和的方法求解.

18．如图所示的三棱台中,平面,,,,,.

（1）证明:

平面;

（2）若点为中点,求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）证明:

如图4,过点作.

∵,

故为等腰直角三角形,

∴,

∴,∴,

∴.

又∵平面ABC,∴.

又,且,

∴平面,∴,

又∵,

∴平面.

（Ⅱ）解:

如图,建立空间直角坐标系A−xyz,

∴,∴,

∴.

由（Ⅰ）知,平面的一个法向量为.

设平面ABD的一个法向量为,

则即

令则∴,

故二面角的余弦值为.

【解析】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力；

（Ⅰ）过点作，先证明，再证明,即可证明平面.

（Ⅱ）先建立坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面ABD的一个法向量，进而求出二面角的余弦值.

19．如图所示,小波从街区开始向右走,在每个十字路口都会遇到红绿灯,要是遇到绿灯则小波继续往前走,遇到红灯就往回走,假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的,且绿灯亮的概率都是,红灯亮的概率都是.

（1）求小波遇到4次红绿灯后,处于街区的概率;

（2）若小波一共遇到了3次红绿灯,设此时小波所处的街区与街区相距的街道数为（如小波若处在街区则相距零个街区,处在街区都是相距2个街道）,求的分布列和数学期望.

【答案】（Ⅰ）设小波遇到4次红绿灯之后处于D街区为事件A,则事件A共有三个基本事件,

即四次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿,绿红红绿,绿绿红红},

故.

（Ⅱ）可能的取值为0,1,2,3,

,

.

故分布列为

∴.

【解析】本题主要是考查独立事件的概率以及离散性随机变量的分布列；

（Ⅰ）四次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿,绿红红绿,绿绿红红}，根据独立事件的概率公式计算；

（Ⅱ）可能的取值为0,1,2,3,分别求出概率，列出分布列.

20．已知抛物线过点,为抛物线的准线与轴的交点,若.

（1）求抛物线的方程;

（2）在抛物线上任取一点,过点作两条直线分别与抛物线另外相交于点和点,

连接,若直线的斜率都存在且不为零,设其斜率分别为,求

证:

.

【答案】（Ⅰ）,,

∵,

代入解得:

或（舍去）,

所以抛物线的方程为.

（Ⅱ）证明:

设点,

因为点在抛物线上,所以,

故直线的方程为:

.

联立:

 得.

此方程的两个根分别为,,

所以,,,

同理可得,

化简得.

故,

∴.

【解析】本题主要是考查直线与抛物线；

（Ⅰ）,,根据,代入解得:

.

（Ⅱ）证明:

设点,故直线的方程为:

.

联立:

 得，从而求出,

,化简得.据此即可证明.

21．已知函数.

（1）讨论的单调性;

（2）若,对于任意,都有恒成立,求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）

.

①若,则在上单调递增,在（a,−2）上单调递减;

②若,则在（,）上单调递增;

③若,则在上单调递增,在上单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,当时,

在上单调递增,在上单调递减.

∴,,

∴.

恒成立,

即恒成立.

即恒成立,

令,易知在其定义域上有最大值.

所以,.

【解析】本题主要是考查导数在函数中的应用；

（Ⅰ）求出导函数，然后讨论函数的单调性即可；

（Ⅱ）恒成立，即恒成立，

先求出，然后根据恒成立，解答.

22．已知曲线的参数方程:

为参数）,曲线上的点对应的参数,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点的极坐标是,直线过点,且与曲线交于不同的两点.

（1）求曲线的普通方程;

（2）求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）将点和代入曲线的参数方程:

中得,

所以,,

所以曲线的参数方程为为参数）,

化为普通方程为.

（Ⅱ）点的直角坐标是（）,

设直线的参数方程:

 （t为参数）,

代入到曲线的方程,得到,

令,得.

设点,分别对应参数,,

则,,,

由韦达定理可得到,

因为,

所以,

所以的取值范围为.

【解析】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，椭圆的参数直角方程、极坐标方程的互化及其应用、直线的参数方程的应用；

（Ⅰ）由参数方程可得求出,，曲线的参数方程为为参数）,然后化成一般方程；

（Ⅱ）设直线的参数方程:

 （t为参数）,代入到曲线的方程,得到,由韦达定理可得到，进而求出取值范围.

23．设函数的最小值为.

（1）求;

（2）已知是正实数,且满足,求的最小值.

【答案】（Ⅰ）

当时,单调递减,

当时,单调递增,

所以当时,的最小值为1,即.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,又,,是正实数,

由柯西不等式可知,

即,

当且仅当时等号成立.

【解析】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想；

（Ⅰ）

当时,单调递减,当时,单调递增，所以当时,的最小值为1，即可求出；

（Ⅱ）由柯西不等式可知.