八年级数学截长补短练习题.docx

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八年级数学截长补短练习题

截长补短

一．解答题（共13小题）

1．（2016秋•丰宁县期中）如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：

BC=AB+CE．

2．（2016秋•和平区期中）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°．求证：

AE=AD+BE．

3．（2012•海曙区校级模拟）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且

．

（1）求证：

BF=EF﹣ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．

4．（2013•重庆模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．

（2）若点F是CD的中点，求证：

CE=BE﹣AD．

5．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：

ED﹣FC=BE．

6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=∠BCD，E为AD中点，连接BE，CE

（1）求证：

BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：

BG=DG+CD．

7．（2017秋•卢氏县校级月考）如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C，求证：

AC=AB+CE．

8．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．

（1）求证：

CE平分∠BCD；

（2）求证：

AD+BC=CD；

（3）若AB=12，CD=13，求S△CDE．

9．已知：

如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF，求证：

EF=BF+DE．

10．已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，

（1）求：

∠AOC的度数；

（2）求证：

AC=AE+CD．

11．如图，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：

AD=BD+CD．

12．如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：

AB=AD+BC．

13．（2014秋•株洲县期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣

∠BDC．求证：

AC=BD+CD．

截长补短

参考答案与试题解析

一．解答题（共13小题）

1．（2016秋•丰宁县期中）如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：

BC=AB+CE．

【解答】解：

在BC上截取BF=AB，连DF，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠1=∠2．

则在△ABD与△FBD中，

，

∴△ABD≌△FBD（SAS），

∴DF=DA=DE，

又∵∠A=100°，∠ABC=40°，

∴∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°﹣∠A=80°，

∴∠FDC=60°，

∵∠EDC=∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠A=180°﹣20°﹣100°=60°，

∴∠FDC=∠EDC，

∴△DCE≌△DCF（SAS），

∴CE=CF，

∴BC=BF+CF=AB+CE，即BC=AB+CE．

2．（2016秋•和平区期中）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°．求证：

AE=AD+BE．

【解答】证明：

如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，

∴CE=CF，

∵∠B+∠ADC=180°．

∠ADC+∠CDF=180°（平角定义），

∴∠CDF=∠B，

在△CDF和△CBE中，

，

∴△CDF≌△CBE（AAS），

∴DF=BE，

在Rt△ACF和Rt△ACE中，

，

∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），

∴AE=AF，

∵AF=AD+DF，

∴AE=AD+BE．

3．（2012•海曙区校级模拟）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且

．

（1）求证：

BF=EF﹣ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．

【解答】

（1）证明：

旋转△BCF使BC与CD重合，

∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，

∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

由旋转可知：

∠ABC=∠CDF′，

∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，

∴A，D，F′共线，

∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，

∴△FCE≌△F′CE，

∴EF′=EF=DF′+ED，

∴BF=EF﹣ED；

（2）解：

∵AB=BC，∠B=80°，

∴∠ACB=50°，

由

（1）得∠FEC=∠DEC=70°，

∴∠ECB=70°，

而∠B=∠BCD=80°，

∴∠DCE=10°，

∴∠BCF=30°，

∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．

4．（2013•重庆模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．

（2）若点F是CD的中点，求证：

CE=BE﹣AD．

【解答】解：

（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，

∴AM=BM=

×6=3；

∵EF⊥AF，

∴∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，

∴四边形AMEF是矩形，

∴EF=AM=3；

在Rt△AFE中，AE=

=5；

（2）延长AF、BC交于点N．

∵AD∥EN，

∴∠DAF=∠N；

∵F是CD的中点，

∴DF=FC，

∵∠AFD=∠NFC，∴△ADF≌△NCF（AAS），

∴AD=CN；

∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，

又AE=BE，∠B=∠BAE，

∴∠N=∠EAN，AE=EN，

∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，

∴CE=BE﹣AD．

5．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：

ED﹣FC=BE．

【解答】证明：

延长EB至G，使BG=CF，连接CG，

∵DF⊥BC，

∴∠CBG=∠DFC=90°，

在△BCG和△FDC中

∴△BCG≌△FDC，

∴CD=CG，∠1=∠2，

∵∠1+∠DCF=90°，

∴∠2+∠DCF=90°，

∵∠DCE=45°，

∴∠ECG=45°，

∴∠DCE=∠ECG，

在△DEC和△EGC中，

∴△DEC≌△EGC（SAS），

∴ED=EG，

∴ED﹣FC=BE．

6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=∠BCD，E为AD中点，连接BE，CE

（1）求证：

BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：

BG=DG+CD．

【解答】解：

∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，

∴∠BAE=∠CDE，AE=DE，

在△BAE与△CDE中，

，

∴△BAE≌△CDE（SAS），

∴BE=CE；

（2）延长CD和BE的延长线交于H，

∵BF⊥CD，∠BEC=90°，

∴∠HEC=90°，

∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，

∴∠EBF=∠ECH，

在△BEG和△CEH中，

，

∴△BEG≌△CEH（ASA），

∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，

∵△BAE≌△CDE，

∴∠AEB=∠GED，

∠HED=∠AEB，

∴∠GED=∠HED，

在△GED和△HED中，

，

∴△GED≌△HED（SAS），

∴DG=DH，

∴BG=DG+CD

7．（2017秋•卢氏县校级月考）如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C，求证：

AC=AB+CE．

【解答】证明：

∵∠AED=∠1+∠C，∠1=∠C，

∴∠AED=2∠C，ED=EC，AC

∵∠B=2∠C，

∴∠AED=∠B，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAB=∠DAC，

在△DAB和△DAE中，

，

∴△DAB≌△DAE，

∴AB=AE，BD=DE=EC

∴AC=AE+EC=AB+CE．

8．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．

（1）求证：

CE平分∠BCD；

（2）求证：

AD+BC=CD；

（3）若AB=12，CD=13，求S△CDE．

【解答】

（1）证明：

作EM⊥CD垂足为M，

∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，

∴AE=EM，

∵AE=EB，

∴EM=EB，

∵EB⊥BC，EM⊥CD，

∴EC平分∠BCD．

（2）证明：

由

（1）可知：

AE=EM=EB，

在RT△DEA和RT△DEM中，

，

∴△DEA≌△DEM，

∴DA=DM，同理可证：

CB=CM

∴CD=DM+MC=AD+BC．

（3）解：

由

（1）可知：

EM=AE=EB=

AB=6，

∵EM⊥CD，CD=13，

∴S△EDC=

•DC•EM=

×13×6=39．

9．已知：

如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF，求证：

EF=BF+DE．

【解答】证明：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAC=∠D=∠ABC=90°，

∴把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，如图，

∴AG=AE，BG=DE，∠EAG=90°，∠ABG=∠D=90°，

∴点G在CB的延长线上，

∴BF+BG=GF，

∵∠EAF=45°，

∴∠GAF=45°，

在△AEF和△AGF中，

，

∴△AEF≌△AGF，

∴EF=FG，

∴EF=BF+BG=BF+DE．

10．已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，

（1）求：

∠AOC的度数；

（2）求证：

AC=AE+CD．

【解答】

（1）解：

∵∠B=60°，

∴∠BAC+∠ACB=180°﹣60°=120°，

∵AD、CE是△ABC的角平分线，

∴∠OAC+∠OCA=

（∠BAC+∠ACB）=

×120°=60°，

在△AOC中，∠AOC=180°﹣（∠OAC+∠OCA）=180°﹣60°=120°；

（2）证明：

如图，在AC上截取AF=AE，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠OAE=∠OAF，

在△AOE和△AOF中，

，

∴△AOE≌△AOF（SAS），

∴∠AOF=∠AOE，

∵∠AOE=180°﹣∠AOC=180°﹣120°=60°，

∴∠AOF=60°，

∵∠COF=∠AOC﹣∠AOF=120°﹣60°=60°，

∠COD=∠AOE=60°，

∴∠COD=∠COF，

∵CE是△ABC的平分线，

∴∠OCD=∠OCF，

在△COD和△COF中，

，

∴△COD≌△COF（ASA），

∴CF=CD，

∵AC=AF+CF，

∴AC=AE+CD．

11．如图，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：

AD=BD+CD．

【解答】解：

延长DB，使BE=CD，连接AE，BC，

∵∠BAC+∠ACD+∠BDC+∠ABD=360°，∠BAC=60°，∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

∴A，B，D，C四点共圆，

∴∠ACB=∠ADE，

∵∠ABD+∠ABE=180°，

∴∠ABE=∠ACD，

∵AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠ADE=60°，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴AE=AD，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD=DE，

∵DE=BD+BE，

∴AD=BD+CD．

12．如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：

AB=AD+BC．

【解答】解：

过E作EF∥AD，交AB于F，

则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，

∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，

∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，

∴AF=EF=FB，

又∵EF∥AD∥BC，

∴EF是梯形ABCD的中位线，

∴EF=

，

∴AF+FB=2EF，

∴AB=AD+BC．

13．（2014秋•株洲县期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣

∠BDC．求证：

AC=BD+CD．

【解答】证明：

以AD为轴作△ABD的对称△AB′D（如图），

则有B′D=BD，AB′=AB=AC，

∠B′=∠ABD=60°，∠ADB′=∠ADB=90°﹣

∠BDC，

所以∠ADB′+∠ADB+∠BDC=180°﹣∠BDC+∠BDC=180°，

所以C、D、B′在一条直线上，

所以△ACB′是等边三角形，

所以CA=CB′=CD+DB′=CD+BD．