第三章一元一次方程.docx
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第三章一元一次方程
第三章一元一次方程
单元要点分析
教学内容
方程就是将众多实际问题“教学化”的一个重要模型．因此，课本从学生熟悉的实际问题开始，从算式到方程，展开方程的学习，以使学生认识到方程的出现源于解决问题的需要，体会学习方程的意义和作用．
本章内容主要分为以下三个部分：
1．通过丰富实例，从算式到建立一元一次方程，展开方程是刻画现实生活的有效数学模型．
2．运用等式的基本性质解方程，归纳移项法则，运用分配律，归纳“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤，这些内容的学习不是孤立进行的，始终从实际问题出发，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望．
3．运用方程解决丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，展现运用方程解决实际问题的一般过程．
为了使学生经历“建立方程模型”这一数学化的过程，理解学习方程的意义，培养学生的抽象概括等能力，课本内容的呈现都以求解决一个实际问题为切入点，让学生经历抽象、符号变号、应用等活动，在活动中培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识．
三维目标
1．知识与技能
根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
2．过程与方法
（1）了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程．（数学系数）
（2）能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力．
3．情感态度与价值观
激发学生的好奇心和主动学习的欲望，体会数学的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：
一元一次方程有很多直接应用，解一元一次方程是解其他方程和方程组的基础．因此本章重点在于使学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本方法，能运用一元一次方程解决实际问题．
2．难点：
正确地列出一元一次方程的解决实际问题．
3．关键：
（1）熟练地解一元一次方程的关键在于正确地了解方程、方程解的意义和运用等式的两个性质．
（2）正确地列出方程的关键在于正确地分析问题中的已知数、未知数，并找出能够表示应用题全部含义的相等关系．
课时划分
3．1从算式到方程2课时
3．2解一元一次方程
（一）3课时
3．3解一元一次方程
（二）4课时
3．4实际问题与一元一次方程3课时
数学活动1课时
回顾与思考1课时
3．1．1一元一次方程
教学内容
课本第78页至第81页．
教学目标
1．知识与技能
（1）通过观察，归纳一元一次方程的概念．
（2）根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解．
2．过程与方法．
通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义．
3．情感态度与价值观
鼓励学生进行观察思考，发展合作交流的意识和能力．
重、难点与关键
1．重点：
了解一元一次方程的有关概念，会根据已知条件，设未知数，列出简单的一元一次方程，并会估计方程的解．
2．难点：
找出问题中的相等关系，列出一元一次方程以及估计方程的解．
3．关键：
找出能表示实际问题的相等关系．
教具准备
投影仪．
教学过程
一、复习提问
在小学里，我们已学习了像2x=50，3x+1=4等简单方程，那么什么叫方程呢？
什么叫方程的解和解方程呢？
答：
含有未知数的等式叫方程；能使方程等号两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程．
方程是应用广泛的数学工具，把问题中未知数与已知数的联系用等式形式表示出来．在研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数．
怎样根据问题中的数量关系列出方程？
怎样解方程？
这是本章研究的问题．
通过本章中丰富多彩的问题，你将进一步感受到方程的作用，并学习利用一地一次方程解决问题的方法．
二、新授
1．怎样列方程？
让学生观察章前图表，根据图表中给出的信息，回答以下问题．
（1）根据图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间表，你知道，汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间？
青山到秀水呢？
（2）青山与翠湖、秀水到翠湖的距离分别是多少？
（3）本问题要求什么？
（4）你会用算术方法解决这个实际问题呢？
不妨试试列算式．
（5）如果设王家庄到翠湖的路程为x（千米），你能列出方程吗？
解：
（1）汽车从王家庄行驶到青山用了3小时，青山到秀水用了2小时．
（2）青山与翠湖的距离为50千米，秀水与翠湖的距离为70千米．
（3）王家庄到翠湖的距离是多少千米？
（4）分析：
要求王家庄到翠湖的距离，只要求出王家庄到青山的距离，而王家庄到青山的时间为3小时，所以必需求汽车的速度．
如何求汽车的速度呢？
这里青山到秀水的时间为2小时，路程为（50+70）千米，因此可求的汽车的平均速度为（50+70）÷2=60（千米／时）
王家庄到青山的路程为：
60×3=180（千米）
所以王家庄到翠湖的路程为：
180+50=230（千米）
列综合算式为：
×3+50
（5）分析：
先画出示意图，示意图往往有助于分析问题．
从上图中可以用含x的式子表示关于路程的数量：
王家庄距青山（x-50）千米，王家庄距秀水（x+70）千米．
从章前图表中可以得出关于时间的数量：
从王家庄到青山行车3小时，从王家庄到秀水行车5小时．
由路程数量和行车时间的数量，可以得到行车速度的表达式．
汽车从王家庄开往青山时的速度为
千米／时，汽车从王家庄开往秀水的速度为
千米／时．
要列出方程，必需找出“相等关系”，题目中还有哪些相等关系吗？
根据汽车是匀速行驶的，可知各段路程的车速相等．
于是列出方程：
=
以后我们将学习如何解这个方程，求出未知数x的值，从而得出王家庄到翠湖的路程．
思考：
对于以上的问题，你还能列出其他方程吗？
如果能，你依据的是哪个相等关系？
根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等．
所以还可以列方程：
=
或
=
（前者是汽车从王家庄到青山与从青山到秀水，这两段路程的车速相等，后者是汽车从王家庄到翠湖与从青山到秀水，这两段路程的车速相等）
比较用算术方法和列方程方法解应用题，用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难；而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，有了这个未知数，问题中的已知量与未知量之间的关系就很容易用含有这个未知数的式子表示，再根据“相等关系”列出方程．
有了方程后人们解决许多问题就更方便了，通过今后的学习，你会逐步认识：
从算式到方程是数学的进步．
列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程．
例1：
根据下列问题，设未知数并列出方程．
（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
分析：
设正方形的边长为x（cm），那么周长为4x（cm），依题意，得4x=24．
（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？
分析：
设再经过x月这台计算机的使用时间达到规定的检测时间，根据每月再使用150小时，那么x月共使用150x小时．
能表示这个问题的相等关系是什么？
相等关系是：
已使用的时间1700小时＋还可以使用的时间150x小时＝规定的检测时间2450小时．
从而列出方程：
1700+150x=2450．
找出表达问题意义的相等关系是列出方程的关键．
（3）某校女生占全体学生的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
问：
女生占全体学生数的52%，那么男生占全体学生数的（1-52%），如果设这个学校有x个学生，那么用含x的式子表示女、男学生数．
女生有52%x人，男生有（1-52%）x人；
问题中的相等关系是什么？
（女生比男生多80人）即女生人数-男生人数=80或女生人数=男生人数+80．
列方程：
0.52x-（1-0.52）x=80或0.52x=（1-0.52）x+80．
2．一元一次方程的概念．
观察以上所列出的各方程，有什么特点？
每个方程有几个未知数，未知数的指数是多少？
只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程．
例如方程2x-3=3x+1，
-3=2y等都是一元一次方程，而x+y=5，x2+3x=2都不是一元一次方程．
以上分析过程可归纳为：
分析问题中的数量关系──设未知数x──用含x的式子表示实际问题中的数量关系──找出相等关系，利用相等关系列出方程（一元一次方程）．
列方程是解决实际问题的一种重要方法，利用方程可以解出未知数．
观察方程4x=24，不难发现，当x=6时，4x的值是24，这时方程等号左右两边相等，x=6叫做方程4x=24的解，这就是说，方程4x=24中未知数x的值应是6．
从方程1700+150x=2450，你能估算出x的值吗？
这里x是正整数，如果x=1，那么方程左边=1700+150×1=1850≠右边
所以x≠1．
如果x=2，则方程左边=1700+150×2=2000≠右边，
所以x≠2．
类似地，我们可以列出下面的表．
x的值
1
2
3
4
5
6
…
1700+150x
1850
2000
2150
2300
2450
2600
…
从表中可以发现，当x=5时，1700+150x的值是2450．
这时方程1700+150x=2450等号左右两边相等，x=5叫做方程1700+150x=2450的解，这就是说，方程1700+150x=2450中未知数x的值应是5．
解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值的过程，这个值就是方程的解．
你能从表中发现方程1700+150x=2600的解吗？
当x=6时，1700+150x的值为2600，即x=6时方程等号两边的值相等，所以这个方程的解是x=6．
思考：
你能估算出方程2（x+1.5x）=24和方程0.52x-（1-0.52）x=80的解吗？
以上估算难度较大，第一个方程，当x=4时，方程左边=20<24；当x=5时方程左边=25>24，所以取x=4.7或x=4.8．试一试，结果当x=4.8时，方程左边=24=右边，所以方程的解为x=4.8．第二个方程的解为x=2000，困难更大了，可以告诉学生，当我们学习了方程的解法后，就很容易求出x的值了．
思考：
x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-（1-0.52）x=80的解？
三、巩固练习
课本第82页练习．
1．设沿跑道跑x周，可以跑3000m，根据相等关系──x周共长3000m．
所以列方程：
400x=3000，如果x=7，则400x=2800<3000，如果x=8，则400x=3200>3000，如果x=7.5，则400x=4007.5=3000，所以沿跑道跑7周半，可以跑3000m．
2．如果设买甲种铅笔x枝，那么买乙种铅笔（20-x）枝，买甲种铅笔用去0.3x元，乙种铅笔用去0.6（20-x）元，相等关系是：
两种铅笔共用了9元钱，由此可列方程．
0.3x+0.6（20-x）=9
3．设上底长为xcm，那么下底长为（x+2）cm，
根据梯形面积公式，可列方程：
=40
四、课堂小结
方程在小学里已初步学过，对于方程中的一些概念，如：
方程的解和解方程等，要进一步弄清楚，今天还学习了一元一次方程的定义，“一元”是指方程中只有一个未知数，“一次”是指方程中未知数的指数是一，这样的方程才是一元一次方程．
用估算求方程的解，实际上是检验一个数是否为方程的解，方法是：
把这个数分别代入方程的左、右两边，看是否相等，若方程只有一边含有未知数，而另一边只有一个数，则只需代入只有未知数的一边，计算出结果，看其是否和另一边相等．
列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤：
设未知数──用含未知数的式子表示问题中的数量关系．
找出相等关系──列出一元一次方程．
其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示应用题全部含义的相等关系，也就是题目中给出的条件应予充分利用，不能把同一条件重复利用．
五、作业布置
1．课本第84页至第85页习题3．1第1、2、5、6、9题．
2．选用课时作业设计．
课时作业设计
一、判断题．（对的打“∨”，错的“×”）
1．x=2是方程x-10=-4x的解．（）
2．x=1或x=-1都是方程x2-1=0的解．（）
二、选择题．
3．方程12（x-3）-1=2x+3的解是（）．
A．x=3B．x=-3C．x=-4D．x=4
4．下列式子是一元一次方程的是（）．
A．2x+1B．
C．7x+5y=0D．x2-x=0
5．解是1的方程是（）．
A．x（x-1）=1B．2y-1=4-3y
C．3-（x-1）=4D．5x-2=x-4
三、根据下列条件列出方程．（不求解）
6．某数的
比这个数大1．
7．某数的3倍比这个数的
小3．
8．某数与1的差是这个数的2倍．
9．某数的30%与4的差的
等于2．
四、解答题．
10．买3千克苹果，付出10元，找回了3角4分，求每千克苹果多少钱？
11．某厂去年10月生产电视机2050台，这比前年10月产量的2倍还多150台，这个厂前年10月生产电视机多少台？
12．挖一条长1210m的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖130m，乙队每天挖90m，挖好水渠需要多少天？
13．现在有面值为2元和5元的人民币39张，币值共计111元，问两种人民币各有多少张？
答案：
一、1．∨2．∨
二、3．D4．B5．B
三、6．
x-x=17．3x=
x-38．x-1=2x9．
（30%x-4）=2
四、10．设每千克苹果x元，列方程3x+0.34=10，x=3.22
11．设这个厂前年10月生产电视机x台，列方程2x+150=2050，x=950
12．设挖好水渠需x天，列方程130x+90x=1210，x=5.5（天）
13．设面值2元的人民币有x张，列方程2x+5（39-x）=111，x=28，2元的有28张，5元的有11张．
3.1.2等式的性质
教学内容
课本第82页至第84页．
教学目标
1．知识与技能
会利用等式的两条性质解方程．
2．过程与方法
利用天平，通过观察、分析得出等式的两条性质．
3．情感态度与价值观
培养学生参与数学活动的自信心、合作交流意识．
重、难点与关键
1．重点：
了解等式的概念和等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程．
2．难点：
由具体实例抽象出等式的性质．
3．关键：
了解和掌握等式的两条性质是掌握一元一次方程的解法的关键．
教具准备
投影仪．
教学过程
一、引入新课
我们可以估算出某些方程的解，但是仅依靠估算来解比较复杂的方程是很困难的．这一点上一节课我们已经体会到．因此，我们还要讨论怎样解方程．因为，方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来研究等式有什么性质？
二、新授
1．什么是等式？
用等号来表示相等关系的式子叫等式．
例如：
m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y这样的式子，都是等式，我们可以用a=b表示一般的等式．
2．探索等式性质．
观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？
从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还保持平衡．
从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是保持平衡．
等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质．
等的性质1：
等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果相等．
例如等式：
1+3=4，把这个等式两边都加上5结果仍是等式即1+3+5=4+5，把等式两边都减去5，结果仍是等式，即1+3-5=4-5．
怎样用式子的形式表示这个性质？
如果a=b，那么a±c=b±c．
运用性质1时，应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系，例如，对于等式3+4=7，如果左边加上5，右边加上6，那么3+4+5≠7+6．
观察课本图3．1-3，由它你能发现什么规律？
可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还保持平衡．
类似可以得到等式性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍相等．
怎样用式子的形式表示这个性质？
如果a=b，那么ac=bc．
如果a=b，（c≠0），那么
=
．
性质2中仅仅乘以（或除以）同一个数，而不包括整式（含字母的），要注意与性质1的区别．
运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数．
例2：
利用等式的性质解下列方程：
（1）x+7=26；
（2）-5x=20；（3）-
x-5=4．
分析：
解方程，就是把方程变形，变为x=a（a是常数）的形式．
在方程x+7=26中，要去掉方程左边的7，因此两边都减去7．
解：
（1）根据等式性质1，两边同减7，得：
x+7-7=26-7
于是x=19
我们可以把x=19代入原方程检验，看看这个值能否使方程的两边相等，将x=19代入方程x+7=26的左边，得左边＝19+7=26=右边，所以x=19是方程x+7=26的解．
（2）分析：
-5x=20中-5x表示-5乘x，其中-5是这个式子-5x的系数，式子x的系数为1，-x的系数为-1，如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢？
即把-5x的系数变为1，应把方程两边同除以-5．
解：
根据等式性质2，两边都除以-5，得
于是x=-4
（3）分析：
方程-
x-5=4的左边的-5要去掉，同时还要把-
x的系数化为1，如何去掉-5呢？
根据两个互为相反数的和为0，所以应把方程两边都加上5．
解：
根据等式性质1，两边都加上5，得
-
x-5+5=4+5
化简，得-x=9
再根据等式性质2，两边同除以-
（即乘以-3），得
-
x·（-3）=9×（-3）
于是x=-27
同学们自己代入原方程检验，看看x=-27是否使方程的两边相等．
3．补充例题：
下列方程的解法对不对？
如果不对，错在哪里？
应当怎样改正？
（1）解方程：
x+12=34
解：
x+12=34=x+12-12=34-12=x=22
（2）解方程-9x+3=6
解：
-9x+3-3=6-3
于是-9x=3
所以x=-3
（3）解方程
-1=
解：
两边同乘以3，得2x-1=-1
两边都加上1，得2x-1+1=-1+1
化简，得2x=0
两边同除以2，得x=0
分析：
（1）错，解方程是根据等式的两个性质，将方程变形，所以不能用连等号；
（2）错，最后一步是根据等式的性质2，两边同除以-9，即
，于是x=-
．
（3）错，两边同乘以3，应得2x-3=-1
两边都加3，得2x=2
两边同除以2，得x=1
本题还可以这样解答：
两边都加上1，得
-1+1=-
+1
化简，得=
=
两边都除以
（或乘以
），得x=1
三、巩固练习
1．课本第84页练习．
（1）两边同加上5，得x=11，把x=11代入方程左边=11-5=6=右边，所以x=11是方程的解．
（2）两边同除以0.3，即乘以
，得x=150，检验略．
（3）解法1：
两边都减去2，得2-
x-2=3-2
化简，得-
x=1
两边同乘以-4，得x=-4
解法2：
两边都乘以-4，得-8+x=-12
两边都加上8，得x=-4
检验：
将x=-4代入方程，2-
x=3的左边，得：
2-
×（-4）=2+1=3
方程的左右两边相等，所以x=-4是方程的解．
一般采用方法1．
2．补充练习．
回答下列问题：
（1）从a+b=b+c，能否得到a=c，为什么？
（2）从ab=bc能否得到a=c，为什么？
（3）从
=
，能否得到a=c，为什么？
（4）从a-b=c-b，能否得到a=c，为什么？
（5）从xy=1，能否得到x=
，为什么？
解：
（1）从a+b=b+c，能得到a=c，根据等式性质1，两边同减去b，就得a=c．
（2）从ab=bc不能得到a=c，因为b是否为0不确定，所以不能根据等式的性质2，在等式的两边同除以b．
（3）从
=
能得到a=c，根据等式性质2，两边都乘以b．
（4）从a-b=c-b能得到a=c，根据等式性质1，两边都加b．
（5）从xy=1能得到x=
由xy=1隐含着y≠0，因此根据等式的性质2，在等式两边都除以y．
四、课堂小结
在学习本节内容时，要注意几个问题：
1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：
同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边．
2．等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同．
3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0．
五、作业布置
1．课本第85页习题3．1第4、7、8题．
2．思考课本第85习题3．1第10、11题．
3．选用课时作业设计．
课时作业设计
一、填空题．
1．在等式2x-1=4，两边同时________得2x=5．
2．在等式x-
=y-
，两边都_______得x=y．
3．在等式-5x=5y，两边都_______得x=-y．
4．在等式-
x=4的两边都______，得x=______．
5．如果2x-5=6，那么2x=________，x=______，其根据是________．
6．如果-
x=-2y，那么x=________，根据________．
7．在等式
x=-20的两边都______或______得x=________．
二、判断题．（对的打“∨”，错的打“×”）
8．由m-1=4，得m=5．（）
9．由x+1=3，得x=4．（）
10．由
=3，得x=1．（）
11．由
=0，得x=2（）
12．在等式2x=3中两边都减去2，得x=1．（）
三、判断题．
13．下列方程的解是x=2的有（）．
A．3x-1=2x+1B．3x+1=2x-1
C．3x+2x-2=0D．3x-2x+2=0
14．下列各组方程中，解相同的是（）．
A．x=3与2x=3B．x=3与2x+6=0
C．x=3与2x-6=0D．x=3与2x=5
四、用等式的性质求x．
15．
（1）x+2=5；
（2）3=x-3；（3）x-9=8
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