中考数学典型试题及解析答案双动点最值.docx

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中考数学典型试题及解析答案双动点最值

中考数学典型试题及解析

双动点、最值

一、动点专练

例1如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）若△BPQ为直角三角形，求t；

（2）设△BPQ的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；

（3）作QR∥BA交AC于点R，连结PR，若△APR∽△PRQ，求t？

分析：

（1）分两种情况考虑：

∠BPQ＝90°，或∠BQP＝90°，由于∠B＝60°，则第三角必为30°，利用30度角所对直角边是斜边的一半，可知BP长是BQ长的两倍或一半，建立方程求解．

（2）由于∠B＝60°是特殊角，故不能选PQ为底，过点A作高！

可选BP为底，过Q作垂线段QE，则高QE的长也可用含t的代数式表示，S与t的函数关系式也可求；

（3）由QR∥BA，可证得△CRQ∽△CAB，△CRQ也为等边三角形，求出QR和PE的长，则QR＝PE，可证四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR＝∠A＝60°，在△PQR中，利用60°，得到PR，QR的比值，列出方程即可求t．

解答：

例2

分析：

由翻折知，四边形QPCP′必为筝形，要想使其为菱形，则首先必须是平行四边形，对角线必然互相平分，利用这一点，想到连接PP′，交CQ于点O，则QO＝CO，想办法用含t的代数式表示出CO和QO，问题迎刃而解．

解答：

二、最值分类

（1）垂线段最短型及变式

例1：

如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是_______．

分析：

由PE⊥AC，PF⊥BC，得∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，可证四边形ECFP是矩形，想到对角线相等，可连接CP，问题转化为CP的最小值，则CP⊥AB时，可取最小值．

解答：

变式：

如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为________．

分析：

本题与例1十分类似，先用勾股定理逆定理，证∠BAC＝90°，从而可证四边形AEPF是矩形，M为对角线EF的中点，放在Rt△AEF中，AM长是斜边EF长的一半，连接AP，AP＝EF，则AM也是AP的一半，求出AP的最小值，AM的最小值就是其一半．

解答：

（2）将军饮马型及变式

例2如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为________

分析：

本题是一个典型的将军饮马问题，属于一定两动型，点B是定点，M，N是动点，方法大家应该很熟了，作点B关于AC的对称点E，当E，M，N三点共线，且EN⊥AB时，BM＋MN＝EN最短，而要求这个最小值，则需要利用勾股定理，或者相似解决．

解答：

作点B关于AC的对称点E，过E作EF⊥AB交于点F，连接BE

变式1：

分析：

显然，这是一个将军饮马问题，但是，P、Q、R三个点均不是定点，不能过定点作对称，那只能选择Q或P作对称．由于原三角形是等边三角形，那么翻折后，可以将等边三角形补成一个菱形，此后思路与例1一致．同时，本题还要求等边三角形的边长，掌握公式就很快！

解答：

变式2：

如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD中点，P为AB边上一动点（含端点），F为CP中点，则△CEF的周长最小值为________

分析：

解答：

练习反馈

1.如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边

上一动点，则EC+ED的最小值是。

2.如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别

找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM的度数。

3.如图∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，

点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段

AQ+PQ+PB的最小值是多少？

4.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在，

轴、

轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点。

（1）若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

5.如图，抛物线

交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且

，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

6.如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

（1）求OE的长；

（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式；

（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

（4）若

点N在

（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出M

点的坐标；若不存在，请说明理由．