中考数学典型试题及解析答案双动点最值.docx
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中考数学典型试题及解析答案双动点最值
中考数学典型试题及解析
双动点、最值
一、动点专练
例1如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P,Q同时从A、B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)若△BPQ为直角三角形,求t;
(2)设△BPQ的面积为S(cm²),求S与t的函数关系式;
(3)作QR∥BA交AC于点R,连结PR,若△APR∽△PRQ,求t?
分析:
(1)分两种情况考虑:
∠BPQ=90°,或∠BQP=90°,由于∠B=60°,则第三角必为30°,利用30度角所对直角边是斜边的一半,可知BP长是BQ长的两倍或一半,建立方程求解.
(2)由于∠B=60°是特殊角,故不能选PQ为底,过点A作高!
可选BP为底,过Q作垂线段QE,则高QE的长也可用含t的代数式表示,S与t的函数关系式也可求;
(3)由QR∥BA,可证得△CRQ∽△CAB,△CRQ也为等边三角形,求出QR和PE的长,则QR=PE,可证四边形EPRQ是矩形,由△APR∽△PRQ,可得出∠QPR=∠A=60°,在△PQR中,利用60°,得到PR,QR的比值,列出方程即可求t.
解答:
例2
分析:
由翻折知,四边形QPCP′必为筝形,要想使其为菱形,则首先必须是平行四边形,对角线必然互相平分,利用这一点,想到连接PP′,交CQ于点O,则QO=CO,想办法用含t的代数式表示出CO和QO,问题迎刃而解.
解答:
二、最值分类
(1)垂线段最短型及变式
例1:
如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为AB上一动点,且PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,则线段EF长度的最小值是_______.
分析:
由PE⊥AC,PF⊥BC,得∠PEC=∠PFC=∠C=90°,可证四边形ECFP是矩形,想到对角线相等,可连接CP,问题转化为CP的最小值,则CP⊥AB时,可取最小值.
解答:
变式:
如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为________.
分析:
本题与例1十分类似,先用勾股定理逆定理,证∠BAC=90°,从而可证四边形AEPF是矩形,M为对角线EF的中点,放在Rt△AEF中,AM长是斜边EF长的一半,连接AP,AP=EF,则AM也是AP的一半,求出AP的最小值,AM的最小值就是其一半.
解答:
(2)将军饮马型及变式
例2如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若点M、N分别是线段AC,AB上的两个动点,则BM+MN的最小值为________
分析:
本题是一个典型的将军饮马问题,属于一定两动型,点B是定点,M,N是动点,方法大家应该很熟了,作点B关于AC的对称点E,当E,M,N三点共线,且EN⊥AB时,BM+MN=EN最短,而要求这个最小值,则需要利用勾股定理,或者相似解决.
解答:
作点B关于AC的对称点E,过E作EF⊥AB交于点F,连接BE
变式1:
分析:
显然,这是一个将军饮马问题,但是,P、Q、R三个点均不是定点,不能过定点作对称,那只能选择Q或P作对称.由于原三角形是等边三角形,那么翻折后,可以将等边三角形补成一个菱形,此后思路与例1一致.同时,本题还要求等边三角形的边长,掌握公式就很快!
解答:
变式2:
如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD中点,P为AB边上一动点(含端点),F为CP中点,则△CEF的周长最小值为________
分析:
解答:
练习反馈
1.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB-90°,D是BC边的中点,E是AB边
上一动点,则EC+ED的最小值是。
2.如图,四边形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别
找一点M、N,使△AMN周长最小,并求此时∠AMN+∠ANM的度数。
3.如图∠MON=20°,A、B分别为射线OM、ON上两定点,且OA=2,OB=4,
点P、Q分别为射线OM、ON上两动点,当P、Q运动时,线段
AQ+PQ+PB的最小值是多少?
4.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在,
轴、
轴的正半轴上,A(3,0),B(0,4),D为边OB的中点。
(1)若E为边OA上的一个动点,求△CDE的周长最小值;
(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=1,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标。
5.如图,抛物线
交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且
,求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.
6.如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在OA边上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE的长;
(2)求经过O,D,C三点的抛物线的解析式;
(3)一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动,当点P到达点B时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,DP=DQ;
(4)若
点N在
(2)中的抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出M
点的坐标;若不存在,请说明理由.