新课标Ⅰ高考理科数学试题及参考答案.docx

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新课标Ⅰ高考理科数学试题及参考答案

2015年新课标Ⅰ高考理科数学试题及参考答案

第Ⅰ卷

一.选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设复数z满足＝i，则|z|＝

（A）1（B）（C）（D）2

（2）sin20°cos10°－con160°sin10°＝

（A）（B）（C）（D）

（3）设命题P：

nN，>，则P为

（A）nN，>（B）nN，≤

（C）nN，≤（D）nN，＝

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312

（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：

上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是

（A）（－，）（B）（－，）（C）（，）（D）（，）

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:

“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:

积及为米几何?

”其意思为:

“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?

”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛

（7）设D为ABC所在平面内一点，则

（A）（B）

（C）（D）

（8）函数f（x）＝的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为

（A）（），k

（B）（），k

（C）（），k

（D）（），k

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，

则输出的n＝

（A）5

（B）6

（C）7

（D）8

（10）的展开式中，的系数为

（A）10（B）20

（C）30（D）60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20，则r＝

（A）1（B）2

（C）4（D）8

（12）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a1，若存在唯一的

整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（）

A.[，1）B.[）C.[）D.[，1）

第卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：

本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝

（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为.

（15）若x，y满足约束条件，则的最大值为.

（16）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是.

三.解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，

（Ⅰ）求{an}的通项公式：

（Ⅱ）设，求数列}的前n项和

（18）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

（1）证明：

平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：

千元）对年销售量y（单位：

t）和年利润z（单位：

千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

（xi－）2

（wi－）2

（xi－）（yi－）

（wi－）（yi－）

46.6

56.3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中wi＝，，＝

（Ⅰ）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？

（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：

对于一组数据（u1v1），（u2v2）……..（unvn），其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系xoy中，曲线C：

y＝与直线l:

y＝kx＋a（a>0）交于M，N两点，

（Ⅰ）当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？

说明理由.

（21）（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线的切线；

（Ⅱ）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论h（x）零点的个数

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：

只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

（22）（本题满分10分）选修4－1：

几何证明选讲如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，BC交☉O于点E

（I）若D为AC的中点，证明：

DE是☉O的切线；

（II）若OA＝CE，求∠ACB的大小. 

（23）（本小题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中.直线:

x＝－2，圆：

（x－1）2＋（y－2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求，的极坐标方程；

（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求△C2MN的面积

（24）（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）>1的解集；

（Ⅱ）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

参考答案

一、选择题

（1）A

（2）D（3）C（4）A（5）A（6）B

（7）A（8）D（9）C（10）C（11）B（12）D

二、填空题

（13）1（14）（15）3（16）

二、解答题

（17）解：

（I）由，可知

可得即

由于可得

又，解得

所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为

（II）由

设数列的前n项和为，则

（18）解：

（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.

在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°，

可得AG=GC=.由BE平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.

又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，

可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，

可得FE=.从而

又因为

所以平面

（III）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，

为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.

由（I）可得所以

故

所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为.

（19）解：

（I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。

……2分

（II）令，先建立y关于w的线性回归方程。

由于

。

所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为。

……6分

（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值

年利润z的预报值

。

……9分

（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值

所以当，即x=46.24时，取得最大值

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。

……12分

（20）解：

（I）有题设可得又

处的导数值为，C在点出的切线方程为

，即.

股所求切线方程为

（III）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为符合题意的点，M（x,y）,N（x,y）直线PM，PN的斜率分别为

故

从而

当b=-a时，有

（21）解：

（I）设曲线y=f（x）与x轴相切于点

因此，当

（II）当

是的零点

综上，当

（22）解：

（I）链接AE，由已知得，

在中，由已知得，DE=DC故

链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°

故，DE是得切线

（II）设CE=1，AE=X，由已知得，

由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以即

可得，所以

（23）解：

（I）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。

……5分

（II）将代入，得，解得，。

故，即。

由于的半径为1，所以的面积为。

……10分

（24）解：

（I）当时，化为，

当时，不等式化为，无解；

当时，不等式化为，解得；

当时，不等式化为，解得。

所以的解集为。

……5分

（II）由题设可得，

所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为。

由题设得，故。

所以a的取值范围为……10分