高考数学二轮复习 考前回扣4 三角函数与平面向量讲学案.docx

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高考数学二轮复习考前回扣4三角函数与平面向量讲学案

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2020高考数学二轮复习考前回扣4三角函数与平面向量讲学案

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【20xx年度】精编高考数学二轮复习考前回扣4三角函数与平面向量讲学案

1．准确记忆六组诱导公式

对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：

奇变偶不变，符号看象限．

2．三角函数恒等变换“四大策略”

（1）常值代换：

特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．

（2）降次与升次：

正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．

（3）弦、切互化：

一般是切化弦．

（4）灵活运用辅助角公式asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）.

3．三种三角函数的性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

单调性

在

（k∈Z）

上单调递增；在

（k∈Z）

上单调递减

在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上单调递减

在

（k∈Z）上单调递增

对称性

对称中心：

（kπ，0）（k∈Z）；对称轴：

x＝

＋kπ（k∈Z）

对称中心：

（k∈Z）；

对称轴：

x＝kπ（k∈Z）

对称中心：

（k∈Z）

4.函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，A＞0）的图象

（1）“五点法”作图

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．

（2）由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．

（3）图象变换

y＝sinxy＝sin（x＋φ）

y＝sin（ωx＋φ）

y＝Asin（ωx＋φ）．

5．正弦定理及其变形

＝＝＝2R（2R为△ABC外接圆的直径）．

变形：

a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

sinA＝，sinB＝，sinC＝.

a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.

6．余弦定理及其推论、变形

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

推论：

cosA＝，cosB＝，

cosC＝.

变形：

b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，

a2＋b2－c2＝2abcosC.

7．面积公式

S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.

8．平面向量的数量积

（1）若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.

（2）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.

9．两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

（1）a∥b⇔a＝λb（b≠0）⇔x1y2－x2y1＝0.

（2）a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

10．利用数量积求长度

（1）若a＝（x，y），则|a|＝＝.

（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则

||＝.

11．利用数量积求夹角

若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为a与b的夹角，

则cosθ＝＝.

12．三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则

（1）O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.

（2）O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.

（3）O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.

（4）O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.

1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．

2．在求三角函数的值域（或最值）时，不要忽略x的取值范围．

3．求函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．

4．三角函数图象变换中，注意由y＝sinωx的图象变换得到y＝sin（ωx＋φ）时，平移量为，而不是φ.

5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．

6．要特别注意零向量带来的问题：

0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．

7．a·b＞0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；

a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件．

1．若sinθ·cosθ＝，则tanθ＋的值是（　　）

A．－2B．2

C．±2D.

答案　B

解析　tanθ＋＝＋＝＝2.

2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（　　）

A．y＝sinB．y＝cos

C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx

答案　A

解析　化简函数的解析式，A中，y＝cos2x是最小正周期为π的偶函数．

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝，cosA＝－.则b的值为（　　）

A．1B.

C.D.

答案　A

解析　根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，则22＝b2＋（）2－2b××，所以b2＋b－2＝0，解得b＝1，故选A.

4．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象（　　）

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

答案　B

解析　因为y＝sin＝sin，所以将函数y＝sin4x向右平移个单位长度就得到函数y＝sin.故选B.

5．若函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）（0<θ<π）的图象关于点对称，则函数f（x）在上的最小值是（　　）

A．－1B．－

C．－D．－

答案　B

解析　f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）＝2sin，

则由题意知，f＝2sin＝0，又因为0<θ<π，所以<π＋θ＋<，所以π＋θ＋＝2π，所以θ＝，所以f（x）＝－2sin2x.

又因为函数f（x）在上是减函数，

所以函数f（x）在上的最小值为

f＝－2sin＝－，故选B.

6．（20xx·全国Ⅲ）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　）

A.B.C．－D．－

答案　C

解析　设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，AD＝BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝＝－3，所以cosA＝－，故选C.

7．若sin2α＝，sin（β－α）＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是（　　）

A.B.

C.或D.或

答案　A

解析　∵sin2α＝，α∈，

∴2α∈，即α∈，cos2α＝－，

又sin（β－α）＝，β∈，

∴β－α∈，cos（β－α）＝－，

∴sin（α＋β）＝sin[（β－α）＋2α]

＝sin（β－α）cos2α＋cos（β－α）sin2α

＝×＋×

＝－，

cos（α＋β）＝cos[（β－α）＋2α]

＝cos（β－α）cos2α－sin（β－α）sin2α

＝×－×

＝，

又α＋β∈，

∴α＋β＝，故选A.

8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于（　　）

A.B.

C．－D．－

答案　A

解析　如图，

＝＋＝＋

＝＋（－）

＝＋，

所以λ＝.故选A.

9．函数y＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则满足此条件的φ的值为（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　平移后有f（x）＝sin＝sin，

f（x）关于y轴对称，则φ－＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z，由于0＜φ＜π，所以φ＝.

10．已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）－1，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为，若f（x）＞0对x∈恒成立，则φ的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　由已知得函数f（x）的最小正周期为，则ω＝，

当x∈时，x＋φ∈，

因为f（x）＞0，即cos＞，

所以（k∈Z），

解得－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ（k∈Z），

又|φ|＜，所以－＜φ≤－，故选B.

11．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则

f的值为________．

答案　1

解析　根据图象可知，A＝2，＝－，

所以周期T＝π，由ω＝＝2.又函数过点，

所以sin＝1，又0＜φ＜π，

所以φ＝，则f（x）＝2sin，

因此f＝2sin＝1.

12．已知函数f（x）＝3sin（ω＞0）和g（x）＝3cos（2x＋φ）的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f（x）的取值范围是________．

答案　

解析　由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，

所以f（x）＝3sin，

那么当x∈时，－≤2x－≤，

所以－≤sin≤1，故f（x）∈.

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B为锐角，且sin2B＝8sinA·sinC，则的取值范围为____________．

答案　

解析　因为sin2B＝8sinA·sinC，由正弦定理可知，

b2＝8ac，所以cosB＝

＝＝

＝－5∈（0,1），

令t＝，t>0，则0＜－5＜1，

解得＜t2＜，即t∈.

14．已知O是锐角△ABC外接圆的圆心，∠A＝60°，·＋·＝2m，则m的值为______．

答案　

解析　如图所示，取AB的中点D，则＝＋，OD⊥AB，所以·＝0，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由·＋·＝2m，得·＋·＝－2m（＋），两边同乘以，得·2＋··＝－2m（＋）·，即·c2＋·bc·cosA＝m·c2，所以·c＋·b·cosA＝m·c，

由正弦定理＝＝＝2R，

所以b＝2RsinB，c＝2RsinC，

代入上式整理，得cosB＋cosCcosA＝m·sinC，

所以m＝

＝＝sinA，

又∠A＝60°，所以m＝sin60°＝.

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋（cosA－sinA）cosB＝0.

（1）求角B的大小；

（2）若a＝2，b＝，求△ABC的面积．

解　

（1）由已知得

－cos（A＋B）＋cosAcosB－sinAcosB＝0，

即sinAsinB－sinAcosB＝0,因为sinA≠0，

所以sinB－cosB＝0，又cosB≠0，所以tanB＝，

又0＜B＜π，所以B＝.

（2）因为sinB＝，cosB＝，

所以＝＝＝，又a＝2，

所以sinA＝＝，

因为a＜b，所以cosA＝.

所以sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝，

所以S＝absinC＝.

16．已知函数f（x）＝sinxcosx＋sin2x＋（x∈R）．

（1）当x∈时，求函数f（x）的最小值和最大值；

（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f（C）＝2，若向量m＝（1，a）与向量n＝（2，b）共线，求a，b的值．

解　

（1）∵函数f（x）＝sinxcosx＋sin2x＋（x∈R），

∴f（x）＝sin2x＋＋

＝sin2x－cos2x＋1

＝sin＋1.

∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，

∴－≤sin≤1，

∴1－≤sin＋1≤2，

∴f（x）的最小值是1－，最大值是2.

（2）∵f（C）＝sin＋1＝2，

∴sin＝1，

∵0＜C＜π，∴－＜2C－＜，

∴2C－＝，解得C＝.

∵向量m＝（1，a）与向量n＝（2，b）共线，

∴b－2a＝0，即b＝2a.①

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos，

即a2＋b2－ab＝3.②

由①②得a＝1，b＝2.