北师大版数学九年级下册知识点归纳总结.docx

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北师大版数学九年级下册知识点归纳总结

北师大版数学九年级下册知识点归纳总结

第一章直角三角形边的关系

一．锐角三角函数

1.正切：

定义：

在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，

即;

①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；

②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；

③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

2.正弦：

定义：

在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;

3.余弦：

定义：

在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值

三．三角函数的计算

1.仰角:

当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角

2.俯角：

当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角

3.规律：

利用特殊角的三角函数值表，可以看出，

（1）当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

（2）0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。

4.坡度：

如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度（或坡比）。

用字母i表示，即

5.方位角：

从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。

6.方向角：

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°（东南方向）、南偏西为60°，北偏西60°。

7.同角的三角函数间的关系：

①互余关系sinA=cos（90°－A）、cosA=sin（90°－A）

②平方关系：

③商数关系：

8.解直角三角形：

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。

9.直角三角形变焦关系：

在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有

（1）三边之间的关系：

a2+b2=c2；

（2）两锐角的关系：

∠A＋∠B=90°；

（3）边与角之间的关系：

10.三角函数的应用教材第18页

11.利用三角函数测高 教材第22页

第二章二次函数

1.概念：

一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成

（a、b、c是常数,≠0）的形式，则称y是x的二次函数。

自变量x的取值范围是全体实数。

在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。

2.图像性质：

（1）二次函数y＝ax2的图象：

是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。

是二次函数

的特例，此时常数b=c=0.

（2）抛物线的描述：

开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。

①函数的取值范围是全体实数；

②抛物线的顶点在（0，0），对称轴是y轴（或称直线x＝0）。

③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。

当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。

④函数的增减性：

⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值：

当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0。

（3）二次函数

的图象：

是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数

的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。

（4）二次函数

的图象：

是以直线

为对称轴，顶点坐标为（

）的抛物线。

（开口方向和大小由a来决定）

|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；

|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。

（5）二次函数

的图象与y＝ax2的图象的关系：

的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：

（利用顶点坐标）

（6）二次函数

的图象：

是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。

（开口方向和大小由a来决定）

（7）二次函数

的性质：

二次函数

配方成

则抛物线的

①对称轴：

x=

②顶点坐标：

（

）

③增减性：

若a>0，当x<

时，y随x的增大而减小；当x>

时，y随x的增大而增大。

若a<0，则当x<

时，y随x的增大而增大；当x>

时，y随x的增大而减小。

④最值：

若a>0，则当x=

时，；若a<0，则当x=

时，

3.确定二次函数的表达式：

（待定系数法）

（1）一般式：

（2）顶点式：

（2）交点式：

y=a（x-x1）（x-x2）

4.二次函数的应用：

教材第46页几何方面

教材第48页应用题

5.二次函数与一元二次方程

（1）二次函数

的图象（抛物线）与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一

二次方程

的两个实数根

（2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

>0<===>抛物线与x轴有2个交点；

=0<===>抛物线与x轴有1个交点；

<0<===>抛物线与x轴有0个交点（无交点）；

（3）当

>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：

化简后即为：

这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。

第三章圆

1.圆的定义：

描述性定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”

集合性定义：

圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。

其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

对圆的定义的理解：

①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：

一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

2.点与圆的位置关系及其数量特征：

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

①点在圆上<===>d=r;

②点在圆内<===>d

③点在圆外<===>d>r.

其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

3.圆的对称性:

（1）与圆相关的概念：

①弦和直径：

弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：

经过圆心的弦叫做直径。

②弧、半圆、优弧、劣弧：

弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“

”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：

直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

优弧：

大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：

小于半圆的弧叫做劣弧。

（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

）

③弓形：

弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

④同心圆：

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：

能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角.

⑧弦心距:

从圆心到弦的距离叫做弦心距.

（2）.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

定理：

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论:

在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

4.垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：

平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：

根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

5.圆周角和圆心角的关系:

（1）圆周角：

:

顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

（2）圆周角定理:

圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.

推论1:

 同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2:

直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

（3）圆内接四边形：

若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.

圆内接四边形的性质:

 圆内接四边形的对角互补;

6确定圆的条件:

（1）理解确定一个圆必备两个条件:

圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.

（2）经过三点作圆要分两种情况:

?

经过同一直线上的三点不能作圆.

‚经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.

定理:

不在同一直线上的三个点确定一个圆. （尺规作图教材第85页）

7.三角形的外接圆、三角形的外心。

（1）三角形的外接圆:

经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.

（2）三角形的外心:

三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.

（3）三角形的外心的性质:

三角形外心到三顶点的距离相等.

8.直线与圆的位置关系

（1）相交:

 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.

（2）相切:

 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.

（3）相离:

 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.

（4）直线与圆的位置关系的数量特征:

设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d直线L和⊙O相交.

②d=r<===>直线L和⊙O相切.

③d>r<===>直线L和⊙O相离.

（5）切线的判定定理:

经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.

切线的性质定理:

圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.

①垂直于切线;②过切点;③过圆心.

（6）三角形的内切圆、内心.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.

三角形内心的性质:

三角形的内心到三边的距离相等. （三角形的内切圆作法尺规作图教材第92页）

9.切线长定理：

过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.

10.圆内接正多边形

（1）定义：

顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.

（2）中心角、边心距：

11.弧长及扇形的面积

（1）弧长公式:

弧长

（R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数）

（2）扇形定义:

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.

（3）扇形的面积公式:

扇形的面积

（R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数）扇形的面积S扇形=LR／2

12.与圆有关的辅助线

（1）如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）

（2）如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）

（3）若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）