高考数学总复习 第二章24 函数的单调性教案 理 北师大版.docx
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高考数学总复习第二章24函数的单调性教案理北师大版
2019-2020年高考数学总复习第二章2.4函数的单调性教案理北师大版
考纲要求
1．理解函数单调性的概念；
2．掌握判断一些简单函数单调性方法，并能利用函数的单调性解决一些问题．
知识梳理
1．函数的单调性
（1）单调函数的定义
增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2.
当x1＜x2时，都有__________，那么就说函数f（x）在区间D上是增加的
当x1＜x2时，都有__________，那么就说函数f（x）在区间D上是减少的
图
象
描
述
自左向右看图像是
__________
自左向右看图像是
__________
（2）如果函数y＝f（x）在定义域的某个子集上是__________或__________，则称函数y＝f（x）在这个子集上具有单调性．
2．函数的单调性有如下几种等价形式
（1）对于任意的x1，x2∈[a，b]，
＞0（＜0）⇔f（x）在[a，b]上是__________．
（2）对于任意的x1，x2∈[a，b]，[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）＞0（＜0）⇔f（x）在[a，b]上是__________．
基础自测
1．下列函数中，在（0,3）上是增加的是（ ）．
A．f（x）＝
B．f（x）＝－x＋3
C．f（x）＝
D．f（x）＝x2－6x＋4
2．下列函数f（x）中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”的是（ ）．
A．f（x）＝exB．f（x）＝
C．f（x）＝（x－2）2D．f（x）＝ln（x＋3）
3．若函数f（x）＝log2（x2－ax＋3a）在区间[2，＋∞）上是增加的，则实数a的取值范围是（ ）．
A．（－∞，4]
B．（－4,4]
C．（－4,2]
D．（－∞，－4]∪[2，＋∞）
4．已知函数f（x）为R上的减函数，则满足f
＜f
（1）的实数x的取值范围是__________．
5．函数y＝－（x－3）|x|在区间__________上是增加的．
思维拓展
1．已知函数y＝f（x）定义域为I，若函数在区间[a，b]（[a，b]I）上是增加的（减少的），能说函数在定义域I上单调递增（递减）?
提示：
函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．
2．函数y＝
的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞），这种表示法对吗？
提示：
首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
3．函数的单调性反映在其图像上有什么特征？
提示：
函数的单调性反映在图像上是上升或下降的．
一、函数单调性的判断
【例1－1】下列四个函数中，在（0，＋∞）上增加的是（ ）．
A．y＝
x
B．y＝－log2x
C．y＝x2－2x
D．
【例1－2】讨论函数f（x）＝
（m＜0）的单调性．
方法提炼1．判断或证明函数的单调性，最基本的方法是利用定义或利用导数．
利用定义的步骤是：
设元取值→作差（商）变形→确定符号（与1比较大小）→得出结论；
利用导数的步骤是：
求导函数→判断导函数在区间上的符号→得出结论．
2．两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定．
3．对于复合函数y＝f[g（x）]，如果内、外层函数单调性相同，那么y＝f[g（x）]为增函数，如果内、外层函数单调性相反，那么y＝f[g（x）]为减函数，即“同增异减”．
请做[针对训练]5
二、求函数的单调区间
【例2－1】定义在R上的偶函数f（x）满足：
任意的x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有
＜0，则（ ）．
A．f（3）＜f（－2）＜f
（1）
B．f
（1）＜f（－2）＜f（3）
C．f（－2）＜f
（1）＜f（3）
D．f（3）＜f
（1）＜f（－2）
【例2－2】求函数的单调区间．
方法提炼1．求函数的单调区间与确定单调性的方法：
（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
（2）定义法：
先求定义域，再利用单调性定义．
（3）导数法：
利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
（4）图像法：
如果函数是以图像形式给出的，或者函数的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．
2．求复合函数y＝f[g（x）]的单调区间的步骤：
（1）确定函数定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
请做[针对训练]1
三、已知函数的单调性，求字母的取值范围
【例3】已知函数f（x）＝lg[ax2＋（2－3a）x＋1]在（1，＋∞）上是增加的，求实数a的取值范围．
方法提炼已知函数的单调性，求字母的取值范围，一定要注意两方面：
一是定义域，二是单调性．
请做[针对训练]2
四、函数的单调性与不等式
【例4】已知定义在R上的函数f（x）满足：
①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1；②当x＞0时，f（x）＞－1.
（1）求f（0）的值，并证明f（x）在R上是增函数；
（2）若f
（1）＝1，解关于x的不等式：
f（x2＋2x）＋f（1－x）＞4.
方法提炼1．函数的单调性是与不等式有直接的联系，对函数单调性的考查常常与解不等式、求函数值域、图像等相结合．
2．解有关抽象函数不等式问题的步骤：
（1）确定函数f（x）在给定区间上的单调性（或奇偶性）；
（2）将函数不等式转化为f（A）＜f（B）的形式；
（3）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；
（4）解不等式或不等式组求得解集．
3．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f（x1）－f（x2）与0的大小，或
与1的大小（f（x）＞0）．有时根据需要，需作适当的变形：
如x1＝x2·
或x1＝x2＋x1－x2等．
提醒：
解此类问题易忽视A，B的取值范围，即忽视f（x）所在的单调区间的约束．
请做[针对训练]3
考情分析
从近三年的高考试题来看，该部分内容是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题；难度中等偏上；客观题主要考查函数的单调性的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．
针对训练
1．函数y＝1－
（ ）．
A．在（－1，＋∞）上是增加的
B．在（－1，＋∞）上是减少的
C．在（1，＋∞）上是增加的
D．在（1，＋∞）上是减少的
2．（xx江西九江一中月考）若函数f（x）＝|x－b|x在区间[2，＋∞）上是增加的，则实数b的取值范围是（ ）．
A．0≤b≤2B．b≤0
C．b≤2D．b≤4
3．已知奇函数f（x）对于任意的正实数x1，x2（x1≠x2），恒有（x1－x2）（f（x1）－f（x2））＞0，则一定正确的是（ ）．
A．f（4）＞f（－6）B．f（－4）＜f（－6）
C．f（－4）＞f（－6）D．f（4）＜f（－6）
4．定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增加的，f
＝0，则满足的x的取值范围是__________．
5．已知函数f（x）＝
－
（a＞0，x＞0），试判断函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．
（1）f（x1）＜f（x2） f（x1）＞f（x2） 逐渐上升的 逐渐下降的
（2）增加的 减少的
2．增加的（减少的） 增加的（减少的）
基础自测
1．C 2.B
3．B 解析：
由题意，得
解得－4＜a≤4，故选B.
4．（－1,0）∪（0,1） 解析：
由函数f（x）为R上的减函数且f
＜f
（1），
得
即
∴0＜x＜1或－1＜x＜0.
5．
解析：
y＝
故函数在区间
上是增加的．
考点探究突破
【例1－1】D 解析：
画出各函数图像，由图像可知，选D.
【例1－2】解：
函数定义域为{x|x≠2}，
不妨设x1，x2∈（－∞，2）且x1＜x2，
f（x2）－f（x1）＝
－
＝
＝
.
∵m＜0，x1，x2∈（－∞，2），且x1＜x2，
∴x1－x2＜0，（x2－2）（x1－2）＞0.
∴
＞0，
即f（x2）＞f（x1），故函数f（x）在区间（－∞，2）上是增加的；
同理可得函数f（x）在区间（2，＋∞）上也是增加的．
综上，函数f（x）在（－∞，2），（2，＋∞）上均为增加的．
【例2－1】A 解析：
由题意得，在[0，＋∞）上
＜0，故f（x）在[0，＋∞）上是减少的，且满足n∈N＋时，f（－2）＝f
（2）,3＞2＞1＞0，得f（3）＜f（－2）＜f
（1），故选A.
【例2－2】解：
令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作与u＝x2－4x＋3的复合函数．
令u＝x2－4x＋3＞0，则x＜1或x＞3.
∴函数（x2－4x＋3）的定义域为（－∞，1）∪（3，＋∞）．
又u＝x2－4x＋3的对称轴x＝2，且开口向上，
∴u＝x2－4x＋3在（－∞，1）上是减少的，在（3，＋∞）上是增加的．而函数在（0，＋∞）上是减少的，
∴（x2－4x＋3）的减区间为（3，＋∞），增区间为（－∞，1）．
【例3】解：
（1）当a＝0时，f（x）＝lg（2x＋1），符合题意．
（2）当a≠0时，由题意，得
解得0＜a≤
.
综上可得，实数a的取值范围是
.
【例4】解：
（1）令x＝y＝0得f（0）＝－1.
在R上任取x1＞x2，
则x1－x2＞0，f（x1－x2）＞－1，又f（x1）＝f[（x1－x2）＋x2]＝f（x1－x2）＋f（x2）＋1＞f（x2），
所以，函数f（x）在R上是增函数．
（2）由f
（1）＝1，得f
（2）＝3，f（3）＝5.
由f（x2＋2x）＋f（1－x）＞4得f（x2＋x＋1）＞f（3），
又函数f（x）在R上是增函数，
故x2＋x＋1＞3，
解之，得x＜－2或x＞1，故解集为{x|x＜－2或x＞1}．
演练巩固提升
针对训练
1．C 解析：
由函数y＝－
的图像经过平移变换可得函数y＝1－
的图像，结合图像可知，选C.
2．C 解析：
f（x）＝
当b＞0时，f（x）在
和（b，＋∞）上是增加的，在
上是减少的，∴0＜b≤2，当b＜0时，f（x）在（－∞，b）和
上是增加的，在
上是减少的，
∴
∴b＜0.当b＝0时，f（x）在R上是增函数，综上可得b≤2.故选C.
3．C 解析：
显然（4－6）（f（4）－f（6））＞0⇒f（4）＜f（6），
又函数f（x）为奇函数，
∴－f（4）＝f（－4），－f（6）＝f（－6）．
故f（－4）＞f（－6），选C.
4．
∪（2，＋∞） 解析：
由f（x）＝f（－x）＝f（|x|）得f（|x|）＞f
，
于是|x|＞
⇒
＞
⇒|log2x|＞1⇒log2x＜－1或log2x＞1
⇒0＜x＜
或x＞2.
5．解：
设x1＞x2＞0，
则△x＝x1－x2＞0，x1x2＞0，
∵△y＝f（x1）－f（x2）
＝
－
＝
－
＝
＝
＞0，△y＞0，
因此，函数f（x）在（0，＋∞）上是增加的
2019-2020年高考数学总复习第二章2.5函数的奇偶性与周期性教案理北师大版
考纲要求
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图像特点
偶函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f（x）是偶函数
关于____对称
奇函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f（x）是奇函数
关于______对称
2．周期性
（1）周期函数：
对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝______，那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的一个周期．
（2）最小正周期：
如果在周期函数f（x）的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫作f（x）的最小正周期．
基础自测
1．函数f（x）＝
－x的图像关于（ ）．
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
2．函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（－5，－3）上（ ）．
A．先减后增B．先增后减
C．单调递减D．单调递增
3．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f
（1）＝1，f
（2）＝2，则f（3）－f（4）＝（ ）．
A．－1B．1
C．－2D．2
4．偶函数f（x）是以4为周期的函数，f（x）在区间[－6，－4]上是减少的，则f（x）在[0,2]上的单调性是__________．
思维拓展
1．奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？
它是函数具有奇偶性的什么条件？
提示：
定义域关于原点对称，必要不充分条件．
2．若f（x）是偶函数且在x＝0处有定义，是否有f（x）＝0？
奇函数呢？
提示：
不一定，如f（x）＝x2＋1是偶函数，而f（0）＝1；若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0.
3．若T为y＝f（x）的一个周期，那么nT（n∈Z）是函数f（x）的周期吗？
提示：
不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n∈Z且n≠0时，nT是f（x）的一个周期．
4．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？
若有，有多少个？
提示：
存在，即f（x）＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．
一、函数奇偶性的判定
【例1】判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）＝
＋
；
（2）f（x）＝（x＋1）
；
（3）f（x）＝
方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：
1．定义法
2．图像法
3．性质法：
（1）“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
（2）“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
（3）“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
提醒：
（1）分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的化简解析式，判断f（x）与f（－x）的关系，得出结论，也可以利用图像作判断．
（2）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
（3）性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．
请做[针对训练]1
二、抽象函数的奇偶性
【例2】函数f（x）的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．
（1）求f
（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．
方法提炼抽象函数奇偶性的判断方法：
1．利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现f（－x），f（x））；
2．巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；
3．找出f（－x）与f（x）的关系，得出结论．
提醒：
抽象函数奇偶性的判断，关键是要充分理解题意，灵活选取变量的值．
请做[针对训练]2
三、函数奇偶性的应用
【例3－1】设偶函数f（x）满足f（x）＝x3－8（x≥0），则{x|f（x－2）＞0}＝（ ）．
A．{x|x＜－2或x＞0}B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}
【例3－2】设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间（－b，b）内的函数f（x）＝lg
是奇函数，则a＋b的取值范围为__________．
【例3－3】设函数f（x）＝x3＋bx2＋cx（x∈R），已知g（x）＝f（x）－f′（x）是奇函数．
（1）求b，c的值；
（2）求g（x）的单调区间与极值．
方法提炼函数奇偶性的应用：
1．已知函数的奇偶性求函数的解析式
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f（x）的方程，从而可得f（x）的解析式．
2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：
利用f（x）±f（－x）＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．
3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
提醒：
（1）奇函数f（x）在x＝0处有意义，一定有f（0）＝0.
（2）f（x）是偶函数⇔f（－x）＝f（x）＝f（|x|）．
请做[针对训练]3
四、函数的周期性及其应用
【例4－1】（xx浙江金华十校联考）若存在常数p＞0，使得函数f（x）满足f（px）＝f
（x∈R），则f（x）的一个正周期为__________．
【例4－2】已知定义在R上的奇函数f（x）的图像关于直线x＝1对称，f（－1）＝1，则f（2008）＋f（2009）＋f（2010）＋f（2011）＝__________.
方法提炼关于函数周期性常用的结论：
（1）定义在R上的函数f（x），①若有两条对称轴x＝a，x＝b，则f（x）是周期函数且2|a－b|是它的一个周期；②若有两个对称中心（a,0），（b,0），则f（x）是周期函数且2|a－b|是它的一个周期；③若有一个对称中心（a,0）和一条对称轴x＝b，则f（x）是周期函数且4|a－b|是它的一个周期．
（2）若对于函数f（x）的定义域内任一个自变量的值x都有f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝
或f（x＋a）＝－
（a是常数且a≠0），则f（x）是以2a为一个周期的周期函数．
（3）如果T是函数y＝f（x）的周期，则①kT（k∈Z且k≠0）也是y＝f（x）的周期，即f（x＋kT）＝f（x）；②若已知区间[m，n]（m＜n）的图像，则可画出区间[m＋kT，n＋kT]（k∈Z且k≠0）上的图像．
请做[针对训练]4
考情分析
从近两年的高考试题看，函数奇偶性、周期性的应用是高考的热点，多以选择题和填空题的形式出现，与函数的概念、图像、性质综合在一起考查，难度一般不大．
预测今后高考将以三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性与周期性为主要考点，重点考查逻辑推理与理解能力．
针对训练
1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）．
A．y＝2|x|B．y＝lg（x＋
）
C．y＝2x＋x－xD．y＝lg
2．已知函数f（x）对一切x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），则f（x）为（ ）．
A．偶函数B．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
3．函数f（x）的定义域为R，且满足：
f（x）是偶函数，f（x－1）是奇函数，若f（0.5）＝9，则f（8.5）等于（ ）．
A．－9B．9
C．－3D．0
4．（xx江西南昌二中月考）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x＋4）＝－
，且当x∈[－3，－2]时，f（x）＝4x，则f（2011）＝__________.
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．f（－x）＝f（x） y轴 f（－x）＝－f（x） 原点
2．
（1）f（x）
（2）存在一个最小 最小
基础自测
1．C 解析：
判断f（x）为奇函数，图像关于原点对称，故选C.
2．D 解析：
当m＝1时，f（x）＝2x＋3不是偶函数，当m≠1时，f（x）为一元二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y轴，故需m＝0，此时f（x）＝－x2＋3，其图像的开口向下，所以函数f（x）在（－5，－3）上单调递增．
3．A 解析：
∵f（3）＝f（5－2）＝f（－2）＝－f
（2）＝－2，f（4）＝f（5－1）＝f（－1）＝－f
（1）＝－1，∴f（3）－f（4）＝－1，故选A.
4．增加的 解析：
∵T＝4，且在x∈[－6，－4]上是减少的，
∴函数在（x＋4）∈[－2,0]上也是减少的，又f（x）为偶函数，故f（x）的图像关于y轴对称，
由对称性知f（x）在[0,2]上是增加的．
考点探究突破
【例1】解：
（1）由
得x＝－
或x＝
.
∴函数f（x）的定义域为{－
，
}．
∵对任意的x∈{－
，
}，－x∈{－
，
}，且f（－x）＝－f（x）＝f（x）＝0，
∴f（x）既是奇函数，又是偶函数．
（2）要使f（x）有意义，则
≥0，
解得－1＜x≤1，显然f（x）的定义域不关于原点对称，
∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（3）∵
∴－2≤x≤2且x≠0.
∴函数f（x）的定义域关于原点对称，
f（x）＝
＝
.
又f（－x）＝
＝－
，
∴f（－x）＝－f（x），即函数f（x）是奇函数．
【例2】解：
（1）令x1＝x2＝1，
有f（1×1）＝f
（1）＋f
（1），
解得f
（1）＝0.
（2）f（x）为偶函数，证明如下：
定义域D＝{x|x≠0}关于原点对称．
令x1＝x2＝－1，
有f[（－1）×（－1）]＝f（－1）＋f（－1），解得f（－1）＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f（－x）＝f（－1）＋f（x），∴f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数．
【例3－1】B 解析：
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝（－x）3－8＝－x3－8，
又f（x）是偶函数，
∴f（x）＝f（－x）＝－x3－8.
∴f（x）＝
∴f（x－2）＝
由f（x－2）＞0得：
或
解得x＞4或x＜0，故选B.
【例3－2】
解析：
∵f（x）在（－b，b）上是奇函数，
∴f（－x）＝lg
＝－f（x）＝－lg
＝lg
，
∴
＝
对x∈（－b，b）成立，可得a＝－2（a＝2舍去）．
∴f（x）＝lg
，
由
＞0，得－
＜x＜
，
又f（x）定义区间为（－b，b），
∴0＜b≤
，－2＜a＋b≤－
.
【例3－3】解：
（1）∵f（x）＝x3＋bx2＋cx，∴f′（x）＝3x2＋2bx＋c，
∴g（x）＝f（x）－f′（x）
＝x3＋（b－3）x2＋（c－2b）x＋c，
∵g（x）是一个奇函数，
∴g（0）＝0，得c＝0，
由奇函数定义f（－x）＝－f（x）得b＝3.
（2）由
（1）知g（x）＝x3－6x，
从而g′（x）＝3x2－6，
由此可知，（－∞，－
）和（
，＋∞）是函数g（x）的增区间；（－
，
）是函数g（x）的减区间．
g（x）在x＝－
时，取得极大值，极大值为4
；
g（x）在x＝
时，取得极小值，极小值为－4
.
【例4－1】
解析：
f
＝f
＝f
＝f（x），
所以，函数f（x）是以
为周期的周期函数．
【例4－2】0 解析：
由已知得f（0）＝0，f
（1）＝－1，
又f（x）关于x＝1对称，
∴f（x）＝f（2－x）且T＝4，
∴f
（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（3－4）＝f（－1）＝1，
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