《流体力学》（第2版）李玉柱-苑明顺-04 动力.pptx

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,将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。

引出无旋流动的速度势函数和不可压缩流体平面流动的流函数概念，讨论不可压缩流体平面无旋流动的速度势函数与流函数的关系以及求解势流问题的奇点叠加方法。

EXIT,41流体运动微分方程42恒定总流的能量方程43恒定总流的动量方程44理想流体的无旋流动,第四章流体动力学基础,EXIT,41流体运动微分方程,运动理想流体的应力状态理想流体运动微分方程（欧拉方程）的建立不可压缩粘性流体运动微分方程（纳维-斯托克斯方程）介绍流体动力学的定解问题理想流体运动微分方程的伯努利积分,EXIT,p,P=pn,p,P=pn,：

动压强,：

静压强,一.运动理想流体的应力状态,运动理想流体的应力只有法向应力动压强,静止流体（不论理想或实际流体）,运动理想流体,EXIT,静止流体运动理想流体,静止流体和运动理想流体中的四面体微元运动方程中质量力（含惯性力）比起表面力是高阶无穷小，当四面体微元趋于一点，即可得证,运动理想流体动压强的大小与作用面方位无关,dxdy,dz,p,y,p,n,y,z,x,o,M,n,EXIT,b,c,ad,dy,adzb,dxc,d,x,y,z,o,C,二.理想流体运动微分方程（欧拉方程）的建立运用牛顿第二定律，对理想流体建立运动方程，描述动压强、质量力和流速之间的关系。

xyz,压强p,流速（u,u.u）,质量力（X,Y,Z）,作用于六面体微元沿y方向的表面力的合力为,六面体流体微团（系统）,中心点C,EXIT,作用于六面体微元沿y方向的质量力为,a,b,c,d,dy,adzb,dxc,d,x,y,z,o,C,根据牛顿第二定律，y方向运动方程为,作用于六面体微元沿y方向的惯性力为,EXIT,时变惯性力,位变惯性力,质量力,压差力,矢量形式,欧拉方程,同理，可得x、z方向运动方程,EXIT,三.不可压缩粘性流体运动微分方程（纳维-斯托克斯方程）介绍,运动粘性流体存在切应力，压应力与作用面的方位有关，但三个相互垂直的作用面上压应力之和与作用面的方位无关，它们的平均值定义为粘性流体的动压强。

广义牛顿内摩擦定律假设应力与变形速率之间呈线性关系，在此基础上可建立不可压,缩粘性流体运动微分方程纳维-斯托克斯方程,N-S方程,EXIT,N-S方程矢量形式,时变惯性力,位变惯性力,质量力,压差力,粘性力,拉普拉斯算子,对跟随其后的量求调和量,流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程简化为平衡方程,例,EXIT,基本微分方程组微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的基本控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。

四个方程可求四个未知量：

p和u，方程组是封闭的。

但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。

四.流体动力学定解问题和解法概述,EXIT,只有在极少数简单流动的情况下，N-S方程才有解析解。

而绝大部分流动都不能直接对N-S方程解析求解，我们只能抓住问题的主要方面，作相应的简化，才能进行进一步的解析处理。

忽略粘性，作理想流体假设，从流动的维数上作简化，都是常见的手段。

如果流动是有势流动，解析处理就有更多的便利条件。

后面我们就将分门别类地对各种流动进行求解方法的讨论。

各种简化都是在基本方程的基础上进行的，所以深入理解方程中各项的物理意义是非常重要的。

解法概述,EXIT,是指运动方程的解在流场,的边界上必须满足的运动学和动力学条件。

常见的边界条件有：

固壁条件和液体的自由表面条件。

流体动力学定解问题,流体运动基本方程,初始条件边界条件,流动共性,体现个性,是对,非恒定流动指定初始时刻流场的速度和压强分布。

初始条件,边界条件,初始条件和边界条件,EXIT,理想流体的固壁条件称为可滑移条件，即流体不能穿越固壁，但可有切向相对运动，所以un=Un,液体的自由表面动力学条件为自由表面上压强为常数（大气压）。

实际（粘性）流体的固壁条件称为不可滑移条件，即附着在固壁上的流体质点与固壁不能有相对运动，所以u=U,以上u和U分别表示紧邻着固壁的流体质点与固壁上相应点的速度。

un和Un分别表示它们沿固壁法向的分量。

*,注,EXIT,理想流体,恒定流动,+,+,（dx,dy,dz）是流线上沿流动方向一段弧长，与迹线重合。

五.理想流体的运动微分方程的积分运用运动微分方程求解各种流动问题时，需要对方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情况下进行。

下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。

EXIT,上式左边可改写为：

质量力有势，势函数W，即,EXIT,右边后三项为,不可压缩流体，密度为常数,最终原等式可写成,则右边前三项是力势函数W的全微分,或,EXIT,在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的,值是一个常数。

其中W是力势函数，r是不可压缩流体的密度。

从推导过程看，积分是在流线上进行的，所以不同的流线可以有各自的积分常数，将它记作Cl，称为流线常数。

伯努利积分,积分,Cl：

流线常数,结,论,EXIT,这是水力学中普遍使用的方程。

伯努利积分可写为,或,对同一流线上任意两点1和2利用伯努利积分，即有,1,2,z,u,o,伯努利方程,o,流线,重力场中的伯努利积分,Cl：

流线常数,EXIT,42恒定总流的能量方程,恒定元流的能量方程恒定总流的能量方程能量方程的应用举例有能量输入或输出的能量方程,EXIT,一.恒定元流能量方程伯努利积分,欧拉方程各项的量纲是单位质量流体受力，伯努利积分是欧拉方程的各项取了势函数而得来的，即力对位移作积分，力势函数是能量量纲，所以伯努利方程表示能量的平衡关系。

伯努利方程的物理意义,单位重量流体所具有的位置势能（简称单位位置势能）*单位重量流体所具有的压强势能（简称单位压强势能）*单位重量流体所具有的总势能（简称单位总势能）,EXIT,单位重量流体所具有的动能（简称单位动能）*单位重量流体所具有的总机械能（简称单位总机械能）,在理想流体的恒定流动中，位于同一条流线上任意两个流体质点的单位总机械能相等。

拉格朗日观点在理想流体的恒定流动中，同一流体质点的单位总机械能保持不变。

欧拉观点,伯努利积分,EXIT,位置水头,压强水头,测压管水头,速度水头,总水头,伯努利方程的几何意义,伯努利积分各项都具有长度量纲，几何上可用某个高度来表示，常称作水头。

*,伯努利积分,EXIT,伯努利方程是能量守恒原理在流体力学中的具体体现，故被称为能量方程。

总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。

三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。

*伯努利方程在流线上成立，也可认为在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流体恒定元流的能量方程。

*伯努利方程可理解为：

元流的任意两个过流断面的单位总机械能相等。

由于是恒定流，通过元流各过流断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各过流断面的总机械能（即能量流量）也相等。

*,EXIT,将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。

水头线,总水头线,测压管水头线位置水头线,o,水平基准线o,理想流体恒定元流的,总水头线是水平的。

EXIT,毕托管测速,元流能量方程的应用举例,h,管,AB,管,u,代入伯努利方程,假设,、管,的存在不扰动原流场。

EXIT,管测压管，开口方向与流速垂直。

毕托管利用两管测得总水头和测压管水头之差速度水头，来测定流场中某点流速。

实际使用中，在测得h，计算流速u时，还,要加上毕托管修正系数c，即,实用的毕托管常将测压管和总压管结合在一起。

管,管,管测压孔,管测压孔,*,管总压管，开口方向迎着流速。

*,思考为什么？

EXIT,实验室中使用的毕托管测速仪,EXIT,动能,势能,相互转换,位置势能,压强势能,例子不胜枚举,EXIT,EXIT,EXIT,二.恒定总流的能量方程,总流是无数元流的累加,理想流体恒定总流各过流断面上的能量流量相等,理想流体恒定元流各过流断面上的能量流量相等,*为把总流能量方程的表达一维化，将测压管水头与流速水头的积分分开考虑。

EXIT,恒定均匀流运动方程中只有重力、压差力和粘性力（因以后要将能量方程扩展到实际流体，故在此不作理想流体假设）。

解决测压管水头的积分,寻求平均测压管水头,考察均匀流的过流断面上测压管水头的分布情况,*均匀流的流线是平行直线流，速都沿着同一方向，其过流断面是平面，取直角坐标系：

x轴为流速方向，y轴和z1轴在过流断面所在平面上，其中y轴水平。

z轴铅垂向上。

x,o,zz,1,dz,dz1,p,G,p+dpdA,EXIT,在流场中取出一轴线平行于z1轴高度为dz1，底面积为dA的微小柱体，分析其沿轴向的受力。

x,o,z,z1,dz,dz1,p,G,p+dpdA,侧面,无切应力有压力但无轴向分量,底面,有切应力但无轴向分量有压力沿轴向,质量力,重力有沿轴向分量无惯性力,表面力,EXIT,易知，上式在过流断面（oyz1平面）上均成立。

z1方向力的平衡关系式,x,o,z,z1,p,G,p+dpdAdz1dz,EXIT,只能在同一过流断面上应用上述结论，因为x方向的运动方程里有粘性力项，所以沿着流动方向动水压强分布不同于静水压强，导致不同过流断面上测压管水头可能是不同的常数。

均匀流的过流断面上粘性力的分量为零，只有压差力与重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。

结论,均匀流的过流断面上测压管水头是常数,注,EXIT,渐变流近似于均匀流，所以渐变流过流断面上的测压管水头可视为常数，任何一点的测压管水头都可以当作过流断面的平均测压管水头。

渐变流过流断面上的测压管水头分布,急变流中同一过流断面上的测压管水头不是常数，因为急变流中，位变加速度不等于零，过流断面上有压差力、重力和惯性力的分量，不再是仅有压差力和重力相平衡的情况，惯性力也参与进来了，造成断面测压管水头不等于常数。

EXIT,O,O,123,3,1,2,渐变流过流断面上测压管水头是常数,EXIT,z2,z,3,急变流过流断面上测压管水头不是常数,z,1,O,O,1,离心力方向,32,EXIT,动水压强分布静水压强分布,动水压强分布静水压强分布,动水压强分布与静水压强分布之所以有差别是为了提供向心力,EXIT,测压管水头的积分,若过流断面A取在渐变流段中，则其上的测管水头可视为常数。

渐变流过流断面上测压管水头的积分,EXIT,用断面平均流速v代,替u，并不能作为的平均值,设为速度水头,的平均值,速度水头的积分,*称为动能修正系数。

它是一个大于1.0的数，其大小取决于断面上的流速分布。

流速分布越均匀，越接近于1.0；流速分布越不均匀，的数值越大。

在一般的渐变流中的值为1.05-1.10.为简单起见，也常近似地取=1.0.,EXIT,理想不可压流体恒定总流，流动中无机械能损耗，通过各过流断面的能量流量相同，而由连续方程决定了重量流量rgQ沿程不变，所以在任意两个分别位于总流的渐变流段中的过流断面A1和A2有,总流通过渐变流段中过流断面的能量通量为,断面单位重量流体的总机械能（即总水头）为,理想不可压缩流体恒定总流的能量方程,即,A1,*,rgQA2,rgQ,EXIT,完成了对恒定总流能量方程的一维化表达,在总流能量方程的上述表达式中断面平均流速v、动能修正系数a和测压管水头的取值都是由断面唯一确定的，条件是,过流断面应处于渐变流段中。

EXIT,断面A1是上游断面，断面A2是下游断面，hw1-2为总流在断面A1和,A之间平均每