中考数学总复习轴对称图形.docx

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中考数学总复习轴对称图形

中考数学总复习--轴对称图形

一、选择题

1.下列图案属于轴对称图形的是（　　）

A.

B.

C.

D.

2.下列说法：

①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁，其中正确的有（　　）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）

A.

  清华大学B.

    北京大学

C.

  中国人民大学D.

    浙江大学

4.给出下列图形名称：

（1）线段；

（2）直角；（3）等腰三角形；（4）平行四边形；（5）长方形，在这五种图形中是轴对称图形的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.

如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（　　）

A.

B.

C.

D.7cm

6.

如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（　　）

A.是等腰三角形

B.MN垂直平分，

C.与面积相等

D.直线AB、的交点不一定在MN上

7.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A.

B.

C.

D.

8.把一个正方形纸片折叠三次后沿虚线剪断①②两部分，则展开①后得到的是（　　）

A.

B.

C.

D.

9.如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

10.

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）

A.B.C.D.

11.

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（　　）

A.

B.

C.

D.

12.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠得到△AGE，延长AG交CD于点F，已知CF=2，FD=1，则BC的长是（）

A.5cmB.10cmC.20cmD.15cm

二、填空题

13.如图，在ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为______．

14.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处，ED′交BC于点G．已知∠EFG=50°，则∠BGD′的度数为______．

​

15.如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有________种选择.

16.

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA=8，CF=4，则点E的坐标是______．

17.

如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（-4，0），点P为直线一动点，当PC+PO值最小时点P的坐标为______．

三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）

18.

如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：

（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：

四边形AEGF是正方形；

（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．

19.如图，它是一个8×10的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上．

（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1．

（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．

（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？

如果是，请画出对称轴．△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形______（填“是”或“不是”）轴对称图形．

20.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．

（1）证明：

△ADF≌△AB′E；

（2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

解：

A、能找出一条对称轴，故A是轴对称图形；

B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形；

C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形；

D、不能找出对称轴，故D不是轴对称图形．

故选：

A．

根据轴对称图形的定义，寻找四个选项中图形的对称轴，发现只有，A有一条对称轴，由此即可得出结论．

本题考查了轴对称图形，解题的关键是分别寻找四个选项中图形的对称轴．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过寻找给定图象有无对称轴来确定该图形是否是轴对称图形是关键．

2.【答案】C

【解析】

解：

①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，而非角平分线，故①错误；

②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，正三角形有三条对称轴，故②正确；

③关于某直线对称的两个三角形一定可以完全重合，所以肯定全等，故③正确；

④两图形关于某直线对称，对称点可能重合在直线上，故④错误；

综上有②、③两个说法正确．

故选C．

要找出正确的说法，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．

本题考查了轴对称以及对称轴的定义和应用，难度不大，属于基础题．

3.【答案】B

【解析】

解：

A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，故此选项正确；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，故此选项错误；

故选：

B．

根据轴对称图形的定义：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．

此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形中的对称轴．

4.【答案】D

【解析】

解：

（1）线段；

（2）直角；（3）等腰三角形；（5）长方形是轴对称图形，共4个，

故选：

D．

根据轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案．

此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形的对称轴．

5.【答案】A

【解析】

解：

∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，

∴PM=MQ，PN=NR，

∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，

∴RN=3cm，MQ=2.5cm，

即NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5（cm），

则线段QR的长为：

RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．

故选：

A．

利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．

此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键．

6.【答案】D

【解析】

解：

∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，

∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；

直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误；

故选：

D．

据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．

本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

7.【答案】C

【解析】

解：

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：

C．

根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

8.【答案】C

【解析】

解：

如图，展开后图形为正方形．

故选：

C．

由图可知减掉的三角形为等腰直角三角形，展开后为正方形．

本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了画轴对称图形.找出对称轴，根据对称轴的性质画图是解题的关键.根据网格可知，画三角形ABC的对称图形共有3个符号题意得对称轴，所以可以画3个符合题意的三角形即可解答.

【解答】

解：

根据题意画出图形如下：

，

共有三条对称轴，分别是a，b，c，

根据画轴对称图形的方法可以画3个符合题意的三角形.

​故选C.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．

【解答】解：

连接BF，

∵BC=6，点E为BC的中点，

∴BE=3，

又∵AB=4，

∴AE=

=5，

由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）

∴BH=

=

，

则BF=

，

∵FE=BE=EC，

∴∠BFC=90°，

∴CF=

=

．

故选D．

11.【答案】C

【解析】

解：

如图，连接OB，

∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，

∴∠BAO=

∠BAC=

×50°=25°．

又∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=65°．

∵DO是AB的垂直平分线，

∴OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=25°，

∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．

∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，

∴直线AO垂直平分BC，

∴OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=40°，

∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，

∴OE=CE．

∴∠COE=∠OCB=40°；

在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，

∴∠CEF=

∠CEO=50°．

故选：

C．

连接OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．

该题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．

12.【答案】B

【解析】

解：

连接EF，

∵E是BC的中点，

∴BE=EC，

∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE=EG，

∴EG=EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C=90°，

∴∠EGF=∠B=90°，

∵在Rt△EFG和Rt△EFC中，

，

∴Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），

∴FG=CF=2，

∵在矩形ABCD中，AB=CD=CF+DF=2+1=3，

∴AG=AB=3，

∴AF=AG+FG=3+2=5，

∴BC=AD=

=

=2

．

故选B．

首先连接EF，由折叠的性质可得BE=EG，又由E是BC边的中点，可得EG=EC，然后证得Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），继而求得线段AF的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．

此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．注意证得FG=FC是关键．

17.【答案】80°

【解析】

【分析】

本题主要考查的是平行线的性质和轴对称的性质.首先由平行线的性质得出∠DEF=∠EFG=50°，然后由折叠性质得出∠DEG=100°，最后根据对顶角相等得出∠BGD′的度数即可.

【解答】

​解：

∵四边形ED′C′F由四边形EDCF折叠而成，

∴∠DEG=2∠DEF=2∠D′EF．

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFG=50°，∠AEG=∠EGF，

∴∠GEF=∠DEF=50°，

∴∠DEG=∠GEF+∠DEF=100°．

∴∠AEG=180°-∠DEG=80°

​∴∠EGF=80°,

∴∠BGD′=∠EGF=80°.

故答案为80°.

18.【答案】3

【解析】

【分析】

本题主要考查轴对称图形的概念．此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有多种画法．根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．

【解答】

解：

如图所示，有3个位置使之成为轴对称图形．

故答案为3．

19.【答案】（-10，3）

【解析】

解：

设CE=a，则BE=8-a，

由题意可得，EF=BE=8-a，

∵∠ECF=90°，CF=4，

∴a2+42=（8-a）2，

解得，a=3，

设OF=b，

∵△ECF∽△FOA，

∴

，

即

，得b=6，

即CO=CF+OF=10，

∴点E的坐标为（-10，3），

故答案为（-10，3）．

根据题意可以得到CE、OF的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标．

本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化-对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

20.【答案】（-，）

【解析】

【分析】

本题考查的是一次函数的应用和轴对称的性质，作点C关于直线y=x+6的对称点C′，连接AC′，OC′交直线y=x+6于点P，则点P即为所求．求出AB两点的坐标，据此可得出∠BAO及∠ACC′的度数，根据轴对称的性质得出△ACC′是等腰直角三角形，故可得出C′点的坐标，利用待定系数法求出直线OC′的坐标，进而可得出P点坐标．

【解答】

解：

如图，作点C关于直线y=x+6的对称点C′，连接AC′，OC′交直线y=x+6于点P，则点P即为所求，

∵直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，

∴A（-6，0），B（0，6），

∴∠BAO=45°．

∵CC′⊥AB，

∴∠ACC′=45°．

∵点C，C′关于直线AB对称，

∴AB是线段CC′的垂直平分线，

∴△ACC′是等腰直角三角形，

∴AC=AC′=2，

∴C′（-6，2）．

设直线OC′的解析式为y=kx（k≠0），则2=-6k，

​解得k=-

，

∴直线OC′的解析式为y=-

x，

∴

，解得

，

∴P（-

，

）．

故答案为（-

，

）.

21.【答案】

（1）证明：

由题意可得：

△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．

∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，

∴∠EAF=90°．

又∵AD⊥BC

∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．

∴四边形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD

∴AE=AF．

∴矩形AEGF是正方形；

（2）解：

设AD=x，则AE=EG=GF=x．

∵BD=6，DC=4，

∴BE=6，CF=4，

∴BG=x-6，CG=x-4，

在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，

∴（x-6）2+（x-4）2=102．

化简得，x2-10x-24=0

解得x1=12，x2=-2（舍去）

所以AD=x=12．

【解析】

（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；

（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-6）2+（x-4）2=102，求出AD=x=12．

本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．

22.【答案】是

【解析】

解：

（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；

（3）如图，△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，其对称轴为直线l．

（1）根据△ABC与△A1B1C1关于直线OM对称进行作图即可；

（2）根据△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称进行作图即可；

（3）一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

本题主要考查了利用轴对称变换以及中心对称进行作图，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合．把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称．

23.【答案】解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，

∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，

∴∠DAF=∠B′AE，

在△ADF和△AB′E中，

，

∴△ADF≌△AB′E（ASA）．

（2）由折叠性质得FA=FC，

设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，

在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，

∴122+（18-x）2=x2．

解得x=13． 

∵△ADF≌△AB′E（已证），

∴AE=AF=13，

∴S△AEF===78．

【解析】

（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA即可判定△ADF≌△AB′E；

（2）先设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，根据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得出方程122+（18-x）2=x2，解得x=13． 再根据AE=AF=13，即可得出S△AEF=

=78．

本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是：

设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．