第39讲 数列求和的方法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析.docx
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第39讲数列求和的方法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】
一、数列的求和要有通项意识，先要对通项特征进行分析（数列的通项决定了数列的求和方法），再确定数列求和的方法.
二、数列常用的求和方法有六种：
求和六法一公二错三分四裂五倒六并，最后一定要牢记，公比为1不为1.
1、公式法：
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.
①等差数列求和公式：
②等比数列求和公式：
③常见的数列的前项和：
，
=,，
等.
2、错位相减法：
若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.
若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令
则
两式错位相减并化简整理即得.
3、分组求和法：
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
4、裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：
①，特别地当时，
②，特别地当时
③
④
⑤
⑥
5、倒序相加法：
类似于等差数列的前项和的公式的推导方法.如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.这一种求和的方法称为倒序相加法.
6.并项求和法.
有些数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.
【方法讲评】
方法一
公式法
使用情景
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.
解题步骤
直接代入公式即可.学科.网
【例1】已知等比数列{}中，,公比,又分别是某等差数列的第项，第项，第项.
（1）求；
（2）设,求数列的前项和.
【解析】
（1）依题意有，
即,，
即2.∵,∴.
故.
【点评】
（1）利用公式法求数列的前项和，一般先求好数列前项和公式的各个基本量，再代入公式.
（2）第2问注意要分类讨论，因为与7的大小关系不能确定.
【反馈检测1】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列{}的前项和.
方法二
错位相减法
使用情景
已知数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.
解题步骤
若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令
，
则
两式相减并整理即得.
【例2】已知函数，是数列的前项和，点（，）（）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且是数列的前项和.试问是否存在最大值？
若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）因为①
所以②
③
②－③得
.
整理得，④
策略二利用商值比较法
由④式得.
因为
所以，即.所以
所以存在最大值.
策略三利用放缩法
由①式得，又因为是数列的前项和，
所以.所以
所以存在最大值.
【反馈检测2】数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数，
．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）求证：
对且恒有．
方法三
分组求和法
使用情景
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列.
解题步骤
可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
【例3】已知数列{}的前项和为，且满足．
（1）证明：
数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）数列{}满足，其前项和为，试求满足的最小正整数．
（2）
设①
【点评】
（1）数列求和时，要分成两个数列求和，其中一个是数列通项是，它用错位相减来求和，另外一个数列是，它是一个等差数列，直接用公式法求和.
（2）解不等式时，直接用代值试验解答就可以了.
【反馈检测3】已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
方法四
裂项相消法
使用情景
类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.
解题步骤
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和.学科.网
【例4】已知等差数列满足：
，.的前项和为.
（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，所以有
，解得，所以；==.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，
【点评】利用裂项相消时，注意消了哪些项，保留了哪些项.如，
.为了确定保留了哪些项，最好前后多写一些项.
【反馈检测4】设数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【反馈检测5】已知各项均为正数的数列的前项和为,且（）.
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为,求证:
（）.
方法五
倒序相加法
使用情景
如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和.
解题步骤
可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.
【例5】已知数列的前项和，函数对有，数列满足.
（1）分别求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式
对于一切的恒成立，求的取值范围．
【解析】
（1）
①-②得
即
要使得不等式恒成立,
对于一切的恒成立,
即
令,则
当且仅当时等号成立,故
所以为所求.
【点评】如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.
【例6】求证：
【点评】如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.
【反馈检测6】已知函数
（1）证明：
；
（2）求的值.
方法六
并项求和法
使用情景
有些数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.
解题步骤
一般把项数分成奇数和偶数两种情况分类讨论.学科.网
【例7】求和：
…．
【解析】当为偶数时，
．
当为奇数时，
【点评】
（1）如果数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.把两项合成一项来求和.
（2）这种情况最好先计算偶数的情况，再计算奇数的情况.讨论奇数情况时，为了减少计算量，提高计算效率，可以利用，而可以利用前面计算出来的偶数的结论（因为是偶数），只要把偶数情况下表达式中所有的都换成即可.
【反馈检测7】已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第39讲：
数列求和的方法参考答案
【反馈检测1答案】
（1）；
（2）.
【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）由题设知公差，
由，成等比数列得＝，
解得，故的通项.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由等比数列前项和公式得
.
【反馈检测2答案】
（1）；
（2）；（3）见解析.
（3）
由
知
于是
故当且时为增函数
综上可知.
（2）由
（1）知，故
数列的前项和
【反馈检测4答案】
（1）；
（2）.
【反馈检测4详细解答】
（1）因为，，①
所以当时，．
当时，，②，
①－②得，，所以．
因为，适合上式，所以；
（2）由
（1）得，
所以，
所以【反馈检测5答案】
（1），；
（2）见后面解析.
【反馈检测5详细解析】（Ⅰ）当时,,解得或（舍去）．
当时,,,相减得
即,又,所以,则,
所以是首项为,公差为的等差数列,故．
证法二:
当时,．
当时,先证,即证显然成立.
所以
所以
综上,对任意,均有成立.
【反馈检测6答案】
（1）；
（2）.学科.网
【反馈检测7答案】
（1）；
（2）
【反馈检测7详细解析】
（1）
（1）由已知得，∴．
当时，．
，∴，．
（2）由⑴可得．
当为偶数时，
，
综上，
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