数学建模A题论文解析.docx

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数学建模A题论文解析

“制动器试验台的控制方法分析”

评阅综述与参考解答

方沛辰吉林大学数学学院

这是2009A题,这道题目涉及了一些专业知识，但是作为理工科的大学生，大学物理和理论力学都是刚学过所涉及的知识都是熟悉的，就算不熟悉临时看也能搞明白的，只有我们这些年纪大的数学老师可能感到不适应。

为此介绍它们的关系如下:

平动转动

路程

角度

速度

角速度

加速度

角加速度

质量

转动惯量

力

力矩

动能

动能

功率

功率

一、问题的来源与处理

这道题目源自一个实际问题。

上世纪八十年代以前，我国还没有制动器试验台，这方面处于空白。

后来由吉林大学在1988年填补了这项国家空白，到现在已生产出至少有100多台各种各样的制动器试验台。

题目就是沿着试验台如何进行设计展开的。

制动器的本质是利用摩擦把动能转化为热能从而使车辆减速，换句话说制动器是能量转换部件。

谈到制动器的性能不得不涉及到温度、热量和制动器内部的压力、刹车片在不同温度下的摩擦系数等物理量。

制动器的性能实际就是对在不同温度下能量转换的效率的描述。

试验台是测量一个制动器性能的设备，实际使用的试验台都有温度、压力的测量值。

为了简化成一个赛题，题目中没有提到温度也没有改变正压力，即假设制动器内部的压力恒定。

显然在不同的温度下由于摩擦系数的改变制动力矩不是常量。

我们仅从制动器的外特性上考虑问题，即把制动器特性看做制动力矩是时间和已制动能量的函数，从而回避了制动器内部产生热量造成温升使得制动力矩下降即对内特性的正面研究，所以这是做了大幅度简化的实际问题。

我们仅从用电流驱动电动机产生扭矩辅助制动角度考虑同一架试验台做不同的制动试验的场合。

这样一来，制动器试验台研制中的核心问题就是电动机驱动电流的确定策略。

也是这道题目最后两问的问题。

理想的试验台就是完全能够代替路试或者说能恰好实现路试效果的一种固定的机械装置。

试验台的使用目的是测试未知的制动器，测试前制动器的性能是不了解的，所以制动过程中系统的状态是没办法预测的，于是提前预定一个控制策略就是不可能的，只能根据观察到的信息来决定以后的控制策略，就是这个问题最大的难度与特点。

二、题目的设计

这道题的第一问和第二问比较简单，设置的目的是让学生熟悉物理环境进入角色。

这两问应该更强调量与量之间的关系,大多数学生认识到这一点先推出公式再计算结果,以体现我们更重视的是数学模型,最后看这样做实现了我们的预期目标。

从第三问开始进入问题的本质：

建立驱动电流的数学模型，这里应该建立连续的模型。

可以采用的方法很多，比较常见的是从能量的角度入手或者从瞬间的动量矩定理入手都能得到电流用可观测量的表达式，不过用第二种方法搞不好容易结果差一个符号。

两种入手方法都可以有多种切入点,体现机理分析的特点:

不论怎样,只要推导无误都会得到同样的正确结果.得到的数学模型的制动过程应该与路试的制动过程一致，也就是二者对试验台来说都是理想的制动过程,注意到这一点在做下面问题的过程中有很大的帮助。

第四问是让学生建立对好的试验台的评价标准，即怎样比较路试和台架试验（以下简称台试）两个制动过程的差异，由于种种原因，台试必然会产生误差，那么怎样评价这个误差，才能为改进试验台的设计做好准备。

本来应该二者的系统状态完全一致才理想，可是路试既然没做，我们就没有路试时瞬间的观测数据,于是二者之间瞬间的差异就不能直接比较。

只能退一步只要求台试制动过程中的总能量与路试的总能量相等。

这虽然只是二者过程一致的一个必要条件,比较的难度还是很大。

路试的总能量可用动能差的方法求得，台试的总能量可以用功率的数值积分求得，积分时用辛普森公式能比矩形公式效果好一些。

由于前文说到,路试与数学模型是等价的,所以比较台试与数学模型之间的差异也是一种思路,此时瞬时数据用已经观察到的数据,但是这种方法得到的误差关系式又不好进一步估计。

第五问要求初步设计一个控制策略，就是设计出一个根据可观测量的值确定下一步电流值的方案,这是研制开发制动器试验台过程中的第一步,也是一个必经阶段.只能用到前一步得到的信息和前面得到的数学模型,这个条件比较苛刻所以结果就比较确定.但由于可观测量有两种:

瞬时扭矩和瞬时角速度,所以控制策略有单独用一个和用两个混合表达的三种形式.其中只用瞬时扭矩给出的表达式比较好,而另两种涉及到了瞬时角加速度还要使用可观测量的瞬时角速度做差分,增加了误差也增加了使用时的计算量。

第六问要求学生在第五问中对得到策略的评价中所看到的初始策略的不足，设计一个更优良的策略。

这是一个天高任鸟飞的问题，没有任何要求和限制，解答也可以百花齐放。

学生可以开动脑筋设计出尽量理想的控制策略。

这是最后一问，题目已经接近完成，相当于是一个选作题，更接近实际问题，有现实意义。

难度很大，还可以反复做不断提高。

更适合科研而不是竞赛，让学生们体会一下生产和生活中的实际优化问题的各种形式。

三、参考解答

1.设车辆单个前轮的滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为6230N，求等效的转动惯量。

转动惯量为J的物体在以角速度ω旋转时具有动能为

；扭矩为

;驱动功率为W=Mω。

设前轮的半径为R，制动时承受的载荷为G，等效的转动惯量为J，角速度为ω，线速度为v，重力加速度为g。

将前轮看作质点，其平动动能为

；再将其看作刚体旋转，其旋转能量为

。

利用能量相等，有

由v=Rω，代入得J=GR2/g。

利用数据G=6230N，R=0.286m，g=9.8m/s2，得到J=52kg·m2。

2飞轮组由3个外直径1m、内直径0.2m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392m、0.0784m、0.1568m，钢材密度为7810kg/m3，基础惯量为10kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？

设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？

记飞轮的外半径为R1，内半径为R0，厚度为h，密度为ρ，则飞轮的惯量为

ρ=7810，R1=0.5，R0=0.1，于是三个飞轮的惯量分别为30kg·m2、60kg·m2、120kg·m2，它们组成的机械惯量可以有8种情况：

10,40,70,100,130,160,190,220kg·m2。

对于问题1中得到的等效的转动惯量（J=52kg·m2），用电动机模拟的惯量有两种方案：

12kg.m2或-18kg·m2。

3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。

记需要模拟的单轮等效惯量为J，机械惯量为J1，显然在整个制动过程中（

）主轴转速记为ω（t）是减函数，把制动扭矩记为M（t）。

由转动方式的牛顿定律

（1）

主轴是机械惯量为J1的转动机构，有制动扭矩M（t）与电流产生的扭矩Me（t）相联，于是对合力矩用转动方式的牛顿定律：

（2）

（1）代入

（2），有

（3）

或

。

控制时可由ω（t）的测量值差分后得到I（t）。

或者由（3）除以

（1），得到

，即

，则有

。

控制时可由M（t）的测量值得到I（t）。

这就是驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

记初速度为V0，末速度为V1，车轮的滚动半径为R，制动时间为T，则

电机的电流分别为174.78A（电机惯量12）或-262.17A（电机惯量-18）。

4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为48kg·m2，机械惯量为35kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。

请对该方法执行的结果进行评价。

评价的方法一

将时间离散化，记tk=kΔt，Δt为时间步长，第k个时间段为[tk-1,tk]，tk时的角速度为ωk，制动扭矩为Mk，等效的惯量为J，机械惯量为J1，初始角速度为ω0，则到tk时，理论上能量应该减少

实际上能量减少为

从开始到第k步能量的误差

累计的能量误差为

其中N为整个刹车过程所对应的时间分段数，相对误差为

以RE的大小作为评价控制方法优劣的依据。

评价的方法二：

总能量误差

理论上制动过程中能量减少

实际上能量减少为

两者的误差为

相对误差为

以RE的大小作为评价控制方法优劣的依据。

以上是两种评价方法。

J=48kg·m2，ω0=514转/分钟，ωN=257转/分钟，Δt=10ms，计算得到总能量的相对误差为RE=5.30%，（采用辛普森公式此值还能小）。

5.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。

设第k时间段末观察到制动扭矩和角速度值分别为Mk与ωk,k=1,2,…,n。

用一阶的形式构造递推控制方法可以有多种方式，就是只采用前一时间段的信息决定下一时间段电流值。

比如利用电机扭矩和制动扭矩的关系以及电流和电机扭矩成正比的假设，可知

（4），其中K0，J，J1都是已知常数。

设计

，即可。

评价准则可用上面的４.中两种方法之一

6.第5问给出的控制方法是否有不足之处？

如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。

电流策略设计也有多种方法，不过是应该注意设计出来后还要做误差分析的，好的方法就是总误差最小的。

为便于应用，用

表示t时刻电动机的扭矩，用

表示t时刻的飞轮的扭矩，用

表示t时刻总扭矩，同时用A1,A2,…,An表示n个时间片段的电动机的扭矩，用B1,B2,…,Bn表示n个时间片段的飞轮的扭矩，引入

，则公式（4）变为

，解得

，用它构造递推方法：

但这种递推方法每一步都会产生能量误差，为减少能量误差采用下面逐步能量补差法进行处理。

在不同的k时，计算前K时间段所产生的能量累积误差，令第k+1时间段能量误差等于零解出的Ak+1，通式不好写，但控制时容易实现。

用

、

、

分别记第k时间段的角速度、电动机的扭矩、制动扭矩。

为表述方便，引入符号

使

。

设前k时间段产生的累积能量误差为

，希望在下一时间段中通过Ak+1的确定补充上相应能量，从而总误差逐步减小。

又为了表述方便引入符号

，使

。

则：

（1）

其中，

为第k时间段所产生的能量截断误差。

因此

（1）变为

（2）

显然，只要累积能量误差

随着k的增加逐步趋近于零，则问题就可以比较圆满地解决。

而上式

（2）中Ck和ωk可观察得到，又设计

，于是

，就得出递推算法。

其中的

为前面的递推公式

，也就是电动机原本第k+1时间段应该输入的能量所等效的扭矩，

是为补充前面缺失能量而增加的扭矩。

刹车前系统做匀速运动扭矩为零，无法确定

或

，只能取

在第一时间段结束时可观察得到

和

。

其中，第一时间段能量累积误差

得出

，再由递推公式得出

四、阅卷所看到的几种情况

2009年A题共有592份卷送到全国评阅，最后大约评出100个一等奖，390个二等奖。

有些学生在这道题里做出系统的制动过程是匀减速之类的假设。

试验之前我们对制动器的性能是不知道的，这正是试验台工作的目的，所以任何关于制动力矩与时间的函数形状的假设都不适当。

题目中提供的数据只是为了第四问计算的需要，没有其他用意。

数据间的关系也没有一般性，仅从一次制动过程的数据就得出什么结论就更没有道理了。

这道题目在经过大幅度简化和题目中有许多提示的情况下，已经不是很难了，而且问题也有很多环境和条件的假设与一般的这类问题已不一样。

学生们应该自己动手去作，不应该抄袭网上的论文结果，显然那是不会获得好结果的。

近几年来，有些学生似乎感觉掌握了国家竞赛的套路，以不变应万变。

看到有一批数据马上就运用回归拟合或者插值等方法，对这道题目的数据也不例外，这显然是荒唐的。

这批离散数据就是起到离散的用途，拟合或者回归以后能做什么呢？

反而不清楚。

更有甚者利用这批数据生成一批第五问的数据，进而给出第五问的数值结果，就更可笑了。

有些论文在做第三问得到的数学模型中，公式差了一个符号。

这当然与旋转、扭矩的方向定义有关，但是更多的是推导的不严密，下面我再给出一种建立模型的方法。

符号同参考解答。

从[0,t]时间里，制动器做的功等于飞轮减少的能量加上电机所作的功，得到：

两边对t求导得到：

，约去-ω：

即为

或

这个题目中应该使用的方法是最优计算机控制的方法，采用ＰＩＤ调节、自适应控制等方法是不适合的。

五、介绍一下动态（启动或者制动）情况下,车辆各轮对地面的载荷的计算:

假设车左右是对称的,只考虑前后方向.以制动为例,此时车辆受到两个力：

重力W=mg和刹车阻力F=m

，其中m是车的质量，

是刹车的减速度。

车的尺寸如图.

第一步对两个接地点分别取力矩，得到：

WfL=Wb+m

h,WrL=Wa-m

h

第二步整理有Wf=m（gb+

h）/L,Wr=m（ga–

h）/L

第三，前轮载荷占总载荷的百分比

再把上面的Wf和Wr代入有

，

如果知道：

=（Wf+Wr）Φ/m，（Φ是附着系数）,就完全正确了。