新人教版数学八下练习资源拓展卷1812平行四边形的判定.docx
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新人教版数学八下练习资源拓展卷1812平行四边形的判定
18.1.2 平行四边形的判定
基础闯关全练
拓展训练
1.如图,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,CF的延长线交AB于点G,则S△CEF∶S△DGF等于（ ）
A.2∶1 B.3∶1 C.4∶1 D.5∶1
答案 B 如图,取CG的中点H,连接EH,
∵E是AC的中点,
∴EH是△ACG的中位线,
∴EH∥AD,
∴∠GDF=∠HEF.
∵F是DE的中点,
∴DF=EF.
在△DFG和△EFH中,
∴△DFG≌△EFH（ASA）,
∴FG=FH,S△EFH=S△DGF,
又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH,
∴S△EFC=3S△EFH,
∴S△EFC=3S△DGF,
因此,S△CEF∶S△DGF=3∶1.
故选B.
2.一个四边形的边长依次是a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形是 ,依据是 .
答案 平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解析 由已知得a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=（a2+c2-2ac）+（b2+d2-2bd）=（a-c）2+（b-d）2=0,
∴a=c,b=d.∴该四边形为平行四边形.依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,直线EF过点O且EF∥AD,直线GH过点O且GH∥AB,则能用图中的已知字母表示的平行四边形共有 个.
答案 18
解析 题图中的平行四边形有:
▱AEOG,▱AEFD,▱ABHG,▱GOFD,▱GHCD,▱EBHO,▱EBCF,▱OHCF,▱ABCD,▱EHFG,▱AEHO,▱AOFG,▱EODG,▱BHFO,▱HCOE,▱OHFD,▱OCFG,▱BOGE.共18个.
4.如图,△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,连接AE,AC和BE相交于点O.
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形,并说明理由;
（2）P是线段BC上一动点（不与B、C重合）,连接PO并延长交线段AE于点Q,四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?
请说明理由.
解析
（1）四边形ABCE是平行四边形.
理由:
∵△ECD是由△ABC平移得到的,
∴AB∥EC,AB=EC,
∴四边形ABCE是平行四边形.
（2）不发生变化.
理由:
由
（1）知AE∥BC,
∴∠QAO=∠PCO,
∵四边形ABCE是平行四边形,
∴OA=OC.
在△AOQ和△COP中,
∴△AOQ≌△COP,∴S△AOQ=S△COP,
∴四边形QPDE的面积等于四边形ACDE的面积,
由平移知AC∥ED,AC=ED,∴四边形ACDE是平行四边形,且CD及CD上的高不变,故▱ACDE的面积为定值,
∴四边形PQED的面积不随点P的运动而发生变化.
能力提升全练
拓展训练
1.如图,△ABC中,AB=30,BC=24,AC=27,O为△ABC内一点,过点O作GM∥AB,交AC于G,交BC于M,过点O作EN∥AC,交AB于E,交BC于N,过点O作DF∥BC,交AC于D,交AB于F,连接GE,FM,DN.若GE∥DF,FM∥EN,DN∥GM,则△ODN,△OGE,△OFM的周长之和为 .
答案 81
解析 ∵GM∥AB,FM∥EN,
∴四边形OEFM是平行四边形,
∴OM=EF.
∵GM∥AB,EN∥AC,
∴四边形GAEO是平行四边形,
∴GO=AE.
∵DF∥BC,DN∥GM∥AB,
∴四边形DFBN是平行四边形,
∴DN=FB,
∴GO+DN+OM=AE+BF+EF=AB=30,
同理,GE+OD+OF=BM+CN+NM=BC=24,
ON+OE+MF=CD+DG+GA=AC=27,
∴△ODN,△OGE,△OFM的周长之和为AC+BC+AB=81.
2.如图,已知等边△ABC的边长为8,P是△ABC内一点,PD∥AC,PE∥AB,PF∥BC,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,则PD+PE+PF= .
答案 8
解析 过E点作EG∥PD交AB于点G,过D点作DH∥PF交AC于点H,
∵PD∥EG,PE∥AB,
∴四边形DGEP为平行四边形,
∴EG=DP,PE=GD,
又∵△ABC是等边三角形,EG∥PD∥AC,
∴△BEG为等边三角形,
∴EG=PD=GB,
同理可证DH=PF=AD,
∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8.
3.
（1）如图,平行四边形ABCD中,AE=AB,CF=CD,求证:
四边形AECF是平行四边形;
（2）当AE=AB,CF=CD时,四边形AECF （填“是”或“不是”）平行四边形,请你试得出一个一般性的结论;
（3）当AE= AB,CF= CD时,四边形AECF是平行四边形.
解析
（1）证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=DC,AE∥CF.
又∵AE=AB,CF=CD,
∴AE=CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）是.∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=DC,AE∥CF.
又∵AE=AB,CF=CD,
∴AE=CF,
∴四边形AECF为平行四边形.
一般性结论:
当点E、F将AB、CD相同等分时,四边形AECF为平行四边形.
（3）由
（1）
（2）可知当AE=AB,CF=CD时,四边形AECF为平行四边形.故填:
.
模拟全练
拓展训练
1.如图,▱ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AD,则OE等于（ ）
A. B.2 C.2 D.2.5
答案 A 作CF⊥AD于F,如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,
∴∠DCF=30°,∴DF=CD=2,∴CF=2,
∵CF⊥AD,OE⊥AD,∴CF∥OE,
∵OA=OC,∴OE是△ACF的中位线,
∴OE=CF=.故选A.
2.如图,平行四边形ABCD中,AB=8cm,AD=12cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以每秒4cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）,在运动以后,以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数是 .
答案 3
解析 设经过t秒,以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形.∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形,∴DP=BQ.
①点Q的运动路线是C—B,列方程为12-4t=12-t,
解得t=0,此时不符合题意;
②点Q的运动路线是C—B—C,列方程为4t-12=12-t,解得t=4.8;
③点Q的运动路线是C—B—C—B,列方程为12-（4t-24）=12-t,解得t=8;
④点Q的运动路线是C—B—C—B—C,列方程为4t-36=12-t,解得t=9.6;
⑤点Q的运动路线是C—B—C—B—C—B,列方程为12-（4t-48）=12-t,解得t=16,
此时P点走的路程为16>12=AD,不符合题意.
∴组成平行四边形的次数是3.
3.图,在等边三角形ABC中,BC=6cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动.如果点F、E同时出发,设运动时间为t（s）,当t= s时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
答案 2或6
解析 根据题意得AE=tcm,BF=2tcm,
①当点F在C的左侧时,CF=BC-BF=（6-2t）cm,
∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,
即t=6-2t,解得t=2;
②当点F在C的右侧时,
CF=BF-BC=（2t-6）cm,
∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,
即t=2t-6,解得t=6.
综上可得,当t=2或6s时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
4.在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为（-2,4）、（-5,2）,点M在x轴上,点N在y轴上.如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,那么符合条件的点M有 个.
答案 3
解析 如图所示.当AB平行且等于N1M1时,四边形ABM1N1是平行四边形;当AB平行且等于N2M2时,四边形ABN2M2是平行四边形;
当AB为对角线时,四边形AN3BM3是平行四边形.
故符合题意的有3个点.
中考全练
拓展训练
1.如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是 .
答案 1
解析 延长EP交BC于点F,
∵∠APB=90°,∠APE=∠BPC=60°,
∴∠EPC=150°,∴∠CPF=180°-150°=30°,
∴PF平分∠BPC,
又∵PB=PC,∴PF⊥BC.
设Rt△ABP中,AP=a,BP=b,则
CF=b,a2+b2=22=4,
∵△APE和△ABD都是等边三角形,
∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,
∴∠EAD=∠PAB,
∴△EAD≌△PAB（SAS）,
∴ED=PB=CP,
同理可得,△APB≌△DCB（SAS）,
∴EP=AP=CD,
∴四边形CDEP是平行四边形,
∴四边形CDEP的面积=EP·CF=a·b=ab,
又∵（a-b）2=a2-2ab+b2≥0,
∴2ab≤a2+b2=4,∴ab≤1,
即四边形PCDE面积的最大值为1.
2.如图,点B、E分别在AC、DF上,AF分别交BD、CE于点M、N,∠A=∠F,∠1=∠2.（6分）
（1）求证:
四边形BCED是平行四边形;
（2）已知DE=2,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长.
解析
（1）证明:
∵∠A=∠F,
∴DF∥AC.
又∵∠1=∠2,∠1=∠DMF,
∴∠2=∠DMF,
∴DB∥EC,
∴四边形BCED是平行四边形.
（2）∵BN平分∠DBC,
∴∠DBN=∠NBC,
∵DB∥EC,∴∠DBN=∠BNC,
∴∠CBN=∠BNC,
∴BC=CN.
∵四边形BCED是平行四边形,
∴BC=DE=2,∴CN=2.
3.如图①,已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形:
如图②,将图①中的点C移动至与点E重合的位置,F,G,H仍是BC,CD,DA的中点,求证:
四边形CFGH是平行四边形.
证明 如图,连接BD,
∵C,H分别是AB,DA的中点,
∴CH是△ABD的中位线,
∴CH∥BD,CH=BD,
同理FG∥BD,FG=BD,
∴CH∥FG,CH=FG,
∴四边形CFGH是平行四边形.
核心素养全练
拓展训练
1.在图
（1）中,A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,在图
（2）中,A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点,……,按此规律,第n个图形中平行四边形的个数为 .
答案 3n
解析 在题图
（1）中,∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,
∴A1C1∥AB1,A1B1∥BC1,B1C1∥A1C,
A1C1=AB1,A1B1=BC1,B1C1=A1C,
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C都是平行四边形,故题图
（1）中共有3个平行四边形.
在题图
（2）中,A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点,
同理可证:
四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1都是平行四边形,故题图
（2）中共有6个平行四边形.
……
按此规律,第n个图形中平行四边形的个数为3n.
2.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB、AC为底边向△ABC的外侧作等腰△ABD和等腰△ACE,且AD⊥AC,AB⊥AE,DE和AB相交于F.试探究线段FD、FE的数量关系,并加以证明.
说明:
如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,可以从图2、图3中选取一个,并分别补充条件∠CAB=45°、∠CAB=30°后,再完成你的证明.
解析 猜想:
DF=FE.
证明:
过点D作DN⊥AB于N.
∵DA=DB,DN⊥AB,∴BN=AN,
过N作NG⊥AC于点G,连接GE,
∴∠NGA=90°,
∵∠BCA=90°,∴NG∥BC,
∵BN=AN,∴CG=GA,
∵CE=AE,∴EG⊥AC,
∴N、G、E在一条直线上,
∵DA⊥CA,NE⊥AC,∴NE∥AD,
又∵DN⊥AB,EA⊥BA,
∴DN∥EA,
∴四边形DNEA是平行四边形,
∴DF=EF（平行四边形的对角线互相平分）.
3.如图1,P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上）,∠ACB=90°,M为AB边的中点.操作:
以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连接PM并延长到点E,使ME=PM,连接DE.
探究:
（1）请猜想与线段DE有关的三个结论;
（2）请你利用图2,图3选择不同位置的点P按上述方法操作;
（3）经历
（2）之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;如果你认为你写的结论是错误的,请用图2或图3加以说明;（注意:
错误的结论,只要用反例给予说明即可）
（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”,其他条件不变,利用图4操作,并写出与线段DE有关的结论（直接写出答案）.
解析
（1）猜想:
DE∥BC,DE=BC,DE⊥AC.
（2）如图.
（3）猜想正确.解法一:
如图,连接BE,
∵PM=ME,AM=MB,∠PMA=∠EMB,
∴△PMA≌△EMB,
∴PA=BE,∠MPA=∠MEB,
∴PA∥BE.
∵四边形PADC为平行四边形,
∴PA∥DC,PA=DC.
∴BE∥DC,BE=DC,
∴四边形DEBC是平行四边形,
∴DE∥BC,DE=BC.
∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴DE⊥AC.
解法二:
如图,连接PD,交AC于N,连接MN,
∵四边形PADC为平行四边形,
∴AN=NC,PN=ND.
∵AM=BM,AN=NC,
∴MN∥BC,MN=BC.
又∵PN=ND,PM=ME,
∴MN∥DE,MN=DE.
∴DE∥BC,DE=BC.
∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.∴DE⊥AC.
（4）如图,DE∥BC,DE=BC.
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