第四章 452 用二分法求方程的近似解.docx

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第四章452用二分法求方程的近似解

4．5.2　用二分法求方程的近似解

学习目标

　1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．

知识点一　二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

思考1　若函数y＝f（x）在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？

答案　二分法只适用于函数的变号零点（即函数值在零点两侧符号相反），因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f（x）＝（x－1）2的零点就不能用二分法求解．

思考2　二分法的解题原理是什么？

答案　函数零点存在定理．

知识点二　用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤

1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）·f（b）<0.

2．求区间（a，b）的中点c.

3．计算f（c），并进一步确定零点所在的区间

（1）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点．

（2）若f（a）·f（c）<0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c.

（3）若f（c）·f（b）<0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c.

4．判断是否达到精确度ε：

若|a－b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2～4.

以上步骤可简化为：

定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？

精确度上来判断．

1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．（　√　）

2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．（　√　）

3．用二分法最后一定能求出函数零点．（　×　）

4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．（　√　）

一、二分法概念的理解

例1　

（1）（多选）下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（　　）

答案　ABC

解析　根据二分法的基本方法，函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续不断，且f（a）·f（b）<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．

（2）用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间（1,3）内的近似解，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．

答案　（1,2）

解析　设f（x）＝2x＋3x－7，f

（1）＝2＋3－7<0，

f（3）＝10>0，f

（2）＝3>0，

f（x）零点所在的区间为（1,2），

∴方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是（1,2）．

反思感悟　运用二分法求函数的零点应具备的条件

（1）函数图象在零点附近连续不断．

（2）在该零点左右函数值异号．

只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．

跟踪训练1　已知函数f（x）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（　　）

A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3

答案　D

解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.

二、用二分法求方程的近似解

例2　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解（精确度是0.1）．

解　令f（x）＝2x3＋3x－3，经计算，

f（0）＝－3<0，f

（1）＝2>0，f（0）·f

（1）<0，

所以函数f（x）在（0,1）内存在零点，

即方程2x3＋3x－3＝0在（0,1）内有解．

取（0,1）的中点0.5，经计算f（0.5）<0，

又f

（1）>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在（0.5,1）内有解．

如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：

（a，b）

中点c

f（a）

f（b）

 f 

（0,1）

0.5

f（0）<0

f

（1）>0

f（0.5）<0

（0.5,1）

0.75

f（0.5）<0

f

（1）>0

f（0.75）>0

（0.5,0.75）

0.625

f（0.5）<0

f（0.75）>0

f（0.625）<0

（0.625,0.75）

0.6875

f（0.625）<0

f（0.75）>0

f（0.6875）<0

由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，

所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.

反思感悟　利用二分法求方程的近似解的步骤

（1）构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间（n，n＋1），n∈Z.

（2）利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.

（3）区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．

跟踪训练2　求函数f（x）＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点（精确度0.01）．

解　确定一个包含负数零点的区间（m，n），

且f（m）·f（n）<0.

因为f（－1）>0，f（－2）<0，

所以可以取区间（－2，－1）作为计算的初始区间，当然选取较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：

端点（中点）

端点或中点的函数值

取值区间

f（－1）>0，

f（－2）<0

（－2，－1）

x0＝

＝－1.5

f（x0）＝4.375>0

（－2，－1.5）

x1＝

＝－1.75

f（x1）≈2.203>0

（－2，－1.75）

x2＝

＝－1.875

f（x2）≈0.736>0

（－2，－1.875）

x3＝

＝－1.9375

f（x3）≈－0.0974<0

（－1.9375，－1.875）

x4＝

＝－1.90625

f（x4）≈0.3280>0

（－1.9375，－1.90625）

x5＝

＝－1.921875

f（x5）≈0.1174>0

（－1.9375，－1.921875）

x6＝

＝－1.9296875

f（x6）≈0.0105>0

（－1.9375，－1.9296875）

由于|－1.9296875＋1.9375|＝0.0078125<0.01，

所以函数的一个负零点近似值可取为－1.9296875.

1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（　　）

答案　A

2．下列函数中，必须用二分法求其零点的是（　　）

A．y＝x＋7B．y＝5x－1

C．y＝log3xD．y＝

x－x

答案　D

解析　A，B，C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点．

3．用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（　　）

A．（－2，－1）B．（－1,0）

C．（0,1）D．（1,2）

答案　A

解析　f（－2）f（－1）＝－12<0，所以可以取的初始区间是（－2，－1）．

4．用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f（0）<0，f（0.5）>0，第二次应计算f（x1），则x1等于（　　）

A．1B．－1C．0.25D．0.75

答案　C

解析　x1＝

＝0.25.

5．已知函数f（x）＝x3－2x－2，f

（1）·f

（2）<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f（x0）＝________.

答案　－1.625

解析　由题意，x0＝1.5，f（x0）＝f（1.5）＝－1.625.

1．知识清单：

（1）二分法的定义．

（2）利用二分法求函数的零点、方程的近似解．

2．方法归纳：

化归、逼近．

3．常见误区：

二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点．

1．用二分法求如图所示的函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（　　）

A．x1B．x2C．x3D．x4

答案　C

解析　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f（a）f（b）<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件．

2．设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在（2,3）内近似解的过程中得f（2.25）<0，f（2.75）>0，f（2.5）<0，f（3）>0，则方程的根落在区间（　　）

A．（2,2.25）B．（2.25,2.5）

C．（2.5,2.75）D．（2.75,3）

答案　C

解析　因为f（2.5）<0，f（2.75）>0，由函数零点存在定理知，方程的根在区间（2.5,2.75）．

3．用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（　　）

A．|a－b|<0.1B．|a－b|<0.001

C．|a－b|>0.001D．|a－b|＝0.001

答案　B

解析　据二分法的步骤知当|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．

4．（多选）在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）<0，f（0.72）>0，f（0.68）<0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为（　　）

A．0.68B．0.72C．0.7D．0.6

答案　ABC

解析　已知f（0.64）<0，f（0.72）>0，则函数f（x）的零点的初始区间为（0.64,0.72），又因为0.68＝

×（0.64＋0.72），且f（0.68）<0，所以零点在区间（0.68,0.72）上，|0.72－0.68|＝0.04<0.05，所以0.68,0.7,0.72都符合．

5．若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

f

（1）＝－2

f（1.5）＝0.625

f（1.25）＝－0.984

f（1.375）＝－0.260

f（1.438）＝0.165

f（1.4065）＝－0.052

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确度0.05）为（　　）

A．1.5B．1.375C．1.438D．1.25

答案　C

解析　∵f（1.4065）<0，f（1.438）>0，

∴f（1.4065）·f（1.438）<0，

∴该方程的根在区间（1.4065,1.438）内，

又∵|1.4065－1.438|＝0.0315<0.05，

∴方程的近似根可以是1.438.

6．用二分法求函数f（x）在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．（填序号）

①f（x）在[a，b]上连续不断；②f（a）·f（b）<0；

③f（a）·f（b）>0；④f（a）·f（b）≥0.

答案　①②

解析　由二分法适用条件直接可得．

7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间（2,4）上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．

答案　（2,3）

解析　设函数f（x）＝x3－2x－5，

∵f

（2）＝－1<0，f（3）＝16>0，f（4）＝51>0，

∴下一个有根区间是（2,3）．

8．用二分法求函数f（x）＝lnx＋2x－6在区间（2,3）内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.

答案　4

解析　开区间（2,3）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为

，故有

≤0.1，即2n≥10，则n≥4，所以至少需要操作4次．

9．判断函数f（x）＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．（精确度0.1）

解　f（0）＝－1<0，f

（1）＝1>0，

即f（0）·f

（1）<0，f（x）在（0,1）内有零点，

又f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

∴f（x）只有一个零点x0∈（0,1）．

取区间（0,1）的中点x1＝0.5，f（0.5）＝－0.75<0，

∴f（0.5）·f

（1）<0，即x0∈（0.5,1）．

取区间（0.5,1）的中点x2＝0.75，

f（0.75）＝－0.15625<0，

∴f（0.75）·f

（1）<0，即x0∈（0.75,1）．

取区间（0.75,1）的中点x3＝0.875，f（0.875）≈0.34>0.

∴f（0.75）·f（0.875）<0，即x0∈（0.75,0.875）．

取区间（0.75,0.875）的中点x4＝0.8125，

f（0.8125）≈0.073>0.

∴f（0.75）·f（0.8125）<0，即x0∈（0.75,0.8125），

而|0.8125－0.75|<0.1.

∴f（x）的零点的近似值可取为0.75.

10．已知函数f（x）＝3x＋

在（－1，＋∞）上单调递增，用二分法求方程f（x）＝0的正根（精确度0.01）．

解　由于函数f（x）＝3x＋

在（－1，＋∞）上单调递增，故在（0，＋∞）上也单调递增，

因此f（x）＝0的正根最多有一个．

因为f（0）＝－1<0，f

（1）＝

>0，

所以方程的正根在（0,1）内，取（0,1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：

区间

中点值

中点函数近似值

（0,1）

0.5

0.732

（0,0.5）

0.25

－0.084

（0.25,0.5）

0.375

0.328

（0.25,0.375）

0.3125

0.124

（0.25,0.3125）

0.28125

0.021

（0.25,0.28125）

0.265625

－0.032

（0.265625,0.28125）

0.2734375

－0.00543

（0.2734375,0.28125）

因为|0.2734375－0.28125|＝0.0078125<0.01，所以方程的根的近似值为0.2734375，即f（x）＝0的正根约为0.2734375.

11．若函数f（x）在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f（a）·f（b）<0，f（a）·f 

>0，则（　　）

A．f（x）在

上有零点

B．f（x）在

上有零点

C．f（x）在

上无零点

D．f（x）在

上无零点

答案　B

解析　由f（a）·f（b）<0，f（a）·f 

>0可知f 

·f（b）<0，根据函数零点存在定理可知f（x）在

上有零点．

12．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间（a，b）内，当|a－b|<ε（ε为精确度）时，函数零点的近似值x0＝

与真实零点的误差的取值范围为（　　）

A.

B.

C．[0，ε）D．[0,2ε）

答案　B

解析　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，

而b－

＝

－a＝

<

，

所以误差的取值范围为

.

13．函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．

答案　a2＝4b

解析　∵函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，

∴函数f（x）＝x2＋ax＋b的图象的顶点在x轴上，

∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.

14．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解（精确度0.1）”时，设f（x）＝lgx＋x－2，算得f

（1）<0，f

（2）>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：

方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是______________．

答案　1.5,1.75,1.875,1.8125

解析　第一次用二分法计算得区间（1.5,2），第二次得区间（1.75,2），第三次得区间（1.75,1.875），第四次得区间（1.75,1.8125）．

15．用二分法求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的根的近似值时，令f（x）＝ln（2x＋6）＋2－3x，并用计算器得到下表：

x

1.00

1.25

1.375

1.50

f（x）

1.0794

0.1918

－0.3604

－0.9989

则由表中的数据，可得方程ln（2x＋6）＋2＝3x的一个近似解（精确度为0.1）为（　　）

A．1.125B．1.3125

C．1.4375D．1.46875

答案　B

解析　因为f（1.25）·f（1.375）<0，故根据二分法的思想，知函数f（x）的零点在区间（1.25,1.375）内，但区间（1.25,1.375）的长度为0.125>0.1，因此需要取（1.25,1.375）的中点1.3125，两个区间（1.25,1.3125）和（1.3125，1.375）中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解．

16．在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币（质量不同，假币较轻），现在只有一台天平，请问：

你最少称多少次能保证一定可以发现这枚假币？

解　将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在较轻的那3枚金币里面；将这3枚金币拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则较轻的那一枚即是假币．综上可知，最少称4次能保证一定可以发现这枚假币．