第3讲充分条件有答案.docx
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第3讲充分条件有答案
第3讲 充分条件、必要条件与命题的四种形式
[最新考纲]
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
2.四种命题及其关系
（1）四种命题间的相互关系
（2）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．
辨析感悟
1．对充分条件、必要条件的理解
（1）给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．（√）
（2）“（2x－1）x＝0”的充分不必要条件是“x＝0”．（√）
（3）在△ABC中，“A＝60°”是“cosA＝
”的充分不必要条件．（×）
（4）（2013·浙江卷改编）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，x∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ＝
”的充分必要条件．（×）
2．对四种命题的认识
（5）（2012·湖南卷改编）命题“α＝
，则tanα＝1”的否命是“若α＝
，则tanα≠1”．（×）
（6）若原命题“若p，则q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为1或2.（×）
（7）命题“若x2－3x＋2＞0，则x＞2或x＜1”的逆否命题是“若1≤x≤2，则x2－3x＋2≤0”．（√）
[感悟·提升]
1．一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念．否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论（条件不变），如（5）．
2．三个防范 一是分清命题中的条件和结论，并搞清楚其中的关键词，如“≠”与“＝”，“＞”与“≤”，“且”与“或”，“是”与“不是”，“都不是”与“至少一个是”，“都是”与“不都是”等互为否定，如（7）；
二是弄清先后顺序：
“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且A
B，如
（2）；而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B且B
A，如（3）、（4）；
三是注意题中的大前提，如（3）．
考点一 命题的四种形式及其关系
【例1】已知：
命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（ ）．
A．否命题是“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数，则m＞1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”，是真命题
解析 由f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则f′（x）＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题．
答案 D
规律方法
（1）在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题．
（2）当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变．
（3）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例．
（4）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
【训练1】（2013·长春二模）命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是（ ）．
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
解析 “若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
答案 D
考点二 充分条件、必要条件的判断
【例2】
（1）（2013·安徽卷）“a≤0”是“函数f（x）＝|（ax－1）x|在区间（0，＋∞）内单调递增”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
（2）（2013·济南模拟）如果a＝（1，k），b＝（k,4），那么“a∥b”是“k＝－2”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析
（1）f（x）＝|（ax－1）x|在（0，＋∞）内单调递增等价于f（x）＝0在区间（0，＋∞）内无实根，即a＝0或
＜0，也就是a≤0，故“a≤0”是“函数f（x）＝|（ax－1）x|在（0，＋∞）内单调递增”的充要条件，故选C.
（2）因为a∥b，所以1×4－k2＝0，即4＝k2，所以k＝±2.所以“a∥b”是“k＝－2”的必要不充分条件．
答案
（1）C
（2）B
规律方法判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：
一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.
学生用书第5页
【训练2】（2013·北京卷）“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析 由sinφ＝0可得φ＝kπ（k∈Z），此为曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”的充分不必要条件．
答案 A
考点三 充分条件、必要条件的探求
【例3】
（1）若集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－2＜x＜a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是（ ）．
A．a＞－2B．a≤－2C．a＞－1D．a≥－1
（2）函数f（x）＝
有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）．
A．a≤0或a＞1B．0＜a＜
C.
＜a＜1D．a＜0
审题路线
（1）A∩B≠∅⇔A与B有交集．
（2）先求函数f（x）有且只有一个零点的充要条件M⇒由选项推出M成立的充分条件⇒结合选项可得结论
解析
（1）A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－2＜x＜a}，如图所示：
∵A∩B≠∅，∴a＞－1.
（2）因为f（x）＝
有且只有一个零点的充要条件为a≤0或a＞1.由选项可知，使“a≤0或a＞1”成立的充分条件为选项D.
答案
（1）C
（2）D
规律方法有关探求充要条件的选择题，破题关键是：
首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．
【训练3】“直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（ ）．
A．－1＜k＜3B．－1≤k≤3
C．0＜k＜3D．k＜－1或k＞3
解析 “直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点”等价于
＜
，解得k∈（－1,3）．四个选项中只有（0,3）是（－1,3）的真子集，故充分不必要条件可以是0＜k＜3.
答案 C
1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个（或几个）作为大前提．
2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．
3．命题的充要关系的判断方法
（1）定义法：
直接判断若p则q、若q则p的真假．
（2）等价法：
利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）利用集合间的包含关系判断：
若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
思想方法1——等价转化思想在充要条件关系中的应用
【典例】已知p：
≤2，q：
x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
解 法一 由q：
x2－2x＋1－m2≤0，
得1－m≤x≤1＋m，
∴綈q：
A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}，
由p：
≤2，
解得－2≤x≤10，
∴綈p：
B＝{x|x＞10或x＜－2}．
∵綈p是綈q的必要而不充分条件．
∴AB，∴
或
即m≥9或m＞9.∴m≥9.
故实数m的取值范围是[9，＋∞）．
法二 ∵綈p是綈q的必要而不充分条件，
∴p是q的充分而不必要条件，
由q：
x2－2x＋1－m2≤0，
得1－m≤x≤1＋m，
∴q：
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由p：
≤2，
解得－2≤x≤10，
∴p：
P＝{x|－2≤x≤10}．
∵p是q的充分而不必要条件，
∴P
Q，∴
或
即m≥9或m＞9.∴m≥9.
故实数m的取值范围是[9，＋∞）．
[反思感悟]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
【自主体验】
1．（2013·山东卷）给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的（ ）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析 由q⇒綈p且綈p
q可得p⇒綈q且綈q
p，所以p是綈q的充分而不必要条件．
答案 A
2．已知命题p：
x2＋2x－3＞0；命题q：
x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是（ ）．
A．[1，＋∞）B．（－∞，1]
C．[－1，＋∞）D．（－∞，－3]
解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.
答案 A
对应学生用书P221
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1．（2012·重庆卷）命题“若p，则q”的逆命题是（ ）．
A．若q，则pB．若綈p，则綈qC．若綈q，则綈pD．若p，则綈q
解析 根据原命题与逆命题的关系可得：
“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故选A.
答案 A
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（ ）．
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．
答案 A
3．（2014·浙江部分重点中学3月调研）设a∈R，则“a＝2”是“直线y＝－ax＋2与y＝
x－1垂直”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析 若直线y＝－ax＋2与y＝
x－1垂直，则有－a×
＝－1，即a2＝4，所以a＝±2.所以“a＝2”是“直线y＝－ax＋2与y＝
x－1垂直”的充分不必要条件，选A.
答案 A
4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（ ）．
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
解析 由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.
答案 C
5．（2014·台州三校联考）不等式x－
＞0成立的一个充分不必要条件是（ ）．
A．－1＜x＜0或x＞1B．x＜－1或0＜x＜1
C．x＞－1D．x＞1
解析 画出直线y＝x与双曲线y＝
的图象（图略），两图象的交点为（1,1），（－1，－1），依图知x－
＞0时，－1＜x＜0或x＞1，显然x＞1⇒x－
＞0；但x－
＞0
x＞1.
答案 D
二、填空题
6．（2013·盐城调研）“m<
”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．
解析 x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤
.
答案 充分不必要
7．（2014·扬州模拟）下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；
③“x>2”是“
<
”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．
其中说法不正确的序号是________．
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③
<
，则
－
＝
<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“
<
”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．
答案 ①②
8．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．
解析 当c2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac2＞bc2，则a＞b”，逆命题正确，则否命题也正确．
答案 2
三、解答题
9．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
解 原命题：
若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．
逆否命题：
若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.
判断如下：
∵x2＋x－a＝0无实根，
∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－
＜0.
∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．
10．已知p：
x2－8x－20≤0，q：
x2－2x＋1－a2≤0（a>0）．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 p：
x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，
q：
x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.
∵p⇒q，q
p，
∴{x|－2≤x≤10}
{x|1－a≤x≤1＋a}．
故有
且两个等号不同时成立，解得a≥9.
因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞）．
能力提升题组
（建议用时：
25分钟）
一、选择题
1．命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是（ ）．
A．若f（x）是偶函数，则f（－x）是偶函数
B．若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数
C．若f（－x）是奇函数，则f（x）是奇函数
D．若f（－x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数
解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B.
答案 B
2．（2014·深圳二次调研）已知x∈R，则x≥1是|x＋1|＋|x－1|＝2|x|的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析 若x≥1，则|x＋1|＋|x－1|＝x＋1＋x－1＝2x，2|x|＝2x，故充分性成立；必要性的判断不易切入，可以考虑采用特值法，取x＝－1，则|x＋1|＋|x－1|＝2,2|x|＝2，但是－1不满足x≥1，故必要性不成立，故选A.
答案 A
二、填空题
3．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数根；而当n＝3时，方程有整数根1,3；当n＝4时，方程有整数根2.
答案 3或4
三、解答题
4．设命题p：
|4x－3|≤1；命题q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解 ∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴綈q⇒綈p，且綈p
綈q等价于p⇒q，且q
p.
记p：
A＝{x||4x－3|≤1}＝
，q：
B＝{x|x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0|＝{x|a≤x≤a＋1}，
则
从而
且两个等号不同时成立，解得0≤a≤
.
故所求实数a的取值范围是
.
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