鸡兔同笼数学题.docx

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鸡兔同笼数学题

鸡兔同笼

2、四年级和六年级学生共120人给小树浇水.其中六年级学生1人提2桶水,四年级学生2人抬一桶水,他们一次浇水共180桶.四年级和六年级参加浇水的各有多少人?

3.鸡兔同笼,上有头20个,下有脚48只.求鸡兔各多少只?

1、大小两辆汽车共同运216吨货物，小汽车运了7小时，大汽车运了8小时，已知小汽车5小时运的数量等于大汽车2小时运的数量，则大汽车每小时运多少吨？

2、笼子里有鸡兔共27只，兔脚比鸡脚多18只，问：

有鸡兔各多少只？

3、有182只兔子，把它们分别装在甲乙两种笼子里，甲种笼子每笼装6只，乙种笼子每笼装4只，两种笼子正好用36个，问：

两种笼子个多少个？

4、一个大人一餐吃2个面包，两个小孩一餐吃1个面包，现在有大人和小孩共99人，一餐刚好吃了99个面包，大人、小孩各有多少人？

5、四年级共有52位同学参加植树，男生每人种3棵，女生每人种2棵，已知男生比女生多种36棵，求：

有多少名男生？

6、有面值分别为2元、5元、10元的邮票共34张，价值共计178元。

其中5元与10元的邮票张数相等，问：

各种面值的邮票各有多少张？

7、公园门票出售5元、8元、10元共100张，收入748元，其中5元和8元的张数相等。

各种票售出多少张？

8、犀牛、鹿、鸵鸟三种动物共有26个头，80只脚，20只角。

犀牛有4只脚，1只角；鹿有4只脚，2只角，鸵鸟有2只脚。

三种动物分别有多少只？

1、鸡兔同笼，共100个头，320只脚，鸡有（）只、兔（）只。

2、小明计算20道竞赛题，做对一道得5分，做错一道倒扣3分。

结果小明考得60分，小明做对了（）道题。

3、松鼠妈妈采松子。

晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个。

它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。

这几天中有（）天下雨。

4、个体户王小二承接了建筑公司一项运输1200块玻璃的业务，并签了合同。

合同上规定：

每块玻璃运费2元；如果运输过程中有损坏，每损坏一块，除了扣除一块的运费外，还要赔偿25元。

王小二把这1200块玻璃运送到指定地点后，建筑公司按合同付给他2076元。

运输过程中损坏了（）块。

5、100名师生绿化校园，老师每人栽3棵树，学生每2人栽1棵，总共栽树100棵。

老师栽树（）棵，学生栽树（）棵。

6、30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，2分硬币（）枚，5分硬币（）枚。

7、某校数学竞赛，共有20道填空题。

评分标准是每做对一题得5分，做错一题倒扣3分，某题没做该题得0分。

小英结果得了69分，那小英有（）题没做。

8、蜘蛛有8只脚，蜻蜓有6只脚和2对翅膀，蝉有6只脚和1对翅膀。

现在这三种昆虫18只，共有118只脚和20对翅膀。

蜘蛛有（）只，蜻蜓有（）只，蝉有（）只。

9、甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发扣12分，两人各打10发，共得208分，其中甲比乙多64分，甲中了（）发，乙中了（）发。

10、鸡、兔共有脚96只，若将鸡、兔互换，则有脚84只，鸡有（）只，兔有（）只。

鸡兔同笼问题讲解及习题

鸡兔同笼

一、基本问题

“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.

例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

解：

我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是

244÷2=122（只）.

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

122-88=34，

有34只兔子.当然鸡就有54只.

答：

有兔子34只，鸡54只.

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2-总头数=兔子数.

上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！

能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1.

如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了

88×4-244=108（只）.

每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡

（88×4-244）÷（4-2）=54（只）.

说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了

244-176=68（只）.

每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，

68÷2=34（只）.

说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.

现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.

例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？

解：

以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.

现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）

=24÷8

=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

答：

买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是

8×（11+19）=240.

比280少40.

40÷（19-11）=5.

就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.

30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.

实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷（19-11）=3，

就知道设想6只“鸡”，要少3只.

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子.

例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？

解：

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.

现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.

根据前面的公式

“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）

=4.5，

“鸡”数=7-4.5

=2.5，

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.

答：

甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

解：

4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是

（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）.

父年龄是

（25-14）×4-4=40（岁）.

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

（40-10）÷（3-1）=15（岁）.

这是2003年.

答：

公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

解：

因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种。

利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）

=5（只）.

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。

再利用一次公式

蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.

因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

答：

有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。

例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？

解：

对2道，3道，4道题的人共有

52-7-6=39（人）.

他们共做对

181-1×7-5×6=144（道）.

由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样

兔脚数=4，鸡脚数=2.5,

总脚数=144，总头数=39.

对4道题的有

（144-2.5×39）÷（4-2.5）=31（人）.

答：

做对4道题的有31人。

以例1为例有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。

解：

设兔为X只。

则鸡为（88-X）只。

4X+2×（88-X）=244

上列的方程解释为：

兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。

4X就是兔子的脚数，2×（88-X）就是鸡的脚数。

4X+2×88-2X=244

2X+176=244

2X+176-176=244-176

2X=68

2X÷2=68÷2

X=34

即兔子为34只，总数是88只，则鸡：

88-34=54只。

答：

兔子有34只，鸡有54只。

公式1：

（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数

总只数－鸡的只数=兔的只数

公式2：

（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数

总只数－兔的只数=鸡的只数

公式3：

总脚数÷2—总头数=兔的只数

总只数—兔的只数=鸡的只数

公式4：

鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数

公式5：

兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数

公式6：

4×+2（总数－x）=总脚数（x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）

假设法

∙假设全是鸡：

2×35=70（只）

鸡脚比总脚数少：

94－70=24（只）

兔子比鸡多的脚数：

4-2=2（只）

兔子的只数：

24÷2=12（只）

鸡的只数：

35－12=23（只）

方程法

一元一次方程

解：

设兔有x只，则鸡有（35-x）只。

解得

鸡：

35-12=23（只）

解：

设鸡有x只，则兔有（35-x）只。

解得

兔：

35-23=12（只）

答：

兔子有12只，鸡有23只。

注：

通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。

二元一次方程组

∙解：

设鸡有x只，兔有y只。

解得

答：

兔子有12只，鸡有23只。

抬腿法

方法一

假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。

笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。

方法二

假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。

方法三

我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只。

鸡兔同笼公式　　解法1：

（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）　　=鸡的只数　　总只数－鸡的只数=兔的只数　　解法2：

（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）　　=兔的只数　　总只数－兔的只数=鸡的只数　　解法3：

总脚数÷2—总头数=兔的只数　　总只数—兔的只数=鸡的只数

例1（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析如果46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？

显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

解：

①鸡有多少只？

（4×6-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=56÷2=28（只）　　

②免有多少只？

46-28=18（只）　　

答：

鸡有28只，免有18只。

我们来总结一下这道题的解题思路：

先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（每只兔脚数×兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）　　

兔数=鸡兔总数-鸡数　　

当然，也可以先假设全是鸡。

例2鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？

假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。

解：

（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

100-20=80（只）。

答：

鸡与兔分别有80只和20只。