定义证明二重极限.docx
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定义证明二重极限
定义证明二重极限
定义证明二重极限
就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候,f(x,y)与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。
那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为a
关于二重极限的定义,各类数学教材中有各种不同的表述,归纳起来主要有以下三种:
定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外),如果对于任意给定的正数。
,总存在正数,使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(x,y)所对应的函数值都满足不等式那末,常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点,函数在点儿的任一邻域中除见外,总有异于凡的属于d的点,若对于任意给定的正数。
,总存在正数a,使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p,有不等式v(p)一周
利用极限存在准则证明:
(1)当x趋近于正无穷时,(inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{xn},其中a>0,xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛,并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2
故(inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,xn-x(n-1)=/2<0,单调递减
且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.
对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a
同理可求x0<√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
目的:
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:
函数极限的性质及其计算。
教学难点:
函数极限性质证明及其应用。
教学方法:
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
证明二重极限不存在
如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:
找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?
仔细分析一下就不难得到答案
2
若用沿曲线,(,y)一g(,y)=0趋近于(,y0)来讨论,一0g,y。
。
可能会出现错误,只有证明了(,)不是孤立点后才不会出错。
o13a1673-3878(xx)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limf(x,y)不存在,通常x—’10y—’y0的方法是:
找几条通过(或趋于)定点(xo,yo)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(xo,y。
)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limf(x,y)不存在,这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(xo,y。
),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如2的极限,在判卜’iogx,yy—·y0断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)一g(x,y):
0,这样做就很容易出错。
3
当沿曲线y=-x+x^2趋于(00)时,极限为lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;
当沿直线y=x趋于(00)时,极限为limx^2/2x=0。
故极限不存在。
4
x-y+x^2+y^2
f(x,y)=————————
x+y
它的累次极限存在:
x-y+x^2+y^2
limlim————————=-1
y->0x->0x+y
x-y+x^2+y^2
limlim————————=1
x->0y->0x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时,易证极限不同,所以它的二重极限不存在。
例1、用数列极限定义证明:
limn?
2?
0n?
?
n2?
7
n?
2时n?
2
(1)2n
(2)2nn?
22(3)24(4)|2?
0|?
2?
2?
2?
?
?
?
?
nn?
7n?
7n?
7n?
nn?
1n?
n
2
上面的系列式子要想成立,需要第一个等号和不等号
(1)、
(2)、(3)均成立方可。
第一个等号成立的条件是n>2;不等号
(1)成立的条件是2(2)成立的条件是7n4,即n>2;不等号(4)成立的条件是n?
[],故取n=max{7,2?
44[]}。
这样当n>n时,有n>7,n?
[]。
?
?
4因为n>7,所以等号第一个等号、不等式
(1)、
(2)、(3)能成立;因为n?
[],所以不等号(3)成立的条件是1?
?
|不等式(4)能成立,因此当n>n时,上述系列不等式均成立,亦即当n>n时,
在这个例题中,大量使用了把一个数字放大为n或n?
2?
0|?
?
。
n2?
7n的方法,因此,对于具体的数,.......2
可把它放大为(k为大于零的常数)的形式......kn...............
n?
4?
0n?
?
n2?
n?
1
n?
4n?
4n?
4时n?
n2n2
(1)|2?
0|?
2?
2?
?
?
?
n?
n?
1n?
n?
1n?
n?
1n2n
22不等号
(1)成立的条件是n?
[],故取n=max{4,[]},则当n>n时,上面的不等式都成?
?
例2、用数列极限定义证明:
lim
立。
注:
对于一个由若干项组成的代数式,可放大或缩小为这个代数式的一部分。
如:
................................
n2?
n?
1?
n2
n2?
n?
1?
n
n?
n?
n22
n(n?
1)2?
n?
1
(?
1)n
例3、已知an?
,证明数列an的极限是零。
2(n?
1)
(?
1)n1
(1)1
(2)
证明:
?
?
?
0(设0?
?
?
1),欲使|an?
0|?
||?
?
?
?
成立22(n?
1)(n?
1)n?
1
11?
?
解得:
n?
?
1,由于上述式子中的等式和不等号
(1)对于任意的正整n?
1?
1数n都是成立的,因此取n?
[?
1],则当n>n时,不等号
(2)成立,进而上述系列等式由不等式?
和不等式均成立,所以当n>n时,|an?
0|?
?
。
在上面的证明中,设定0?
?
?
1,而数列极限定义中的?
是任意的,为什么要这样设定?
这样设定是否符合数列极限的定义?
在数列极限定义中,n是一个正整数,此题如若不设定0?
?
?
1,则n?
[?
1]就有1
?
可能不是正整数,例如若?
=2,则此时n=-1,故为了符合数列极限的定义,先设定0?
?
?
1,这样就能保证n是正整数了。
那么对于大于1的?
,是否能找到对应的n?
能找到。
按照上面已经证明的结论,当?
=0.5时,有对应的n1,当n>n1时,|an?
0|<0.5成立。
因此,当n>n1时,对于任意的大于1的?
,下列式子成立:
|an?
0|<0.5<1<?
,亦即对于所有大于1的?
,我们都能找到与它相对应的n=n1。
因此,在数列极限证明中,?
可限小。
只要对于较小的?
能找到对应的n,则对于较大的?
...
就自然能找到对应的n。
极限定义证明
趋近于正无穷,根号x分之sinx等于0
x趋近于负1/2,2x加1分之1减4x的平方等于2
这两个用函数极限定义怎么证明?
x趋近于正无穷,根号x分之sinx等于0
证明:
对于任意给定的ξ>0,要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立,只需要
|sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2,
∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立,
所以取x=1/ξ^2,当x>x时,必有|sinx/√x-0|<ξ成立,
同函数极限的定义可得x→+∞时,sinx/√x极限为0.
x趋近于负1/2,2x加1分之1减4x的平方等于2
证明:
对于任意给定的ξ>0,要使不等式
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立,只
需要0<δ时,必有
|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ,
由函数极限的定义可得x→-1/2时,1-4x^2/2x+1的极限为2.
注意,用定义证明x走近于某一常数时的极限时,关键是找出那个绝对值里面x减去的那个x0.
记g(x)=lim^(1/n),n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。
把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;
那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1(x)
注意到f2的极限小于等于a,那么存在n2,当x>n2时,0<=f2(x)
同理,存在ni,当x>ni时,0<=fi(x)
取n=max{n1,n2...nm};
那么当x>n,有
(a/m)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n
所以a/m<=^(1/n)
对n取极限,所以a/m<=g(x)n时成立;
令x趋于正无穷,
a/m<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;
注意这个式子对任意m>1,b>a都成立,中间两个极限都是固定的数。
令m趋于正无穷,b趋于a;
有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;
这表明limg(x)=a;
证毕;
证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。
还有个看起来简单些的方法
记g(x)=lim^(1/n),n趋于正无穷;
g(x)=max{f1(x),....fm(x)};
然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。
其实这个看起来显然,但对于求极限能放到括号里面,但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。
有种简单点的方法,就是
max{a,b()}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。
多个求max相当于先对f1,f2求max,再对结果和f3求,然后继续,从而为有限次代数运算式,
故极限可以放进去。
2
一)时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的:
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:
函数极限的性质及其计算。
教学难点:
函数极限性质证明及其应用。
教学方法:
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
2
习题1?
3
1.根据函数极限的定义证明:
(1)lim(3x?
1)?
8;x?
3
(2)lim(5x?
2)?
12;x?
2
x2?
4?
?
4;(3)limx?
?
2x?
2
1?
4x3
(4)lim?
2.
x?
?
2x?
12
1证明
(1)分析|(3x?
1)?
8|?
|3x?
9|?
3|x?
3|,要使|(3x?
1)?
8|?
?
只须|x?
3|?
?
.3
1证明因为?
?
?
0,?
?
?
?
当0?
|x?
3|?
?
时,有|(3x?
1)?
8|?
?
所以lim(3x?
1)?
8.x?
33
1
(2)分析|(5x?
2)?
12|?
|5x?
10|?
5|x?
2|,要使|(5x?
2)?
12|?
?
只须|x?
2|?
?
.5
1证明因为?
?
?
0,?
?
?
?
当0?
|x?
2|?
?
时,有|(5x?
2)?
12|?
?
所以lim(5x?
2)?
12.x?
25
(3)分析
|x?
(?
2)|?
?
.x2?
4x2?
4x?
4x2?
4?
(?
4)?
?
|x?
2|?
|x?
(?
2)|,要使?
(?
4)?
?
只须x?
2x?
2x?
2
x2?
4x2?
4?
(?
4)?
?
所以lim?
?
4.证明因为?
?
?
0,?
?
?
?
当0?
|x?
(?
2)|?
?
时,有x?
?
2x?
2x?
2
(4)分析1?
4x3111?
4x31?
2?
?
只须|x?
(?
)|?
?
.?
2?
|1?
2x?
2|?
2|x?
(?
)|,要使2x?
12x?
1222
1?
4x3111?
4x3
?
2?
?
所以lim证明因为?
?
?
0,?
?
?
?
当0?
|x?
(?
)|?
?
时,有?
2.12x?
12x?
122x?
?
2.根据函数极限的定义证明:
(1)lim1?
x3
2x3
sinxx?
?
?
1;2
(2)limx?
?
?
x?
0.
证明
(1)分析
|x|?
1
1?
x32x311?
x3?
x3?
?
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12|x|3,要使1?
x32x3?
11?
?
只须?
?
即322|x|2?
.
证明因为?
?
?
0,?
x?
(2)分析
sinxx?
0?
12?
当|x|?
x时,有1x
1?
x32x311?
x31?
?
?
所以lim?
.
x?
?
2x322
1x
?
?
即x?
sinxx
|sinx|x
?
要使
sinx
证明因为?
?
?
0,?
x?
?
2
当x?
x时,有
xsinxx
?
0?
?
只须
?
.
?
0?
?
所以lim
x?
?
?
?
0.
3.当x?
2时,y?
x2?
4.问?
等于多少,使当|x?
2|
解由于x?
2,|x?
2|?
0,不妨设|x?
2|?
1,即1?
x?
3.要使|x2?
4|?
|x?
2||x?
2|?
5|x?
2|?
0.001,只要
|x?
2|?
0.001
?
0.0002,取?
?
0.0002,则当0?
|x?
2|?
?
时,就有|x2?
4|?
0.001.5
x2?
1x?
3
4.当x?
?
时,y?
x2?
1x2?
3
?
1,问x等于多少,使当|x|>x时,|y?
1|<0.01?
解要使?
1?
4x2?
3
?
0.01,只|x|?
?
3?
397,x?
.0.01
5.证明函数f(x)?
|x|当x?
0时极限为零.
x|x|
6.求f(x)?
?
(x)?
当x?
0时的左﹑右极限,并说明它们在x?
0时的极限是否存在.
xx
证明因为
x
limf(x)?
lim?
lim1?
1,
x?
0?
x?
0?
xx?
0?
x
limf(x)?
lim?
lim1?
1,
x?
0?
x?
0?
xx?
0?
limf(x)?
limf(x),?
?
x?
0
x?
0
所以极限limf(x)存在.
x?
0
因为
lim?
(x)?
lim?
?
x?
0
x?
0
|x|?
x
?
lim?
?
1,?
x?
0xx|x|x?
lim?
1,xx?
0?
x
lim?
(x)?
lim?
?
x?
0
x?
0
lim?
(x)?
lim?
(x),?
?
x?
0
x?
0
所以极限lim?
(x)不存在.
x?
0
7.证明:
若x?
?
?
及x?
?
?
时,函数f(x)的极限都存在且都等于a,则limf(x)?
a.
x?
?
证明因为limf(x)?
a,limf(x)?
a,所以?
?
>0,
x?
?
?
x?
?
?
?
x1?
0,使当x?
?
x1时,有|f(x)?
a|?
?
;?
x2?
0,使当x?
x2时,有|f(x)?
a|?
?
.
取x?
max{x1,x2},则当|x|?
x时,有|f(x)?
a|?
?
即limf(x)?
a.
x?
?
8.根据极限的定义证明:
函数f(x)当x?
x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明先证明必要性.设f(x)?
a(x?
x0),则?
?
>0,?
?
?
0,使当0<|x?
x0|
|f(x)?
a|
因此当x0?
?
|f(x)?
a|
这说明f(x)当x?
x0时左右极限都存在并且都等于a.再证明充分性.设f(x0?
0)?
f(x0?
0)?
a,则?
?
>0,?
?
1>0,使当x0?
?
1取?
?
min{?
1,?
2},则当0<|x?
x0||f(x)?
a|
即f(x)?
a(x?
x0).
9.试给出x?
?
时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.
解x?
?
时函数极限的局部有界性的定理?
如果f(x)当x?
?
时的极限存在?
则存在x?
0及m?
0?
使当|x|?
x时?
|f(x)|?
m?
证明设f(x)?
a(x?
?
)?
则对于?
?
1?
?
x?
0?
当|x|?
x时?
有|f(x)?
a|?
?
?
1?
所以|f(x)|?
|f(x)?
a?
a|?
|f(x)?
a|?
|a|?
1?
|a|?
这就是说存在x?
0及m?
0?
使当|x|?
x时?
|f(x)|?
m?
其中m?
1?
|a|?
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