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定义证明二重极限

就是说当点（x,y）落在以（x0,y0）点附近的一个小圈圈内的时候，f（x,y）与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。

那么就说f（x,y）在（x0,y0）点的极限为a

关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：

定义1设函数在点的某一邻域内有定义（点可以除外），如果对于任意给定的正数。

，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p（x，y）所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。

，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式v（p）一周

利用极限存在准则证明：

（1）当x趋近于正无穷时，（inx/x^2）的极限为0;

（2）证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1）用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1）,lnx/x^2

故（inx/x^2）的极限为0

2）用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,xn-x（n-1）=/2<0,单调递减

且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

设数列极限为a,xn和x（n-1）极限都为a.

对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

（一）时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:

的意义,的直观意义.

定义（和.）

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

（二）时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证（类似有（三）单侧极限:

1.定义：

单侧极限的定义及记法.

几何意义:

介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:

例10证明:

极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质（3学时）

目的：

使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：

掌握函数极限的基本性质：

唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：

函数极限的性质及其计算。

教学难点：

函数极限性质证明及其应用。

教学方法：

讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

（一）函数极限的性质:

以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性（不等式性质）:

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）

註:

若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:

（只证“+”和“”）

（二）利用极限性质求极限：

已证明过以下几个极限：

（注意前四个极限中极限就是函数值）

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：

通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1（利用极限和）

例2例3註:

关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

证明二重极限不存在

如何判断二重极限（即二元函数极限）不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f（x,y）不存在,通常的方法是:

找几条通过（或趋于）定点（x0,y0）的特殊曲线,如果动点（x,y）沿这些曲线趋于（x0,y0）时,f（x,y）趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f（x,y）不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过（x0,y0）,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f（x,y）g（x,y）的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f（x,y）-g（x,y）=0,这样做就很容易出错。

例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-（x2+y2）=0→（0,0）时,所得的结论就不同（这时f（x,y）→1）。

为什么会出现这种情况呢?

仔细分析一下就不难得到答案

若用沿曲线，（，y）一g（，y）=0趋近于（，y0）来讨论，一0g，y。

。

可能会出现错误，只有证明了（，）不是孤立点后才不会出错。

o13a1673-3878（xx）0l__0l02__02如何判断二重极限（即二元函数极限）不存在。

是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。

只是略谈一下在判断二重极限不存在时。

一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知，要讨论limf（x，y）不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：

找几条通过（或趋于）定点（xo，yo）的特殊曲线，如果动点（x，y）沿这些曲线趋于（xo，y。

）时，f（x，y）趋于不同的值，则可判定二重极限limf（x，y）不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过（xo，y。

），并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f（x，y）一g（x，y）：

0，这样做就很容易出错。

当沿曲线y=-x+x^2趋于（00）时，极限为lim（-x^2+x^3）/x^2=-1;

当沿直线y=x趋于（00）时，极限为limx^2/2x=0。

故极限不存在。

x-y+x^2+y^2

f（x,y）=————————

x+y

它的累次极限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

当沿斜率不同的直线y=mx,（x,y）->（0,0）时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。

例1、用数列极限定义证明：

limn?

0n?

n2?

2时n?

（1）2n

（2）2nn?

22（3）24（4）|2?

0|?

nn?

7n?

nn?

1n?

上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号

（1）、

（2）、（3）均成立方可。

第一个等号成立的条件是n>2；不等号

（1）成立的条件是2

（2）成立的条件是7

n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n?

[]，故取n=max{7,2?

44[]}。

这样当n>n时，有n>7，n?

[]。

4因为n>7,所以等号第一个等号、不等式

（1）、

（2）、（3）能成立；因为n?

[]，所以不等号（3）成立的条件是1?

|不等式（4）能成立，因此当n>n时，上述系列不等式均成立，亦即当n>n时，

在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n?

0|?

。

n2?

7n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．2

可把它放大为（k为大于零的常数）的形式．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

0n?

n2?

4n?

4时n?

n2n2

（1）|2?

0|?

1n?

1n2n

22不等号

（1）成立的条件是n?

[],故取n=max{4,[]},则当n>n时，上面的不等式都成?

例2、用数列极限定义证明：

lim

立。

注：

对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。

如：

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2?

n22

n（n?

1）2?

（?

1）n

例3、已知an?

，证明数列an的极限是零。

2（n?

1）

（?

1）n1

（1）1

（2）

证明：

0（设0?

1），欲使|an?

0|?

||?

成立22（n?

1）（n?

1）n?

11?

解得：

1，由于上述式子中的等式和不等号

（1）对于任意的正整n?

1数n都是成立的，因此取n?

1]，则当n>n时，不等号

（2）成立，进而上述系列等式由不等式?

和不等式均成立，所以当n>n时，|an?

0|?

。

在上面的证明中，设定0?

1，而数列极限定义中的?

是任意的，为什么要这样设定？

这样设定是否符合数列极限的定义？

在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定0?

1，则n?

1]就有1

可能不是正整数，例如若?

＝2，则此时n＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定0?

1，这样就能保证n是正整数了。

那么对于大于1的?

，是否能找到对应的n？

能找到。

按照上面已经证明的结论，当?

＝0.5时，有对应的n1，当n>n1时，|an?

0|＜0.5成立。

因此，当n＞n1时，对于任意的大于1的?

，下列式子成立：

|an?

0|＜0.5＜1＜?

，亦即对于所有大于1的?

，我们都能找到与它相对应的n=n1。

因此，在数列极限证明中，?

可限小。

只要对于较小的?

能找到对应的n，则对于较大的?

．．．

就自然能找到对应的n。

极限定义证明

趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

这两个用函数极限定义怎么证明?

x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

证明：

对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要

|sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2,

∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，

所以取x=1/ξ^2，当x>x时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，

同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

证明：

对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只

需要0<δ时，必有

|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，

由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.

注意，用定义证明x走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面x减去的那个x0.

记g（x）=lim^（1/n），n趋于正无穷;

下面证明limg（x）=max{a1,...am},x趋于正无穷。

把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1（x）趋于a;作b>a>=0,m>1;

那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1（x）

注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>n2时，0<=f2（x）

同理，存在ni，当x>ni时，0<=fi（x）

取n=max{n1,n2...nm};

那么当x>n,有

（a/m）^n<=f1（x）^n<=f1（x）^n+...fm（x）^n

所以a/m<=^（1/n）

对n取极限，所以a/m<=g（x）n时成立;

令x趋于正无穷，

a/m<=下极限g（x）<=上极限g（x）<=b;

注意这个式子对任意m>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。

令m趋于正无穷，b趋于a;

有a<=下极限g（x）<=上极限g（x）<=a;

这表明limg（x）=a;

证毕;

证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。

还有个看起来简单些的方法

记g（x）=lim^（1/n），n趋于正无穷;

g（x）=max{f1（x）,....fm（x）};

然后求极限就能得到limg（x）=max{a1,...am}。

其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

有种简单点的方法，就是

max{a,b（）}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。

多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，

故极限可以放进去。

一）时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:

的意义,的直观意义.

定义（和.）

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

（二）时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证（类似有（三）单侧极限:

1.定义：

单侧极限的定义及记法.

几何意义:

介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:

例10证明:

极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质（3学时）

教学目的：

使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：

掌握函数极限的基本性质：

唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：

函数极限的性质及其计算。

教学难点：

函数极限性质证明及其应用。

教学方法：

讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

（一）函数极限的性质:

以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性（不等式性质）:

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）

註:

若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:

（只证“+”和“”）

（二）利用极限性质求极限：

已证明过以下几个极限：

（注意前四个极限中极限就是函数值）

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：

通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1（利用极限和）

例2例3註:

关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

习题1?

1.根据函数极限的定义证明:

（1）lim（3x?

1）?

8;x?

（2）lim（5x?

2）?

12;x?

x2?

4;（3）limx?

2x?

4x3

（4）lim?

2x?

1证明

（1）分析|（3x?

1）?

8|?

|3x?

9|?

3|x?

3|,要使|（3x?

1）?

8|?

只须|x?

3|?

1证明因为?

0,?

当0?

|x?

3|?

时,有|（3x?

1）?

8|?

所以lim（3x?

1）?

8.x?

（2）分析|（5x?

2）?

12|?

|5x?

10|?

5|x?

2|,要使|（5x?

2）?

12|?

只须|x?

2|?

1证明因为?

0,?

当0?

|x?

2|?

时,有|（5x?

2）?

12|?

所以lim（5x?

2）?

12.x?

（3）分析

|x?

（?

2）|?

.x2?

4x2?

4x?

4x2?

（?

4）?

|x?

2|?

|x?

（?

2）|,要使?

（?

4）?

只须x?

2x?

x2?

4x2?

（?

4）?

所以lim?

4.证明因为?

0,?

当0?

|x?

（?

2）|?

时,有x?

2x?

（4）分析1?

4x3111?

4x31?

只须|x?

（?

）|?

|1?

2x?

2|?

2|x?

（?

）|,要使2x?

12x?

1222

4x3111?

4x3

所以lim证明因为?

0,?

当0?

|x?

（?

）|?

时,有?

2.12x?

12x?

122x?

2.根据函数极限的定义证明:

（1）lim1?

2x3

sinxx?

1;2

（2）limx?

证明

（1）分析

|x|?

x32x311?

x3?

22x3?

12|x|3,要使1?

x32x3?

11?

只须?

即322|x|2?

证明因为?

0,?

（2）分析

sinxx?

12?

当|x|?

x时,有1x

x32x311?

x31?

所以lim?

2x322

即x?

sinxx

|sinx|x

要使

sinx

证明因为?

0,?

当x?

x时,有

xsinxx

只须

所以lim

3.当x?

2时,y?

x2?

4.问?

等于多少,使当|x?

解由于x?

2,|x?

2|?

0,不妨设|x?

2|?

1,即1?

3.要使|x2?

4|?

|x?

2||x?

2|?

5|x?

2|?

0.001,只要

|x?

2|?

0.001

0.0002,取?

0.0002,则当0?

|x?

2|?

时,就有|x2?

4|?

0.001.5

x2?

1x?

4.当x?

时,y?

x2?

1x2?

1,问x等于多少,使当|x|>x时,|y?

1|<0.01?

解要使?

4x2?

0.01,只|x|?

397,x?

.0.01

5.证明函数f（x）?

|x|当x?

0时极限为零.

x|x|

6.求f（x）?

（x）?

当x?

0时的左﹑右极限,并说明它们在x?

0时的极限是否存在.

证明因为

limf（x）?

lim?

lim1?

xx?

limf（x）?

lim?

lim1?

xx?

limf（x）?

limf（x）,?

所以极限limf（x）存在.

因为

lim?

（x）?

lim?

|x|?

lim?

1,?

0xx|x|x?

lim?

1,xx?

lim?

（x）?

lim?

（x）?

lim?

（x）,?

所以极限lim?

（x）不存在.

7.证明:

若x?

及x?

时,函数f（x）的极限都存在且都等于a,则limf（x）?

证明因为limf（x）?

a,limf（x）?

a,所以?

>0,

x1?

0,使当x?

x1时,有|f（x）?

a|?

x2?

0,使当x?

x2时,有|f（x）?

a|?

取x?

max{x1,x2},则当|x|?

x时,有|f（x）?

a|?

即limf（x）?

8.根据极限的定义证明:

函数f（x）当x?

x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性.设f（x）?

a（x?

x0）,则?

>0,?

0,使当0<|x?

x0|

|f（x）?

因此当x0?

|f（x）?

这说明f（x）当x?

x0时左右极限都存在并且都等于a.再证明充分性.设f（x0?

0）?

f（x0?

0）?

a,则?

>0,?

1>0,使当x0?

取?

min{?

1,?

2},则当0<|x?

x0|

|f（x）?

即f（x）?

a（x?

x0）.

9.试给出x?

时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.

解x?

时函数极限的局部有界性的定理?

如果f（x）当x?

时的极限存在?

则存在x?

0及m?

使当|x|?

x时?

|f（x）|?

证明设f（x）?

a（x?

）?

则对于?

当|x|?

x时?

有|f（x）?

a|?

所以|f（x）|?

|f（x）?

a|?

|f（x）?

a|?

|a|?

这就是说存在x?

0及m?

使当|x|?

x时?

|f（x）|?

其中m?

|a|?

内容仅供参考

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