中考数学 圆的综合 综合题及答案解析.docx

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中考数学圆的综合综合题及答案解析

2020-2021中考数学圆的综合综合题及答案解析

一、圆的综合

1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．

（1）求∠AOC的度数；

（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．

【答案】

（1）60°；

（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：

M1（2，﹣2）、M2（﹣2，﹣2）、M3（﹣2，2）、M4（2，2）．

【解析】

【分析】

（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．

（2）由

（1）的结论知：

OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．

（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：

C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．

【详解】

（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，

∴△OAC是等边三角形，

故∠AOC=60°．

（2）由

（1）知：

AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；

∴AC=OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，

而OC是⊙O的半径，

故PC与⊙O的位置关系是相切．

（3）如图；有三种情况：

①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：

M1（2，﹣2）；

劣弧MA的长为：

；

②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：

M2（﹣2，﹣2）；

劣弧MA的长为：

；

③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：

M3（﹣2，2）；

优弧MA的长为：

；

④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，2）；

优弧MA的长为：

；

综上可知：

当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为对应的M点坐标分别为：

M1（2，﹣2）、M2（﹣2，﹣2）、M3（﹣2，2）、M4（2，2）．

【点睛】

本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．

2．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；

（3）在

（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．

【答案】

（1）答案见解析；

（2）AB=3BE；（3）3．

【解析】

试题分析：

（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；

（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；

（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．

试题解析：

（1）证明：

连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；

（2）线段AB、BE之间的数量关系为：

AB=3BE．证明如下：

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴．∵Rt△ABD中，tanA==，∴=，

∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；

（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=x．∵OF=1，∴OE=1+2x．

在Rt△ODE中，由勾股定理可得：

（x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．

点睛：

本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．

3．如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，过点D作交AB于点E，以AE为直径作．

求证：

BC是的切线；

若，，求的值．

【答案】

（1）见解析；

（2）．

【解析】

【分析】

连接OD，如图，先证明，再利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论；

先利用勾股定理计算出，设的半径为r，则，，再证明∽，利用相似比得到r：

：

5，解得，接着利用勾股定理计算，则，利用正切定理得，然后证明，从而得到的值．

【详解】

证明：

连接OD，如图，

平分，

，

，

，

，

，

，

，

是的切线；

解：

在中，，

设的半径为r，则，，

，

∽，

：

：

BA，

即r：

：

5，解得，

，，

在中，，

，

在中，，

为直径，

，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．

4．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣2，），点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：

①t的值；

②∠MBD的度数；

（3）在

（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．

【答案】

（1）8；

（2）①7；②105°；（3）t=6﹣或6+．

【解析】

分析：

（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；

（2）①如图2，先根据坐标求EF的长，由EE'﹣FE'=EF=7，列式得：

3t﹣2t=7，可得t的值；

②先求∠EBA=60°，则∠FBA=120°，再得∠MBF=45°，相加可得：

∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；

（3）分两种情况讨论：

作出距离MN和ME，第一种情况：

如图5由距离为1可知：

BD为⊙M的切线，由BC是⊙M的切线，得∠MBE=30°，列式为3t+=2t+6，解出即可；

第二种情况：

如图6，同理可得t的值．

详解：

（1）如图1，过A作AE⊥BC于E．

∵点A的坐标为（﹣2，），点B的坐标为（﹣3，0），∴AE=，BE=3﹣2=1，∴AB===2．

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8；

（2）①如图2，⊙M与x轴的切点为F，BC的中点为E．

∵M（3，﹣1），∴F（3，0）．

∵BC=2，且E为BC的中点，∴E（﹣4，0），∴EF=7，即EE'﹣FE'=EF，∴3t﹣2t=7，t=7；

②由

（1）可知：

BE=1，AE=，

∴tan∠EBA===，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．

∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=∠FBA==60°．

∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．

∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，

∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；

（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：

第一种情况：

如图5．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．

∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．

∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．

∵ME=1，∴EB=，∴3t+=2t+6，t=6﹣；

第二种情况：

如图6．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．

∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．

∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．

∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=，EB==，

∴3t=2t+6+，t=6+；

综上所述：

当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣或6+．

点睛：

本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．

5．已知：

AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D，BD=CD,连接AD、AC．

（1）如图1,求证:

∠BAD=∠CAD

（2）如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K,求证AK=2OF；

（3）如图3,在

（2）的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.

图1图2图3

【答案】

（1）见解析

（2）见解析（3）

【解析】

试题分析：

（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB=90°，再证明△ABD≌△ACD即可得到结论；

（2）连接BE．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB=∠BEG．再证△KFE≌△BFE，得到BF=KF=BK．由OF=OB-BF，AK=AB-BK，即可得到结论．

（3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG．设∠GAB=．先证CM垂直平分AG，得到AM=GM，∠AGC+∠GCM=90°．再证∠GAF=∠GCM=．通过证明△AGB≌△CMG，得到BG=GM=AG．再证明∠BGC=∠MCG=．设BF=KF=a，GF=2a，AF=4a．

由OK=1，得到OF=a+1，AK=2（a+1），AF=3a+2，得到3a+2=4a，解出a的值，得到AF，AB，GF，FC的值．由tanα=tan∠HAK=，AK=6，可以求出AH的长．再由，利用公式tan∠GAD=，得到∠GAD=45°，则AL=AH，即可得到结论．

试题解析：

解：

（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°．

∵BD=CD，∠BDA=∠CDA，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD．

（2）连接BE．∵BG=BG，∴∠GAB=∠BEG．

∵CF⊥AB，∴∠KFE=90°．

∵EH⊥AG，∴∠AHE=∠KFE=90°，∠AKH=∠EKF，∴∠HAK=∠KEF=∠BEF．

∵FE=FE，∠KFE=∠BFE=90°，∴△KFE≌△BFE，∴BF=KF=BK．

∵OF=OB-BF，AK=AB-BK，∴AK=2OF．

（3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG．设∠GAB=．

∵AC=CG，∴点C在AG的垂直平分线上．∵OA=OG，∴点O在AG的垂直平分线上，

∴CM垂直平分AG，∴AM=GM，∠AGC+∠GCM=90°．

∵AF⊥CG，∴∠AGC+∠GAF=90°，∴∠GAF=∠GCM=．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGB=∠CMG=90°．

∵AB=AC=CG，∴△AGB≌△CMG，∴BG=GM=AG．

在Rt△AGB中，．

∵∠AMC=∠AGB=90°，∴BG∥CM，∴∠BGC=∠MCG=．

设BF=KF=a，，∴G