八年级第十七章《函数及其图象》知识点2.docx
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八年级第十七章《函数及其图象》知识点2
八年级第十七章《函数及其图象》知识点
（2）
八年级第十七《函数及其图象》知识点
（2）
一、一次函数
（一）一次函数的概念：
形如=x+b（其中≠0），两个特征：
①≠0，②x的次数为1
正比例函数的概念：
当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称与x成正比例
【注意】两个变量成正比例，即=x
例题
1、若函数=（-1）x||是一次函数，则=
2、若-1与x+3成正比例，且当x=1时，=2，求与x的函数关系式
（二）一次函数的图象及其性质：
=x+b（≠0）
1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点
特殊直线：
直线=x或直线=-x上的点到两坐标轴距离相等
2、一次函数的性质（与系数、b相关）
①决定着函数的增减性
当＞0时，随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限
当＜0时，随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限
②b决定着直线与轴交点的位置：
在原点的基础上“上加下减”
当b=0时，必过原点；当b＞0时，沿轴向上平移；当b＜0时，沿轴向下平移
补充口诀：
上加下减改变b，=x+b→=x+b+
左加右减改变x，=x+b→=（x+）+b
③斜率的性质：
平移不变；||越大，直线的倾斜程度越大；=【可用于待定系数法求解析式中的】
④截距b的性质：
与轴交点（0，b），与x轴交点（，0）
⑤四种特殊位置关系的直线：
两直线平行←→相等；
两直线相互垂直←→1·2=-1；
两直线关于x轴对称←→与b均互为相反数；
两直线关于轴对称←→互为相反数，b相等
⑥点（x0，0）到直线ax+b+=0的距离d公式：
d=
（三）一次函数的应用
1、解题关键：
点的坐标，尤其是交点的坐标
三种交点：
①与x轴交点，坐标为0，即（x，0）
②与轴交点，x坐标为0，即（0，）
③两个图象的交点：
联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和坐标
2、解题思路：
①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】
②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中、b注意利用性质求得【待定系数法思路：
几个未知系数，就用几个条构造方程】
③比较大小的三种方法：
【含两种方案的比较问题】
代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）
增减性分析法（对的符号已知的适用）
图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）
④最值问题（如最大利润）：
先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；
再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成=x+b的形式），
最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值
⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）
图象交点的意义：
两车相遇（或追上）
两车的距离即为：
s=1-2例题
1、已知直线=（+2）x+2-4的图象经过原点，则=
2、若一次函数=（+2）x-2+3的图象不经过第四象限，则的取值范围是
3、已知直线平行于直线=2x，且与轴交点到原点的距离为2，则该直线的解析式是
4、把直线=-x+3向上平移个单位后，与直线=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是
、函数=ax-2与=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=
6、一次函数=（3a-7）x+a-2的图象与轴交点在x轴上方，且随x的增大而减小，求a的取值范围
7、正比例函数=-x的图象经过第一三象限，在函数=（-2）x的图象上有三个点（x1，1）、（x2，2）、（x3，3），且x1＞x2＞x3时，则1、2、3的大小关系为
8、若直线=x+b交坐标轴于（-2,0）、（0,3）两点，则不等式x+b＞0的解集是
9、函数=-x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1≤x≤3时，函数的最小值是
10、直线AB过点A（0,6）、B（-3,0），直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1）
（1）求两直线的解析式；
（2）求直线D与x轴的交点D的坐标；（3）求直线AB上到轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（）求△PAD的面积；（6）在轴上的是否存在点，使得S△PA=S△PAD
11、点A为直线=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为
12、把Rt△AB放在平面直角坐标系中，点A（1,0）、点B（4,0），∠AB=90°，B=将△AB沿x轴向右平移，当点落在直线=2x-6上时，求线段B扫过的面积
13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本与生产数量x之间是一次函数关系，函数与自变量x的部分对应值如下表：
x（单位：
台）
10
20
30
（单位：
万元/台）
600
（1）求与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器2台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：
利润=售价﹣成本）
14、现从A，B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜1吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为0元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为4元/吨．
（1）设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：
运往甲地（单位：
吨）
运往乙地（单位：
吨）
A
xB
（2）设总运费为元，请写出与x的函数关系式；
（3）共有多少种运送方案？
哪种方案运费最少？
1、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为1（），出租车离甲地的距离为2（），客车行驶时间为x（h），1，2与x的函数关系图象如图所示：
（1）根据图象，求出1，2关于x的函数关系式。
（2）若设两车间的距离为S（），请写出S关于x的函数关系式。
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。
求A加油站到甲地的距离。
16、如图，直线=x+8与x轴、轴分别交于A和B，是B上的一点，△AB沿A折叠，点B恰好落在x轴上的处．
（1）求点的坐标；
（2）求直线A的解析式．二、反比例函数
（一）反比例函数的概念
概念：
形如=（其中≠0）的函数称为反比例函数，又称与x成反比例
两种变形：
=x-1和x=
概念的特征：
①≠0，②x的次数是-1，③分母只能是x
例题：
1、下列函数不是反比例函数的是（）
A、=；B、=；、=；D、=；E、=
2、当a=时，=是反比例函数
3、若+1与x-3成反比例，且当x=2时，=-4，求与x的函数关系式
4、已知=1+2，其中1与x成正比例，2与x成反比例，且当x=1与x=2时，的值均为6求当x=4时，的值
（二）反比例函数的图象及其性质：
=（其中≠0）
1、反比例函数的图象是双曲线
2、反比例函数的性质（只与相关）
①决定着图象所在的象限和增减性【注意增减性只能在一个象限中研究】
当＞0时，图象在第一三象限，在每个象限中随x的增大而减小（减函数）
当＜0时，图象在第二四象限，在每个象限中随x的增大而增大（增函数）
②每个反比例函数图象（双曲线）都关于原点对称【相应的点也关于原点对称性】
双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线=x和直线=-x【坐标轴夹角的平分线】
③当是相反数时，两个反比例函数的图象既关于x轴对称，也关于轴对称
④双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，两垂线段和坐标轴围成的矩形的面积等于||【用于反比例函数中与面积相关的问题】
如图，S矩形APB=||，S△=S△ND=||（三）反比例函数的应用
1、解题关键：
①点的坐标：
只有一个未知系数，故只需一个点，待定系数法代入即可
②有关面积：
转化为（见性质④）
③数形结合
2、解题思路：
与“一次函数的性质应用”大同小异
3、反比例函数与一次函数的综合应用的常用方法：
①由交点待定未知系数；
②常用条和应用类型：
面积、全等、对称、角平分线或垂直平分线、勾股定理例题：
1、已知反比例函数=的图象在第二四象限，则的取值范围是
2、函数=与函数=-4x的图象在同一平面直角坐标系中的交点有个
3、当x＞0时，=中随x的增大而减小，则直线=x+2不过第象限
4、反比例函数=的图象上有三个点（x1，1）、（x2，2）、（x3，3），当x1＞0＞x2＞x3时，比较1、2、3的大小：
、如图，正比例函数1＝1x的图象与反比例函数2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2当1>2时，x的取值范围是．
6、已知直线=2x与双曲线=的图象的一个交点为（2,4），则另一个交点坐标为（）
【注意这里的直线是过原点的，如果没有过原点，则需使用联立方程组求交点】
7、已知点A是反比例函数图象上一点，AB⊥轴于点B，且△AB的面积为3，则反比例函数的解析式为
8、如图，点P（1,4），Q（，n）在=的图象上，当＞1时，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足为A、B；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂足为、D；QD交PA于点E问：
随着的增大，四边形AQE的面积如何变化？
9、如图所示，过轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数=和=的图象交于点A和点B，若点是x轴上任意一点，连接A、B，则△AB的面积为________．
第9题第10题第11题
10、如图，一次函数1=x+b的图象与反比例函数2=的图象交于点A（-2,1）、B（1，n）
（1）求两函数的解析式；
（2）根据图象写出当1＞2时x的取值范围；
（3）直线A与反比例函数图象交于另一点，求S△AB；
（4）若直线AB与x轴交点为E，点P是反比例函数2=的图象上一点，且S△EP=2，求点P的坐标
11、如图，一次函数=x+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作B⊥x轴于点，点P（3n-4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PB=∠AB，求反比例函数和一次函数的表达式．
解析：
由点B、P在=x上，得2n＝和3n−4＝．解得=8，n=4，故反比例函数为=，且点B（2，4），P（8，1）．由∠PB＝∠AB，所以点P关于直线B的对称点P′在直线AB上，且点P′（-4，1）由点B（2，4）和点P′（-4，1）待定系数法求得AB的表达式为=x+3．
12、如图，一次函数的图象与反比例函数1=-（x<0）的图象相交于A点，与轴、x轴分别相交于B、两点，且（2，0），当x<-1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>-1时，一次函数值小于反比例函数值。
（1）求一次函数的解析式；
（2）设函数2=（x>0）的图象与1=-（x<0）的图象关于轴对称，在2=（x>0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BQP的面积等于2，求P点的坐标。
第11题第12题
13、如图，在平面直角坐标系中，直线＝2x＋b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线＝（x＞0）交于点D，过点D作D⊥x轴，垂足为，连结D已知△AB≌△AD
（1）如果b＝－2，求的值；
（2）试探究与b的数量关系，并写出直线D的表达式．
【解析】：
（1）b＝－2，则直线为＝2x－2，可得A（1，0），B（0，－2）
由△AB≌△AD得：
A＝A，B＝D，∴（2，0），D（2，2），
又点D在＝图象上，代入得＝4
（2）由＝2x＋b得A（－，0），B（0，b）．
由△AB≌△AD知，A＝A，B＝D，∴（－b，0），D（－b，－b），
又点D在＝图象上，代入得－b＝，即＝b2，
由D（－b，－b）待定系数得：
直线D的表达式为＝x
14、有一个Rt△AB，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，将它放在平面直角坐标系中，使斜边B在x轴上，直角顶点A在反比例函数=上，求点的坐标
解析：
首先根据三角形的摆放位置，可以得到点的四个位置；其次根据双曲线是关于原点对称的，只要求出如下图的两种情况下的点的坐标，即可求出另两个点的坐标；利用“直角三角形30°所对的直角边是斜边的一边”和“勾股定理”可得点A的坐标为（2，），即D=2，易得=或，故点的坐标为（，0）、（，0）、（，0）、（，0）
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