矢通量分裂格式.docx

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矢通量分裂格式

迁移方程

（10-1）

若a为大于零的正数，则Euler后差格式

（10-2）

稳定。

若a为小于零的负数，则Euler前差格式

（10-3）

稳定。

若a是可正可负的变量，则需将a进行分裂，令

式中，

，

于是有，

，

迁移方程可写为，

（10-4）

迎风格式，

（10-5）

总是稳定的。

当时，式（10-5）与（10-2）相当，当时，式（10-5）与（10-3）相当。

对于一维Euler方程

（10-6）

式中，

补充状态方程，

（10-7）

对于方程（10-6），若设

则方程（10-6）成为

（10-8）

如何分裂A？

两个步骤：

1，求出A

2，求出A的特征值。

可将矢通量F写成矢恒量U的显函数形式，即

第1个步骤：

（10-9）

（10-10）

第2个步骤，求出A的特征值。

对A作相似变换

（10-11）

式中，

对可以进行分裂，设

（10-12）

其中，

由式（10-11）可得，

（10-13）

将（10-12）代入（10-13）得

（10-14）

设

于是式（10-14）成为

从而完成了第2个步骤，分裂了A，于是Euler方程（10-8）可写成

迎风格式可写成

（10-16）

这是非守恒型的迎风格式，并不常用。

一．对守恒型Euler方程采用矢通量分裂措施

应当直接分裂Euler方程中的F，即对Euler方程（10-6）

实施迎风格式，这就是所谓矢通量分裂格式。

定理：

若函数恒等地满足下列关系

则称是一个次的齐次函数。

对于这种函数，只要它可微，就有

上式称为齐次函数的Euler公式。

在Euler方程中，F是关于U的一次齐次函数，即。

根据微分学中齐次函数的Euler公式，有

（10-17）

由于对A已进行了分裂（），于是有

令

（10-18）

于是，完成了对F的分裂

Euler方程（10-6）成为

矢通量分裂格式可写为：

归纳一下，分裂F的步骤：

1．求出A（）

2．找到矩阵P，使

3．求出，（，）

4．求出，（，）

5．求得，（，）

对于二维和三维情况，可以依次类推。

例如，对于二维Euler方程，

同样可进行矢通量分裂，即

于是，Euler方程就成为

那么矢通量分裂格式可写成：

二．矢通量分裂格式（采用矢通量分裂措施的差分格式）

1．一阶精度显式格式

2．空间精度为二阶的格式

3．MacCormack格式

由于采用了一侧差分，破坏了格式的对称性，只有一阶精度。

4．AF格式（C-N格式）

式中，下标b表示后差，f表示前差。

对上式作近似分解：

以上四个格式都是针对一维Euler方程的，可以直接推广到二维和三维。

三．人工粘性

MC格式和AF格式由于采用中心差分使其等价微分方程中的二阶导数项都消失了，引起非物理的数值振荡，所以必须人为地把这些消失了的二阶项再加到格式中去，这些二阶项称为人工粘性。

对于MC格式（以一维Euler方程为例），有

对于AF格式（以二维Euler方程为例）

式中，

，，

在以上格式中，、、、和均为待定系数。

如何确定这些系数？

四．人工粘性与矢通量分裂格式的关系

对于迁移方程

迎风格式

（10-5）

式中，，，代入上式，整理得，

上式表明，迎风格式相当于Euler中心差分格式加上二阶粘性。

对于一维Euler方程

（10-19）

简记——后差

——前差

——中心差

则一阶精度矢通量分裂格式可写为：

（10-20）

我们已知

而，（10-21）

而，（10-22）

而，（10-23）

于是，将式（10-23）代入式（10-22），有

显然，令

于是，

同理，

代式（10-24）入式（10-21），有

，

于是

（10-25）

根据定义：

代入式（10-25），得

（10-26）

代入一阶精度矢通量分裂格式（10-20），得

（10-27）

可见，一阶精度的矢通量分裂格式相当于中心差分格式加上二阶粘性。

这是一条重要结论。

另外，空间精度为二阶的矢通量分裂格式可写成

（10-28）

式中，

一侧三点后差：

一侧三点前差：

同理可从（10-28）导出下面的式子

（10-29）

式中，

（四点中心差分）

由（10-29）可得到另一条重要结论：

空间二阶精度的矢通量分裂格式相当于中心差分格式加上四阶粘性。

五．确定人工粘性的系数

根据上述两条重要结论，可以确定MC格式和AF格式中的人工粘性系数、、、和。

由（10-27）可知，应取

一般用（谱半径）代替，于是就有

同理可得，

而

由（10-29）可知，应取

根据AF格式稳定性要求，不能取太大，一般取

由于二阶人工粘性会降低格式的精度，因此只在激波区域（物理量变化剧烈的地方）加入；在光滑区，只需加入四阶粘性即可。

因此可以引入一个非线性人工粘性：

式中，

其中，，