届高三新题数学适用新高考专题二十 统计与统计案例解析版.docx
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届高三新题数学适用新高考专题二十统计与统计案例解析版
专题二十统计与统计案例
一、单选题
1．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））在一组样本数据，，…，（，，，……，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）
A．-1B．0C．D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关系数的概念直接判断.
【详解】
因为所有样本点都在直线上，所以这组样本数据的样本相关系数为1，
故选：
D
【点睛】
本题考查相关系数的含义，考查基本分析判断能力，属基础题.
二、多选题
2．（2020·江苏省丰县中学期末）某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算的观测值，则可以推断出（）
满意
不满意
总计
男生
18
9
27
女生
8
15
23
总计
26
24
50
附：
A．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为；
B．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意；
C．有的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异；
D．有的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据表格中的数据可求得男、女生对运动场所满意的概率的估计值，根据可判断C、D选项.
【详解】
对于选项A，该学校男生对运动场所满意的概率的估计值为，故A正确；
对于选项B，该学校女生对运动场所满意的概率的估计值为，
而，故B正确；
因为，有的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异，故C正确，D错误.
故选：
ABC.
【点睛】
本题考查的应用，考查由统计数据求概率的估计值.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、解答题
3．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中的人使用微信，其中每天使用微信时间少于一小时的有60人，其余的员工每天使用微信时间不少于一小时，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中是青年人.若规定：
每天使用微信时间不少于一小时为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中都是青年人.
（1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，完成列联表：
青年人
中年人
合计
经常使用微信
不经常使用微信
合计
（2）由列联表中所得数据判断，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”？
0.010
0.001
6.635
10.828
【答案】
（1）见详解；
（2）在犯错误的概率不超过的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”
【解析】
【分析】
（1）由题意计算并填写列联表即可；
（2）由列联表中的数据，计算观测值，对照临界值得出结论.
【详解】
（1）由题意可得，该公司员工中使用微信共有：
（人）
经常使用微信的有（人），
其中青年人：
（人）
使用微信的青年人为：
（人）
填写列联表如下：
青年人
中年人
合计
经常使用微信
80
40
120
不经常使用微信
55
5
60
合计
135
45
180
（2）
由列联表数据可得：
，
所以在犯错误的概率不超过的前提下
认为“经常使用微信与年龄有关”
【点睛】
本题考查了列联表、独立性检验的基本思想，考查了学生数据处理的能力，属于基础题.
4．（2020·江苏泰州·期末）某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量，的数据如下：
东部城市A
东部城市B
东部城市C
西部城市D
西部城市E
40
50
60
20
30
110
180
210
30
70
（1）已知销售量和销售量大致满足线性相关关系，求出关于的线性回归方程；
（2）根据上述数据计算是否有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．
参考公式：
，；
，其中．
临界值表：
0.15
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】
（1）；
（2）列联表见解析，有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.
【解析】
【分析】
（1）求出、，代入相应值求，再由公式求出，即可求得线性回归方程；
（2）作出列联表，计算观测值，观测值与表中对应临界值比较即可得出结论.
【详解】
（1），
，
，
，
得到线性回归方程为；
（2）作出列联表如下：
东部城市
西部城市
总计
甲
150
50
200
乙
500
100
600
总计
650
150
800
计算得，
所以有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.
【点睛】
本题考查最小二乘法求线性回归方程、独立性检验，考查数据处理能力、计算能力，属于中档题.
5．（2020·江西其他（文））针对某新型病毒，某科研机构已研发出甲､乙两种疫苗，为比较两种疫苗的效果，选取100名志愿者，将他们随机分成两组，每组50人.第一组志愿者注射甲种疫苗，第二组志愿者注射乙种疫苗，经过一段时间后，对这100名志愿者进行该新型病毒抗体检测，发现有的志愿者未产生该新型病毒抗体，在未产生该新型病毒抗体的志愿者中，注射甲种疫苗的志愿者占.
产生抗体
未产生抗体
合计
甲
乙
合计
（1）根据题中数据，完成列联表；
（2）根据
（1）中的列联表，判断能否有的把握认为甲､乙两种疫苗的效果有差异.
参考公式：
，其中.
参考数据：
【答案】
（1）列联表答案见解析.
（2）有的把握认为甲､乙两种疫苗的效果有差异.
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给条件，计算并填写列联表.
（2）计算出的值，由此判断有的把握认为甲､乙两种疫苗的效果有差异.
【详解】
（1）由题意可得未产生该新型病毒抗体的志愿者的人数为，
则注射甲种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为；
注射乙种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为.
产生抗体
未产生抗体
合计
甲
48
2
50
乙
42
8
50
合计
90
10
100
（2），
因为，所以有的把握认为甲､乙两种疫苗的效果有差异.
【点睛】
本小题主要考查列联表独立性检验，属于基础题.
6．（2020·山东省邹城市第一中学月考）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积（单位：
亩）
1
2
3
4
5
管理时间（单位：
月）
8
10
13
25
24
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50
（1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望．
参考公式：
其中．临界值表：
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考数据：
【答案】
（1）线性相关；
（2）有；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）分别求出，，从而，，，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关．
（2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
（3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】
解：
依题意：
故
则，
故管理时间与土地使用面积线性相关．
（2）依题意，完善表格如下：
愿意参与管理
不愿意参与管理
总计
男性村民
150
50
200
女性村民
50
50
100
总计
200
100
300
计算得的观测值为
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
故
故的分布列为
X
0
1
2
3
P
则数学期望为
（或由，得
【点睛】
本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等．
7．（2020·湖南湘潭·其他（理））近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.中国成人的数值标准为：
为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号的身高和体重数据，并计算得到他们的值（精确到如表：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
164
176
165
163
170
172
168
182
体重
60
72
77
54
●
●
72
55
（近似值）
22.3
23.2
28.3
20.3
23.5
23.7
25.5
16.6
（1）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到值为“正常”员工的人数为．求的分布列及数学期望．
（2）某调查机构分析发现公司员工的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为的员工体重为．计算得到的其他数据如下．
（i）求的值及表格中8名员工体重的平均值；
（ii）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为的员工的体重．
（附：
对于一组数据，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
，．
【答案】
（1）分布列见解析，数学期望为；
（2）（i）；；（ii）更正后的线性回归方程为；重新预估一名身高为的员工的体重约为．
【解析】
【分析】
（1）由题得的可能取值为0，1，2，3，再利用古典概型求出对应的概率，再写出分布列和期望得解；
（2）①先求出，再求出表格中8名员工体重的平均值；②求出，，求出更正后该组数据的线性回归方程为，再预估一名身高为180cm的员工的体重.
【详解】
解：
（1）8名员工BMI数值为“正常”的员工有5人，记抽到BMI值为“正常”的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，则
，，
，.
故的分布列为
0
1
2
3
则.
（2）①调查员甲由线性回归方程预估一名身高为180cm的员工的体重为71kg，由此计算，故.
②由①知更正前的数据，.
由得
，
更正后的数据，，
，，
所以.
故.
更正后该组数据的线性回归方程为.
当时，，
所以重新预估一名身高为180cm的员工的体重约75kg.
【点睛】
本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查线性回归方程的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
8．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他（文））某研究部门为了研究气温变化与患新冠肺炎人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查；得到如下列表：
（附）
高于22.5℃
不高于22.5℃
合计
患新冠肺炎
20
5
25
不患新冠肺炎
10
15
25
合计
30
20
50
（1）是否有99%的把握认为患新冠肺炎与温度有关，说明你的理由；
（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为54人，36人，18人.按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是老年人的概率.
0.10
0.05
0.025
0.01
2.701
3.841
5.024
6.635
【答案】
（1）有99%的把握认为患新冠肺炎与气温有关，理由见解析；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，计算，结合参考数据表，即可容易判断；
（2）求得分层抽样在各年龄段抽取的人数，列举所有从6人中随机抽取2人的可能，再找出满足题意的可能，利用古典概型的概率计算公式，即可求得结果.
【详解】
（1），
所以有99%的把握认为患新冠肺炎与气温有关，
（2）从108人中按照分层抽样的方法随机抽取6人，
老年、中年、青年分别抽取的人数为3人，2人，1人，
记3个老年人为，2个中年人为，1个青年人为，
抽取的全部结果为（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（），（），（），（B1，B2），
（B1，C1），（B2，C1）共15种.
至少1人是老年人的有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），
（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（），
（），（，），共12种.
所以至少1人是老年人的概率为.
【点睛】
本题考查独立性检验，以及古典概型的概率求解，涉及分层抽样，属综合基础题.
9．（2021·云南五华·昆明一中其他（文））某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：
日最高气温（单位：
）
天数
7
11
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8.
（1）求Y，Z的值；
（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？
说明理由.
高温天气
非高温天气
合计
旺销
不旺销
合计
附：
0.050
0.010
0.0010
旺销
3.841
6.635
10.828
【答案】
（1），；
（2）填表见解析；没有；答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8，得到日最高气温高于的频率为，由求解.
（2）根据列联表，利用求得，对照临界表下结论.
【详解】
（1）由已知得：
日最高气温高于的频率为，
所以，.
（2）
高温天气
非高温天气
合计
旺销
不旺销
合计
因为，所以没有％的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关.
【点睛】
本题主要考查统计表的应用以及独立性检验，属于基础题.
10．（2020·甘肃省会宁县第四中学期末（理））为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：
在55名男性驾驶员中，平均车速超过100的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100的有25人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100的人与性别有关.
平均车速超过100人数
平均车速不超过100人数
合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
参考公式与数据：
，其中
【答案】
（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为平均车速超过100的人与性别有关.
（2）分布列见解析，数学期望.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件填写列联表，计算的值，由此判断有99.5%的把握认为平均车速超过100的人与性别有关.
（2）根据二项分布的知识求得分布列和数学期望.
【详解】
（1）依题意，在名男性中，车速超过100的有人，不超过的有人.在名女性中，，车速不超过100的有人，，车速超过100的有人.由此填写列联表如下图所示：
平均车速超过100人数
平均车速不超过100人数
合计
男性驾驶员人数
40
15
55
女性驾驶员人数
20
25
45
合计
60
40
100
所以，
所以有99.5%的把握认为平均车速超过100的人与性别有关.
（2）从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取，抽取到平均车速超过100的男性驾驶员的概率为，故.所以：
，，
，，
所以的分布列为：
所以.
【点睛】
本小题主要考查列联表及独立性检验，考查二项分布，属于中档题.
11．（2020·安徽期末（文））某省高考改革实施方案指出：
该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成．该省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．
（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？
赞成
不赞成
合计
城镇居民
农村居民
合计
（2）利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取5名参加学校交流活动，从中选派2名家长发言，求恰好有1名城镇居民的概率．
附：
，．
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【答案】
（1）表见解析，没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”；
（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论；
（2）利用分层抽样法求出抽取的城镇居民和农村居民数.
【详解】
解：
（1）根据题意填写列联表如下；
赞成
不赞成
合计
城镇居民
30
15
45
农村居民
45
10
55
合计
75
25
100
由表中数据计算，
所以没有的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”；
（2）利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取5人，则城镇居民有3人，记为、、；
农村居民有2人，记为、；从这5人中选2人，基本事件为：
、、、、、、、、、共10种不同取法，
恰好有1名城镇居民的基本事件为、、、、、共6种，
故所求的概率为．
【点睛】
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
12．（2020·江苏镇江·期末）学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到列联表的部分数据如下表：
自律性一般
自律性强
合计
成绩优秀
40
成绩一般
20
合计
50
100
（1）补全列联表中的数据；
（2）判断是否有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
参考公式及数据：
.
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】
（1）列联表见解析；
（2）有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
【解析】
【分析】
（1）由总人数为100可补全表中的数据
（2）算出即可
【详解】
（1）因为总人数为100，可填写列联表如下：
自律性一般
自律性强
合计
成绩优秀
10
30
40
成绩一般
40
20
60
合计
50
50
100
（2）根据表中数据，得，
所以有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
【点睛】
本题考查的是独立性检验,计算能力是解答本题的关键.
13．（2020·湖北期中）在新型冠状病毒的疫苗研发过程中，某科研所利用独立性检验的方法调查接种疫苗A对预防新型冠状病毒是否有效，对200只动物进行试验.一周后，发现接种疫苗A且未患病的有64只，接种疫苗A且患病的有36只，未接种疫苗A且患病的有44只.
（1）将下列2×2列联表补全，并画在答题卡上.
患病
未患病
总计
接种疫苗A
未接种疫苗A
总计
200
（2）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为接种疫苗A对实验动物预防新型冠状病毒有效？
附：
参考公式和参考数据：
，其中.
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
【答案】
（1）答案见解析；
（2）犯错误的概率不超过0.25的前提下认为接种疫苗A对实验动物预防新型冠状病毒有效.
【解析】
【分析】
（1）根据题意计算直接得解；
（2）计算的值，结合临界值表可得解.
【详解】
（1）
患病
未患病
总计
接种疫苗A
36
64
100
未接种疫苗A
44
56
100
总计
80
升级会员 