f'(x)
XIaIna
axIna
1
XIna
1
XIna
f'X)
ax(Ina)2
ax(Ina)2
1
x2Ina
1x2Ina
图像
4≤>
k
X
K
/*
性质
增,凹
减,凹
增,凸
减,凹
佃、拐点及其判定
(1)定义:
曲线上凸弧与凹弧的分界点称为拐点。
二阶导数从大于O到小于0,或从小于0到大于0,中间的过渡点称为拐点。
(2)必要条件:
f'X)存在且(Xo,f(Xo))为拐点,则f'Xo)=0
拐点;UXO)=0
(3)充分条件:
若f'(x'°)=0,且在X0的两侧F(X)异号,则(X0,f(X0))是拐点
三、一元函数积分学
1、不定积分与导数的关系
(f(x)dx)=f(x)f(x)dx=f(x)C
2、基本初等函数的不定积分公式
(1)0dx=C
(2)X一dx=1X-IC(XY1),
1
12Il—11
JXdX=—X2+c,dx=2^x+c,∫——dx=--+c
2JXX2X
1
(3)Jdx=InX+C
X
(6)
dx
(ax)(bx)
]dx
11
⑷aXdx=訂C,沁川C
3、变限积分求导公式:
∣(x)
(..(X)f(t)dt)x=f(1(x));(x)—f(:
(x))J(x)
Xb
4、ILf(x)dx,Iaf(t)dt,af(x)dx联系与区别
(1)f(x)dx表示f(x)的全体原函数,它是一族函数,
且任两个原函数相差一个常数
XX
⑵.f(t)dt表示f(t)的一个原函数,有f(x)dxf(t)dtC
aa
b
⑶f(x)dx表示一个数值,其值为f(x)的任一个原函数F(X)在从a到b的增量F(b)-F(a)
^a
并且其值由上下限和f(X)决定,与用何符号表示无关
bb
即[f(X)dx=F(x)=F(b)—F(a)5、奇偶函数的积分
af(x)dx
-a
0,f(x)为奇函数
Ja
2∫θf(x)dx,f(x)为偶函数
四、多元函数
1、偏导的定义
在Xo点处的导数
IimO
f(χ°χy°)-f(χo,y°)
称为函数f(x,y)在Po(xo,yo)点处对X的偏导数,记作
(χo,yo)
(χo,yo)'
2、一般极值
f(χo,y°),Z
议:
X
(1)定义:
设ZHf(X,y)在(Xo,y°)的某邻域内有定义,恒有
f(x,y)一f(xo,y°)[乞f(xo,yo)]则称(xo,yo)为z=f(x,y)的极小(大)值点,相应地,
f(χ0,y0)为f(x,y)的极小值(极大值)。
(2)必要条件:
若(xo,yo)为Z=f(x,y)的极值点,且fχ(xo,yo),fy(xo,y°)存在,则:
fx(xo,y°)=o,fy(xo,yo)=o
⑶驻点的定义:
Jfx(Xo,yo)(OO称(xo,yo)为f(x,y)的驻点
Ify(Xo,y°)=o,
(4)充分条件:
设fχ(x°,yo)=o,fy(Xo,yo)=o
令^fXX(Xo,yo),^fXy(Xo,yo),fxy(Xo,yo)
■■■■■■=B2-AC,则:
1若:
:
=B2-ACo,则(xo,yo)不是极值点
2若厶=B2-AC:
:
o,则(xo,yo)为极值点,且A:
:
:
o时极为值点,A∙o时为极小值点
3若&=B2-AC=o,则不一定
(三)线性代数部分
一、矩阵
1、矩阵的乘法一般没有交换律,即ABUBA;常见可交换矩阵:
-1-1-1
(1)逆A:
AA=AA=E
(2)单位矩阵E:
AE=EA=A
(3)数量矩阵kE:
A(kE)=(kE)A=kA
(4)零阵O:
Ao=OA=0
(5)幕:
AmAn=AnAm=Am+n
⑹伴随A*:
AA*=A*A=∣A∣E(重要)
2、AB=O厂二_A=O,或B=O,当且仅当A或B可逆时才成立;对于AB=O,应该认识到
B的每一列都是齐次方程组AX=O的解,若B=O,则齐次方程组有非零解;
3、AB=AC厂丄B=C,当且仅当A可逆时,才成立;
4、A2=A「丄A=E或A=O,当且仅当A可逆时,有A=E;
当A—E可逆时,有A=O;
A2=0厂土A=O,仅当A为对称矩阵,即A=AT时,命题才成立;
5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别:
IkAI=knIA∣=kIA∣。
6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式
逆
转置
伴随
11
(A)=A
(AT)T=A
(A*)*=IAf1'A
(kA):
=k*(k≠0)
(kA)T=kAT(keR)
(kA)*=kn~A*(kwR)
(AB):
=bΛ√
(AB)T=BTAT
***
(AB)=BA
|A"F|A广
IATHAI
∣A*鬥AL(n王2)
一般(A+B)J式A"1+B"1
(A+B)t=At+BT
一般(A+B)*式A*+B*
互换性:
(AJ)T=(AT)J,(AJ)=(A)J,(A)T=(AT),(Ak)=(A)k;即这四种符
号(-1,T,*,k)可以进行互换,以简化运算。
7、重要结论与公式
⑴对于Amnr(A)-minmn/
(2)r(A)f(At)
(3)A行>B有
1A与B的行向量相互等价
2不改变列向量的线性关系(一般用初等行变换求矩阵的秩)
3r(A