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MBA联考数学基本概念和必备公式
（一）初等数学部分
、绝对值
1、非负性：
即Ial≥O,任何实数a的绝对值非负。
≤|a+b|≤|a|+|b|
ab≤O且|a|≥|b|
ab≥O
归纳：
所有非负性的变量
11
（1）
正的偶数次方（根式）
_242o4
a,a,,a,a
_O
⑵
负的偶数次方（根式）
11
a',a',,a^,a^*
O
（3）
指数函数aX（a>O
且a≠1）>O
考点：
若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。
2、三角不等式，即|a|-|b|
左边等号成立的条件:
右边等号成立的条件:
3、要求会画绝对值图像
二、比和比例
1、增长率p%原值a＞现值a（1p%）
下降率P%'现值a（1-P%）
等比定理:
aCeaCe
—（m>O）
b
X1+X2+...+Xn
--—_nXiX2...Xn（Xi>0i=1,...,n）
n、
当且仅当X1=X2==Xn时，等号成立。
[a>O,ba0
2、匕兰临』另一端是常数
2
2J等号能成立
ab
3、a+b^2（ab>0）,ab同号
ba
4、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。
四、方程
1、判别式（a,b,C∈R）
RO两个不相等的实根
.■:
=b-4ac：
：
=0两个相等的实根
J.■■■■.■■：
：
0无实根
2、图像与根的关系
2
△=b-4ac
△>0
△=0
△<0
2
f（x）=ax+bx+c（a>0）
j
|\/>
\丿飞
j
（V.
XVeJ
f（X）=0根
-b±V∆
x12—
1,22a
b
x12_
1,22a
无实根
f（x）>0解集
XX2
b
X≠-
2a
X∈R
f（x）<0解集
X1X∈Ψ
X∈Ψ
3、根与系数的关系
X1,X2是方程
2
ax+bx+C=0（a≠0）
的两根
4、韦达定理的应用
利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来:
（1）丄亠卩2
x∣x2x1x2
（2、11（XiX2）2-2^2
（2丿-2∙-2厂
XX2（X1X2）
（3）x1-X2=J（XI-X2）2=耳'（x1+x2）2-4x1x2
33222
（4）X1X2（XIE）（XI-X1X2X1）=（X1X2）[（X1X2）-3X1X2]
5、要注意结合图像来快速解题
五、不等式
1、提示：
一元二次不等式的解，也可根据二次函数y=ax2bxC的图像求解。
2
△=b-4ac
△>0
△=0
△<0
2
f（x）=ax+bx+c
（a>0）
\/.
V
IV
X1∖JX2
X1,2
f（x）=0根
-b±V∆
X12=
侯2a
b
X1,2一恳
无实根
f（x）>0解集
XX2
X」
2a
X∈R
f（x）<0解集
X1X∈Ψ
X∈Ψ
2、注意对任意X都成立的情况
（1）ax2bxO0对任意X都成立，则有：
a>0且厶<0
2、,
（2）ax+bx+c<0对任意X都成立，则有：
a<0且厶VO
3、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点
六、二项式
rnr
1、Cn=Cn一，即：
与首末等距的两项的二项式系数相等
2、C：
+Cn十…+C：
=2n，即：
展开式各项二项式系数之和为2n
3、常用计算公式
n
（1）p=m（m-1）（m—n1）
O
⑵Pm=1
_n
⑷Cn=Cn=I
5、展开式系数
n-1
2
n
和第（罗+仁与3）项的二项式系数最大，其为Td=c：
2或H=C
5、内容列表归纳如下:
二项式定理
公式（a+b）n—C0an+cnan'b+…+Cn^abn^+C∏bn所表示的
定理成为二项式定理。
通项公式
第k+1项为Tk41=CfanjV,k=0,1,,,n
项数
展丿丨总共n+1项
二项式指数
r⅜Λι+匕来/rI-Lr逐项减IC匚白闩+匕来Zr由C逐项加1
a的指数：
由n⅛0;b的指数：
由O⅛n;
展开式
各项a与b的指数之和为n
的特征
n
当n为偶数时，则中间项（第n+1项）系数C1?
最大；
展开式的
2
最大系数
n+1门十3n
当n为奇数时，则中间两项（第n1和n3项）系数Cn2最大。
22n
1.c；=Cn丄，即与首末等距的两项系数相等；
展开式系数之间的
2.Cn0+Cn1+,,Cnn=2n,即展开式各项系数之和为2n;
关系
3.C；+C；+Cn4...=Cn+C；+C；...=2n_1,即奇数项系数和等
于偶数项系数和
七、数列
n
公式：
Sn=a「a2■…■an=Vaiim
1、an与Sn的关系（A）
（1）已知an,求Sn.
（2）已知Sn,求an
2、等差数列（核心）
（1）通项
an（nT）d=ak（n_k）d二nd（a〔一d）f（x）=Xd（ai-d）=an二f（n）
比如：
已知am及an,求d.（m,am）与（n,an）共线斜率d=anam
n—m
⑵前n项和Sn（梯形面积）
Sl
n（n—1）.n=na1d
22
d2d
Sn=n2（a1_）n
22
尸a1an
n2（a1_d）n
22
抽象成关于n的二次函数f（x）=—X2∙（a1—）x,Sn=f（n）
22
函数的特点：
（1）无常数项，即过原点
（2）
如Sn=2n2-3n,d=4
二次项系数为d
（3）开口方向由d决定
3.重要公式及性质
（1）通项an（等差数列）am∙an=ak■at,当m∙n=k■t时成立
（2）前n项和性质
4、等比数列
注意：
等比数列中任一个元素不为
（1）通项：
an=aiq
nJk
=akq
=ak亠（n_k）d
（2）前n项项和公式:
Sa1（1
Sn
-q
1—q
aiIanq
1—q
1Sn为等差数列前n项和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等差数列
（3）
ai
所有项和S
对于无穷等比递缩（qV1,q=0）数列，所有项和为S=
1-q
5.等比数列性质
（1）通项性质：
当mn=kt时，则am∙an=ak∙at
6、
特殊数列求和。
（差分求和法）
an
Sn
=a1a-
an=丄+丄+丄卡
n122334
111111
=（1_1）（1_丄）（丄_丄）
22334n
1
n（n1）
1、41
）=1-
（二）微积分部分
一、函数、极限、连续
1、单调性：
（注意严格单调与单调的区别）
设有函数y=f（x）,X∈D，若对于D中任意两点X1,x2（x1若上述不等号为严格不等号“<”（或“>”），则称函数f（x）在D上严格单调上升（或严格单调
下降）。
2、奇偶性：
（1）定义：
设函数y=f（x）的定义域D关于原点O对称，若对于D中的任一个X,都有
f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x））,则称函数f（x）为奇函数（或偶函数）。
（2）图像特点：
奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，函数y=O既是奇函数，也是偶函数。
3、遇到f（x）g（X）,只要符合"1Q-,按以下方法处理：
（X）』]g（x）
=lim[1+（f（X）—1）]f（X）
Iimf（x）g（X）=lim[1（f（x）-1）]g（X）X內
XrXOXo
FIr[f（χ）J]g（χ）
Iim（f（x）4）g（x）
=Iim[1（f（x）-1）]f（X）J=exxo
X3xOJI
Iim（f（x）4）g（x）
公式：
Iimf（x）g（X）=exxo
Xf
4、常用等价无穷小：
当X0时，有
ex—1〜Xln（1+x）〜X（1+x）n-1〜nx
引申：
当：
（x）>0时，ln（1+：
（x））〜eα（X）-1〜:
（x）,（1+：
（x））n-1〜n∙（x）
5、当X>+:
时，增长速度由慢到快排列：
lnx,Xα,αx,XX
6、f（x）在点X。
连续定义：
limf（x）=f（x°）
X—^0
7、闭区间上连续函数的性质
（1）最值定理
一个闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。
（2）零值定理
设f（χ）∈C（[a,b]）,且f（a）∙f（b）注意：
零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。
应用：
f（x）=0是一个方程，证明它在某一个区间上一定有根。
二、一元函数微分学
1、导数的数学定义式
Imf（XOrX）-f（XO）=f（χ0）（用于抽象函数判定是否可导）
Iimf（X）-f（XO）=f'（Xo）（用于表达式给定的具体函数，求导数值）
XfX-X0
2、可导与连续的关系
f（X0）存在*亠f（X）在X=X0连续
3、左右导数
左导数：
f（X。
）=∣im凹空=Iimf（X0F一f（X0）
Xf-x_x03—AX
右导数：
f（X0）=Iimf（X）—f（XO）=Iimf（X0Ff（XO）
x→o+X-X0SΔx
结论：
f（x°）=A=f_（xO）=f.（xO）=A
4、导数的几何意义
设点Mo（xo,f（xo））是曲线y=f（x）上的上点，贝9函数f（x）在XO点处的导数f'xo）正好是曲线y=f（x）
过Mo点的切线的斜率k，这就是导数的几何意义。
1
（1）切线方程y=f（xo）（x-X。
）■f（X。
），法线方程为y；（x-χo）∙f（χ°）
f（Xo）
（2）切线平行X轴
切线方程：
y=f（xo）,法线方程：
X=Xo
（3）切线平行y轴
切线方程：
X=x0,法线方程：
y=f（x0）
6常见函数求导公式
f（x）
C
Xa
JX
1
X
Xa
Xe
ICC|x|
IOga
ln|x|
f'（X）
0
1
1
ax∣na
X
1
1
C（X
2√X
X
e
Xlna
X
Zf（X）；f'（x）g（x）-f（χ）g'（χ）
—2
Ig（X）丿g（x）
7、高阶导数（掌握二阶导数即可）
可导一定连续，连续不一定可导
9、奇偶函数，周期函数的导数
常见函数的二阶导数
f（x）
C
XG
仮
1
X
Xa
Xe
LOga|x|
InIXl
f'（x）
0
0-1
1
1
ax∣na
Xe
1
1
X
C（X
2√X
2X
Xlna
f'（X）
G（G-I）Xce2
1
2
ax（In
X
1
1
0
3
4x勺
3X
a）2
e
^2.
Xlna
2X
8、可导、可微、连续与极限的关系
f（0）=0
11、洛必达法则（0,）
0旳
若Iimf（X）=0（或二），Iimg（x）=0（或：
：
）,则Iimf（X）=Iimf.（X）=Ag（x）g（X）
12、判断函数的增减性，求函数单调区间
（1）单调性定义
-X1,X2D,当xl沐2时，有f（N）t）g,则f（x）为单调递增（减）
（2）判别方法：
用f'（）判断
设f（X）在（a,b）上可导，则f（X）在（a,b）内单调增加（减少）的充要条件为f（x）_（勻0
f（X）单调增.f（x）-0
注意：
设f（X）在（a,b）区间内可导则f（X）在（a,b）内严格单调增加（减少）的充分条件是f'（x）>0（f'（x）
V0）
f'（x）>^-■严格单调增加
f'（x）V0”'严格单调下降
13、极值点的定义（局部最大或局部最小）
（1）定义：
设y=f（x）,若对-x∙（x°—：
x°+-J均有f（x）≤f（x°）（f（x）≥f（X0））则称X0为f（x）的极
大值点（极小值点）,f（X0）为极大值（极小值）。
（2）判定方法：
两个充分条件
第一充分条件：
若f（x）在X0处连续，在X0的邻域内可导，且当x0,（f'（x）<0）
当x>X0时，f'（x）<0,（f'（x）>0）,则称X0为极大值点（极小值点）。
第二充分条件：
设f（x）在X0点的某一领域内可导且f'（x°）=0,f'（X0）≠0
若f''（x0）0则X0是极小值点，f（x0）为极小值
若f''（X0）<0则X0是极大值点，f（x0）为极大值
注意：
f''（x0）=0不能判定用，有可能为极值，也可能不是极值。
（3）极值存在的必要条件
若X0为f（x）的极值点，且f'（x0）存在，则f'（x0）=0
注：
f'（Xo）=0不能推出X0为f（x）的极值点
女口：
y=x3，在X=0处必有y'=0
即：
X0极值点一7f'（x0）=0
14、驻点（稳定点）
（1）定义：
满足f（X）=M点，称为驻点
（2）驻点「'极值点
1X
15、函数的最值及其求解
（1）若f（x）在［a，b］上连续，则f（x）在［a，b］上必有最大值、最小值
（2）设函数f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内有一个极值点X0,贝U
若x0是f（x）的极大值点，那么x0必为f（x）在［a,b］上的最大值点;
若x0是f（x）的极小值点，那么x0必为f（x）在［a,b］上的最小值点。
（3）求最值的方法（最值是［a,b］整体概念，极值是局部概念）⑻求f（x）在（a,b）内所有驻点和导数不存在的点
（b）求出以上各函数值及区间［a,b］端点的函数值
（C）比较上述数值，最大的为最大值，最小的为最小值
最大值:
M:
max{f（a）,f（b）,f（x1）,、
,,f（Xo）}
最小值:
:
m:
min{f（a）,f（b）,f（x1）,,,
f（x0）}
其中：
X1,,,,X0为f（x）所有可能的极值点
16、驻点、极值点、最值点的联系与区别
上r■定义：
使f'（X）=O的点
驻点丿
图像：
找存在水平切线的点
边界
+求最值点的方法
b）内可能的极值点唯一，贝y此点为最值点（应用题）最值为整体概念，即函数图像在开区间［a,b］上最高点为最大值，最低点为最小值.
17、函数的切线与法线
切线与法线求法
一般地，在Xo处切线方程为y-y。
=f'（Xo）（x-Xo）
1
在x0处法线方程为y-y0-（χ-X0）
f'（Xo）
18、函数凹凸性及其判定
（1）凹弧
（a）定义：
如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧
（b）凹弧的切线斜率随着X的增大而增大，即f'（x）单调递增
（C）设f（x）在（a，b）上二阶可导，f（x）为凹弧的充要条件为f'（X）≥）-x∙（a,b）
⑵凸弧
（a）定义：
若曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧
（b）凸弧的切线斜率随着X的增大的而减小，即f'（x）单调递减
（C）设f（x）在（a,b）二阶可导，f（x）为凸弧的充要条件为f'X）≤0
（3）常见函数的性质
f（x）
ax（a>1）
ax（0Iogax（a>1）
X
Ioga（0f'（x）
XIaIna
axIna
1
XIna
1
XIna
f'X）
ax（Ina）2
ax（Ina）2
1
x2Ina
1x2Ina
图像
4≤>
k
X
K
/*
性质
增，凹
减，凹
增，凸
减，凹
佃、拐点及其判定
（1）定义：
曲线上凸弧与凹弧的分界点称为拐点。
二阶导数从大于O到小于0,或从小于0到大于0,中间的过渡点称为拐点。
（2）必要条件:
f'X）存在且（Xo,f（Xo））为拐点，则f'Xo）=0
拐点；UXO）=0
（3）充分条件：
若f'（x'°）=0,且在X0的两侧F（X）异号，则（X0,f（X0））是拐点
三、一元函数积分学
1、不定积分与导数的关系
（f（x）dx）=f（x）f（x）dx=f（x）C
2、基本初等函数的不定积分公式
（1）0dx=C
（2）X一dx=1X-IC（XY1）,
1
12Il—11
JXdX=—X2+c,dx=2^x+c,∫——dx=--+c
2JXX2X
1
（3）Jdx=InX+C
X
（6）
dx
（ax）（bx）
]dx
11
⑷aXdx=訂C，沁川C
3、变限积分求导公式：
∣（x）
（..（X）f（t）dt）x=f（1（x））；（x）—f（：
（x））J（x）
Xb
4、ILf（x）dx,Iaf（t）dt,af（x）dx联系与区别
（1）f（x）dx表示f（x）的全体原函数，它是一族函数,
且任两个原函数相差一个常数
XX
⑵.f（t）dt表示f（t）的一个原函数，有f（x）dxf（t）dtC
aa
b
⑶f（x）dx表示一个数值，其值为f（x）的任一个原函数F（X）在从a到b的增量F（b）-F（a）
^a
并且其值由上下限和f（X）决定，与用何符号表示无关
bb
即［f（X）dx=F（x）=F（b）—F（a）5、奇偶函数的积分
af（x）dx
-a
0,f（x）为奇函数
Ja
2∫θf（x）dx,f（x）为偶函数
四、多元函数
1、偏导的定义
在Xo点处的导数
IimO
f（χ°χy°）-f（χo,y°）
称为函数f（x,y）在Po（xo,yo）点处对X的偏导数，记作
（χo,yo）
（χo,yo）'
2、一般极值
f（χo,y°）,Z
议：
X
（1）定义：
设ZHf（X,y）在（Xo,y°）的某邻域内有定义，恒有
f（x,y）一f（xo,y°）[乞f（xo,yo）]则称（xo,yo）为z=f（x,y）的极小（大）值点，相应地，
f（χ0,y0）为f（x,y）的极小值（极大值）。
（2）必要条件：
若（xo,yo）为Z=f（x,y）的极值点，且fχ（xo,yo）,fy（xo,y°）存在，则:
fx（xo,y°）=o,fy（xo,yo）=o
⑶驻点的定义：
Jfx（Xo,yo）（OO称（xo,yo）为f（x,y）的驻点
Ify（Xo,y°）=o,
（4）充分条件：
设fχ（x°,yo）=o,fy（Xo,yo）=o
令^fXX（Xo,yo）,^fXy（Xo,yo）,fxy（Xo,yo）
■■■■■■=B2-AC,则：
1若：
:
=B2-ACo,则（xo,yo）不是极值点
2若厶=B2-AC：
：
o,则（xo,yo）为极值点，且A：
：
：
o时极为值点,A∙o时为极小值点
3若&=B2-AC=o,则不一定
（三）线性代数部分
一、矩阵
1、矩阵的乘法一般没有交换律，即ABUBA；常见可交换矩阵：
-1-1-1
（1）逆A:
AA=AA=E
（2）单位矩阵E:
AE=EA=A
（3）数量矩阵kE:
A（kE）=（kE）A=kA
（4）零阵O:
Ao=OA=0
（5）幕：
AmAn=AnAm=Am+n
⑹伴随A*：
AA*=A*A=∣A∣E（重要）
2、AB=O厂二_A=O,或B=O,当且仅当A或B可逆时才成立；对于AB=O，应该认识到
B的每一列都是齐次方程组AX=O的解，若B=O,则齐次方程组有非零解；
3、AB=AC厂丄B=C,当且仅当A可逆时，才成立；
4、A2=A「丄A=E或A=O,当且仅当A可逆时，有A=E；
当A—E可逆时，有A=O；
A2=0厂土A=O,仅当A为对称矩阵，即A=AT时，命题才成立；
5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：
IkAI=knIA∣=kIA∣。
6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式
逆
转置
伴随
11
（A）=A
（AT）T=A
（A*）*=IAf1'A
（kA）：
=k*（k≠0）
（kA）T=kAT（keR）
（kA）*=kn~A*（kwR）
（AB）：
=bΛ√
（AB）T=BTAT
***
（AB）=BA
|A"F|A广
IATHAI
∣A*鬥AL（n王2）
一般（A+B）J式A"1+B"1
（A+B）t=At+BT
一般（A+B）*式A*+B*
互换性：
（AJ）T=（AT）J,（AJ）=（A）J,（A）T=（AT）,（Ak）=（A）k；即这四种符
号（-1,T,*,k）可以进行互换，以简化运算。
7、重要结论与公式
⑴对于Amnr（A）-minmn/
（2）r（A）f（At）
（3）A行＞B有
1A与B的行向量相互等价
2不改变列向量的线性关系（一般用初等行变换求矩阵的秩）
3r（A
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