新课标全国卷1文科数学分类汇编3导数及其应用.docx

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新课标全国卷1文科数学分类汇编3导数及其应用

20XX年—20XX年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编

3．导数及其应用

一、选择题

【2016，12】若函数在上单调递增，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【2014，12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是

A．B．C．D．

二、填空题

【2017，14】曲线在处的切线方程为．

【2012，13】13．曲线在点（1，1）处的切线方程为_________．

三、解答题

【2017，21】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围．

【2016，21】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

【2015，21】设函数．

（1）讨论的导函数零点的个数;

（2）求证：

当时，．

【2014，21】设函数，曲线在点（1,f

（1））处的切线斜率为0．

（Ⅰ）求;（Ⅱ）若存在x0≥1，使得，求的取值范围．

【2013，20】已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4．

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

【2012，21】21．设函数．

（1）求的单调区间；

（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．

【2011，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求，的值；

（2）证明：

当，且时，．

20XX年—20XX年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编

3．导数及其应用（解析版）

一、选择题

【2016，12】若函数在上单调递增，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

解析：

选C．问题转化为对恒成立，

故，即恒成立．

令，得对恒成立．

解法一：

构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，

故只需保证，解得．故选C．

解法二：

当时，不等式恒成立；当时，恒成立，由在上单调递增，所以，故；当时，恒成立．由在上单调递增，，所以．

综上可得，．故选C．

【2014，12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

解：

依题a≠0，f'（x）=3ax2-6x，令f'（x）=0，解得x=0或x=，

当a>0时，在（-∞,0）与（,+∞）上，f'（x）>0，f（x）是增函数．在（0,）上，f'（x）<0，f（x）是减函数．且f（0）=1>0，f（x）有小于零的零点，不符合题意．

当a<0时，在（-∞,）与（0,+∞）上，f'（x）<0，f（x）是减函数．在（,0）上，f'（x）>0，f（x）是增函数．要使f（x）有唯一的零点x0，且x0>0，只要，即a2>4，所以a<-2．故选C

另解：

依题a≠0，f（x）存在唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于a=-t3+3t有唯一的正零根，即y=a与y=-t3+3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记g（t）=-t3+3t，g'（t）=-3t2+3，由g'（t）=0，解得t=±1，在（-∞,-1）与（1,+∞）上，g'（t）<0，g（t）是减函数．在（-1,1）上，g'（t）>0，g（t）是增函数．要使a=-t3+3t有唯一的正零根，只要a

二、填空题

【2017，14】曲线在处的切线方程为．

【解】．求导得，故切线的斜率，所以切线方程为，即．

【2012，13】13．曲线在点（1，1）处的切线方程为_________．

【解析】．由已知，根据导数的几何意义知切线斜率，

因此切线方程为，即．

三、解答题

【2017，21】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围．

【解析】

（1）

①当时，，令，即，解得，

令，即，解得，

所以当，在上递增，在上递减．

②当时，，在上递增．

③当时，，令，

令，

所以当时，在上递增，在上递减．

综上所述：

当，在上递减，在上递增；

当时，在上递增；

当时，在上递减，在上递增．

（2）由

（1）得当时，，

，得．当时，满足条件．

当时，

，

，又因为，所以．

综上所述，的取值范围是．

【2016，21】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

解析：

（1）由题意．

当，即时，恒成立．令，则，

所以的单调增区间为．同理可得的单调减区间为．

当，即时，令，则或．

（ⅰ）当，即时，令，则或，

所以的单调增区间为和．同理的单调减区间为；

（ⅱ）当，即时，

当时，，，所以．同理时，．

故的单调增区间为；

（ⅲ）当，即时．令，则或，

所以的单调增区间为和，同理的单调减区间为．

综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，的单调增区间为，单调减区间为．

（2）解法一（直接讨论法）：

易见，如

（1）中讨论，下面先研究（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）三种情况．

①当时，由单调性可知，，故不满足题意；

②当时，在上单调递增，显然不满足题意；

③当时，由的单调性，可知，

且，故不满足题意；

下面研究，

当时，，令，则，因此只有个零点，故舍去；

当时，，，所以在上有个零点；

（i）当时，由，而，

所以在上有个零点；

（ii）当时，由，而，

所以在上有个零点；

可见当时有两个零点．所以所求的取值范围为．

解法二（分离参数法）：

显然不是的零点，

当时，由，得．

设，则问题转化为直线与图像有两个交点，

对求导得，

所以在单调递增，在单调递减．

当时，若，，直线与图像没有交点，

若，单调递减，直线与图像不可能有两个交点，

故不满足条件；

若时，取，则，

而，结合在单调递减，

可知在区间上直线与图像有一个交点，

取，，

则，，

结合在单调递增，可知在区间上直线与图像有一个交点，

综上所述，时直线与图像有两个交点，函数有两个零点．

【2015，21】设函数．

（1）讨论的导函数零点的个数;

（2）求证：

当时，．

解：

（Ⅰ）f'（x）=2e2x，x>0…2分

（1）若a≤0时，f'（x）>0在（0,+∞）恒成立，所以f'（x）没有零点；…3分

（2）若a>0时，f'（x）单调递增．当x0,f'（x）-∞；当x+∞,f'（x）+∞，

所以f'（x）存在一个零点．…6分

（Ⅱ）设f'（x）的唯一零点为k，由（Ⅰ）知（0,k）上，f'（x）<0，f（x）单调递减；

在（k,+∞）上，f'（x）>0，f（x）单调递增．所以f（x）取最小值f（k）．…8分

所以f（x）≥f（k）=e2k-alnk，又f'（k）=2e2k=0，所以e2k=，，

所以f（k）=，

所以f（x）≥．…12分

21．解析

（1），．

显然当时，恒成立，无零点．

当时，取，则，即单调递增．

令，即．

画出与的图像，如图所示．

由图可知，必有零点，所以导函数存在唯一零点．

（2）由

（1）可知有唯一零点，设零点为，

由图可知，当时，，即单调递减；

当时，，即单调递增．

所以在处取得极小值，即．

又，解得．①

①两边分别取自然对数，得，即．

所以

（当且仅当，即时取等号）．

【2014，21】设函数，曲线在点（1,f

（1））处的切线斜率为0．

（Ⅰ）求;（Ⅱ）若存在x0≥1，使得，求的取值范围．

解：

（Ⅰ）（x>0），依题f'

（1）=0，解得b=1，…3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因为a≠1，所以f'（x）=0有两根：

x=1或。

…4分

（1）若，则，在（1,+∞）上，f'（x）>0，f（x）单调递增.

所以存在x0≥1，使得，的充要条件为，即，

解得。

…6分

（2）若，则，在（1,）上，f'（x）<0,f（x）单调递减，

在（）时，f'（x）>0，f（x）单调递增.

所以存在x0≥1，使得，的充要条件为，

而，所以不合题意.…9分

（3）若a>1，则。

存在x0≥1，符合条件。

…11分

综上，a的取值范围为：

。

…12分

【2013，20】已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4．

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

解：

（1）f′（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4，由已知得f（0）＝4，f′（0）＝4，故b＝4，a＋b＝8．

从而a＝4，b＝4．

（2）由

（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，f′（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）·．

令f′（x）＝0得，x＝－ln2或x＝－2．

从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln2，＋∞）时，f′（x）＞0；当x∈（－2，－ln2）时，f′（x）＜0．

故f（x）在（－∞，－2），（－ln2，＋∞）上单调递增，在（－2，－ln2）上单调递减．

当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（－2）＝4（1－e－2）．

【2012，21】21．设函数．

（1）求的单调区间；

（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．

【解析】

（1）函数的定义域为（－∞，+∞），且．

当时，，在（－∞，+∞）上是增函数；

当时，令，得．

令，得，所以在上是增函数，

令，得，所以在上是减函数，

（2）若，则，．

所以，

故当时，等价于

，

即当时，（）．①

令，则．

由

（1）知，函数在单调递增，而，，所以在存在唯一的零点．

故在存在唯一的零点．设此零点为，则．

当时，；当时，．

所以在的最小值为．

又由，可得，所以，

由于①式等价于，故整数的最大值为2．

【2011，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求，的值；

（2）证明：

当，且时，．

【解析】

（1），由于直线的斜率为，

且过点，故，即，解得，．

（2）由

（1）知，所以．

考虑函数，则．

所以当时，．而，故当时，，可得；

当时，，可得．

从而当，且时，，即．