知识学习XX年九年级数学上第二十三章旋转导学案人教版.docx

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知识学习XX年九年级数学上第二十三章旋转导学案人教版

XX年九年级数学上第二十三章旋转导学案（人教版）

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址　　第二十三章　旋转

　　23．1　图形的旋转

　　．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念．

　　2.了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．

　　重点：

旋转及对应点的有关概念及其应用．

　　难点：

从生活中抽象出数学概念．

　　请同学们完成下面各题．

　　将如图所示的四边形ABcD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．

　　,第小题图）　　　,第小题图）

　　如图，已知△ABc和直线l，请你画出△ABc关于l的对称图形△A′B′c′.

　　①圆是轴对称图形吗？

②等腰三角形呢？

③你还能指出其他的吗？

　　答：

①是；②是；③等腰梯形、长方形、正多边形等．

　　点拨精讲：

平移的有关概念及性质；如何画一个图形关于一条直线的对称图形并口述它有哪些性质；什么叫轴对称图形．

　　一、自学指导．

　　观察：

让学生看转动的钟表和风车等．

　　上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？

　　钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？

　　问题：

　　从3时到5时，时针转动了多少度？

　　风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？

　　以上现象有什么共同特点？

　　思考：

在数学中如何定义旋转？

　　归纳：

　　把一个图形绕着某一点o转动一个角度的图形变换叫做旋转，点o叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．

　　如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　．下列物体的运动不是旋转的是

　　A．坐在摩天轮里的小朋友

　　B．正在走动的时针

　　c．骑自行车的人

　　D．正在转动的风车叶片

　　2．下列现象中属于旋转的有__4__个．

　　①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．

　　3．如图，如果把钟表的指针看成四边形AoBc，

　　它绕着o点旋转到四边形DoEF位置，在这个旋转过程中：

旋转中心是点__o__，旋转角是__∠AoD，经过旋转，点A转到__D__点，点c转到__F__点，点B转到__E__点，线段oA，oB，Bc，Ac分别转到oD，oE，EF，DF，∠A，∠B，∠c分别与∠D，∠E，∠F__是对应角．

　　点拨精讲：

旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　．如图，四边形ABcD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．

　　这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？

　　请画出旋转中心和旋转角；

　　经过旋转，点A，B，c，D分别移到什么位置？

　　解：

可以看做是由基本图案正方形ABcD通

　　过旋转而得到的；画图略；点A、点B、点c、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.

　　点拨精讲：

旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的．

　　2．如图，△ABc与△ADE都是等腰直角三角形，∠c和∠AED都是直角，

　　点E在AB上，如果△ABc经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点__A__；旋转的度数是__45°__．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，

　　不难知道重合部分的面积为14，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？

说明理由．

　　点拨精讲：

设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△oEE′＝S△oDD′，即说明△oEE′≌△oDD′.

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．

　　2．旋转的对应点及其它们的应用．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　23．1　图形的旋转

　　．通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质．

　　2．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形．

　　重点：

图形的旋转的基本性质及其应用．

　　难点：

利用旋转的性质解决相关问题．

　　一、自学指导．

　　动手操作：

在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点o作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案，然后围绕旋转中心o转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形，移去硬纸板．

　　根据图回答下面问题：

　　．线段oA与oA′，oB与oB′，oc与oc′有什么关系？

　　2．∠AoA′，∠BoB′，∠coc′有什么关系？

　　3．△ABc与△A′B′c′的形状和大小有什么关系？

　　点拨精讲：

　　oA＝oA′，oB＝oB′，oc＝oc′，也就是对应点到旋转中心距离相等．

　　∠AoA′＝∠BoB′＝∠coc′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．

　　△ABc和△A′B′c′形状相同且大小相等，即全等．

　　归纳：

对应点到旋转中心的距离相等；

　　对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

　　旋转前、后的图形全等．

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　如图，四边形ABcD是边长为1的正方形，且DE＝14，△ABF是△ADE的旋转图形．

　　旋转中心是哪一点？

　　旋转了多少度？

　　AF的长度是多少？

　　如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？

　　分析：

由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF与△ADE是完全重合的，所以△AEF是等腰直角三角形．

　　解：

旋转中心是A点；

　　∵△ABF是由△ADE旋转而成的，

　　∴B是D的对应点，

　　∴∠DAB＝90°就是旋转角；

　　∵AD＝1，DE＝14，

　　∴AE＝12＋（14）2＝174.

　　∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，

　　∴AF＝174；

　　∵∠EAF＝90°且AF＝AE，

　　∴△EAF是等腰直角三角形．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　．如图，E是正方形ABcD中cD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，

　　画出旋转后的图形．

　　点拨精讲：

关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置．

　　2．已知线段AB和点o，画出AB绕点o逆时针旋转100°后的图形．

　　作法：

1.连接oA；

　　2．在逆时针方向作∠Aoc＝100°，在oc上截取oA′＝oA；

　　3．连接oB；

　　4．在逆时针方向作∠BoD＝100°，在oD上截取oB′＝oB；

　　5．连接A′B′.

　　∴线段A′B′就是线段AB绕点o按逆时针方向旋转100°后的对应线段．

　　点拨精讲：

作图应满足三要素：

旋转中心、旋转角、旋转方向．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　．如图，AD＝Dc＝Bc，∠ADc＝∠DcB＝90°，BP＝BQ，∠PBQ＝90°.

　　此图能否旋转某一部分得到一个正方形？

　　若能，指出由哪一部分旋转而得到的？

并说明理由．

　　它的旋转角多大？

并指出它们的对应点．

　　解：

能；

　　由△BcQ绕B点旋转得到．理由：

连接AB，易证四边形ABcD为正方形．再证△ABP≌△cBQ.可知△QcB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABcD.

　　90°.点c对应点A，点Q对应点P.

　　2．如图，△ABc绕c点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．

　　解：

连接cD；

　　以cB为一边作∠BcE，使得∠BcE＝∠AcD；

　　在射线cE上截取cB′＝cB，则B′即为所求的B的对应点；

　　连接DB′，则△DB′c就是△ABc绕c点旋转后的图形．

　　点拨精讲：

绕c点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠AcD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BcB′＝∠AcD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即cB＝cB′，就可确定B′的位置．

　　3．如图，k是正方形ABcD内一点，以Ak为一边作正方形AkLm，使L，m在Ak的同旁，连接Bk和Dm，试用旋转的思想说明线段Bk与Dm的关系．

　　解：

∵四边形ABcD、四边形AkLm是正方形，

　　∴AB＝AD，Ak＝Am，且∠BAD＝∠kAm为旋转角且为90°，

　　∴△ADm是以A为旋转中心，以∠BAD为旋转角，由△ABk旋转而成的．

　　∴Bk＝Dm.

　　点拨精讲：

要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　1．问题：

对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？

　　2．本节课要掌握：

　　旋转的基本性质．

　　旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　23．1　图形的旋转

　　．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果．

　　2.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．

　　重点：

用旋转的有关知识画图．

　　难点：

根据需要设计美丽图案．

　　一、自学指导．

　　．学生独立完成作图题．如图，△ABc绕B点旋转后，o点是A点的对应点，作出△ABc旋转后的三角形．

　　点拨精讲：

要作出△ABc旋转后的三角形，应找出三方面的关系：

①旋转中心B；②旋转角∠ABo；③c点旋转后的对应点c′.

　　探究：

从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：

旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．

　　把一个图案以o点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形．

　　．旋转中心不变，改变旋转角．

　　2．旋转角不变，改变旋转中心．

　　我们可以设计成如下图美丽的图案．

　　归纳：

旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以可以经过旋转设计出美丽的图案．

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过__3__次旋转，每次旋转__120°__得到的．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　．如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图__⑤__．图①按顺时针方向至少旋转__180__度可得图③.

　　2．如图所示，在△ABc中，∠BAc＝90°，AB＝Ac，点P是△ABc内的一点，且AP＝3，将△ABP绕点A旋转后与△AcP′重合，求PP′的长．

　　解：

依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′＝AP＝3，则△APP′是等腰直角三角形．

　　所以PP′＝PA2＋P′A2＝32＋32＝32.

　　解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　如图所示，点c是线段AB上任意一点，分别以Ac，Bc为边在同侧作等边三角形AcD和等边三角形BcE，连接AE，BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向．

　　解：

△AcE旋转后能与△DcB完全重合．

　　旋转中心是点c，旋转角是60°，旋转方向是顺时针

　　方向．

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案．

　　2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点——线的端点、角的顶点、圆的圆心等．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　23．2　中心对称

　　23.2.1　中心对称

　　.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念．

　　2.掌握中心对称的基本性质．

　　重点：

中心对称的性质及初步应用．

　　难点：

中心对称与旋转之间的关系．

　　一、自学指导．

　　自学1：

中心对称，对称中心，对称点等概念：

把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点．

　　自学2：

中心对称的性质：

　　关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；

　　关于中心对称的两个图形是全等图形．

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　．如图，四边形ABcD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．

　　这两个图形是中心对称图形吗？

如果是，对称中心是哪一点？

如果不是，请说明理由．

　　如果是中心对称，那么A，B，c，D关于中心对称的对称点是哪些点．

　　解：

根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．

　　A，B，c，D关于中心D的对称点是A′，B′，c′，D′，这里的D′与D重合．

　　2．如图，已知AD是△ABc的中线，作出以点D为对称中心，

　　与△ABD成中心对称的三角形．

　　分析：

因为D是对称中心且AD是△ABc的中线，所以c，B为一对对应点，因此，只要再作出A关于D的对应点即可．

　　解：

延长AD，且使AD＝DA′，因为c点关于D的中心对称点是B，A点关于中心D的对称点为A′.

　　连接A′B′，A′c′.则△A′B′D为所求作的三角形，如图所示．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　如图，已知四边形ABcD和点o，画四边形A′B′c′D′，使四边形A′B′c′D′和四边形ABcD关于点o成中心对称．

　　点拨精讲：

画法总结；性质归纳．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　．如图，等边△ABc内有一点o，试说明：

oA＋oB＞oc.

　　解：

如图，把△Aoc以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△Ao′B的位置，则

　　△Aoc≌△Ao′B.

　　∴Ao＝Ao′，oc＝o′B.

　　又∵∠oAo′＝60°，

　　∴△Ao′o为等边三角形．∴Ao＝oo′.

　　在△Boo′中，oo′＋oB＞Bo′，

　　即oA＋oB＞oc.

　　点拨精讲：

要证明oA＋oB＞oc，必然把oA，oB，oc转化在一个三角形内，应用两边之和大于第三边来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把oA，oB，oc转化在一个三角形内．

　　2．教材第66页练习．

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　．中心对称及对称中心的概念；

　　2．关于中心对称的两个图形的性质．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　23．2.2　中心对称图形

　　.掌握中心对称图形的定义．

　　2.准确判断某图形是否为中心对称图形．

　　重点：

中心对称图形的判断．

　　难点：

两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定．

　　一、自学指导．

　　自学：

自学课本P66～67的内容．

　　探究：

中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合．那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？

议一议．

　　解：

j.

　　点拨精讲：

这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　．我们已学过许多几何图形，下列几何图形中，哪些是中心对称图形？

对称中心是什么？

　　平行四边形　矩形　菱形　正方形

　　正三角形　线段　角　等腰梯形

　　解：

常见的中心对称图形：

线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等．

　　2．中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系．

　　解：

区别：

中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称．

　　联系：

如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　．英文大写字母中有哪些中心对称图形？

　　答：

．

　　2．说一说：

在生活中你还见过哪些中心对称图形？

　　学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结．

　　3．想一想：

你学过的几何图形具有怎样的对称性？

　　点拨精讲：

边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．

　　4．课本第67页小练习2.

　　点拨精讲：

怎样判断非常见几何图形是否为中心对称图形的妙法：

将书本转180°，即倒过来后，看图形是否与原来一样．

　　5．如果公园里的草坪是下面的形状，你能否只修一

　　条笔直的小路就将这块草坪分成面积相等的两部分？

　　点拨精讲：

由两个中心对称图形构成的图形，过两个对称中心的直线，把这个图形分成的两部分面积相等．

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　．中心对称图形的定义．

　　2．怎样准确判断某图形是否为中心对称图形．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　23．2.3　关于原点对称的点的坐标

　　掌握两个点关于原点对称时的坐标特征，能够运用特征解决相关问题．

　　重点：

关于原点对称的点的坐标的关系及初步应用．

　　难点：

关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．

　　一、自学指导．

　　自学：

自学课本P68的内容．

　　思考：

关于原点作中心对称时，它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？

纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？

坐标与坐标之间符号又有什么特点？

　　点拨精讲：

横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等；坐标符号相反，即P关于原点o的对称点为P′．

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　1．如图，在直角坐标系中，已知A，B，c，D，E，F，作出A，B，c，D，E，F点关于原点o的中心对称点，写出它们的坐标，并回答：

这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

　　解：

A，B，c，D，E，F点关于原点o对称点分别为A′，B′，c′，D′，E′，F′．

　　这些点的横纵坐标与已知点的横纵坐标互为相反数．

　　2．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABc关于原点对称的图形．

　　解：

△ABc的三个顶点A，B，c关于原点的对称点分别为A′，B′，c′，依次连接A′B′，B′c′，A′c′，就可得到与△ABc关于原点对称的△A′B′c′，如右图所示．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将直线AB绕点o顺时针旋转90°得到直线A1B1.

　　在图中画出直线A1B1.

　　求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式．

　　是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y＝kx＋b，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．

　　点拨精讲：

只需画出A，B两点绕点o顺时针旋转90°得到的点A1，B1，连接A1B1.

　　先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y＝kx代入求k.

　　要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加以说明．这一条直线是存在的，因为A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的坐标作A1，B1关于原点的对称点A2，B2，连接

　　A2B2的直线就是我们所求的直线．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　．已知△ABc，A，B，c，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABc关于原点对称的图形．

　　点拨精讲：

先在直角坐标系中画出A，B，c三点并连接组成△ABc，要作出△ABc关于原点o的对称三角形，只需作出△ABc中的A，B，c三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′c′.

　　2．教材P69的第1，2，3题．

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　本节课应掌握：

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P关于原点的对称点P′，及利用这些特点解决一些实际问题．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　23．3　课题学习　图案设计

　　．认识和欣赏平移、轴对称、旋转在现实生活中的应用．

　　2.利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案．

　　重点：

设计图案．

　　难点：

如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．

　　一、自学指导．

　　自学：

自学教材P72内容，思考下列问题．

　　我们学过哪些图形变换？

它们分别有何特征？

　　下列图形之间的变换分别属于什么变换？

　　探究：

　　观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？

　　观察三种图形变换的过程，回答问题：

　　①平移、旋转和轴对称变换的基本特征；

　　②归纳三种图形变换的共性．

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　．分析图案的形成过程要注意些什么？

　　分析图案的形成过程，应注意运用__平移、__轴对称__、__旋转__进行描述，只要合理就行．

　　2．图案设计的关键是什么？

　　选取简单的基本几何图形，然后通过不同的变换组合出美丽的图案．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　用平移、旋转或轴对称变换分析下图中各个图案，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？

　　点拨精讲：

将基本图形从组合图案中分离出来，并再现此基本图形的变换过程．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　．某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种植四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，你能帮忙设计吗？

　　点拨精讲：

将基本图形创造性地应用平移、轴对称、旋转等变换，设计出和谐、丰富、美观的组合图案．

　　2．下面花边中的图案，由圆弧、圆构成．仿照例图，请你为班级的板报设计一条花边，要求：

　　只要画出组成花边的一个图案；

　　以所给的图形为基础，用圆弧、圆或线段画出；

　　图案应有美感．

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．