北师大版九年级上册数学期中测试题附答案.docx
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北师大版九年级上册数学期中测试题附答案
北师大版九年级上册数学期中测试题附答案
（满分：
120分 考试时间：
120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列对方程2x2－7x－1＝0的变形，正确的是（ B ）
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
2．如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（ B ）
A．AB＝AD且AC⊥BD
B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD
D．AC和BD互相垂直平分
第2题图
第5题图
第6题图
3．若关于x的一元二次方程x（x＋1）＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ A ）
A．－1B．1
C．－2或2D．－3或1
4．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
5．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF＝3，AE＝5，则AD等于（ C ）
A．5B．6C．7D．8
6．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且BE＝
AB，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H，以下四个结论：
①FG＝
EH；②△DFE是直角三角形；③FG＝
DE；④DE＝EB＋BC.其中正确结论的个数是（ D ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式是__3x2＋5x－3＝0__，其中二次项系数为__3__，一次项系数为__5__．
8．今年某市中考增加了体育测试科目，考生考试顺序和考试项目（考生从考试的各个项目中抽取一项作为考试项目）由抽签的方式决定，具体操作流程：
①每位考生从写有A，B，C的三个小球中随机抽取一个小球确定考试组别；②再从写有“引体向上”“立定跳远”“800米”的抽签纸中抽取一个考试项目进行测试，则考生小明抽到A组“引体向上”的概率是
．
9．某学校准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm，则列方程并整理成一般形式为__x2＋25x－150＝0__．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为17.
第10题图
第11题图
第12题图
11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为（2＋
，
）．
12．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q.若PQ＝AE，则AP＝2或1cm.
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解下列方程：
（1）（x－1）（x＋2）＝2（x＋2）；
解：
x1＝－2，x2＝3.
（2）x（2x－4）＝5－8x.
解：
x1＝－1＋
，
x2＝－1－
.
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：
四边形ABCD是矩形．
证明：
∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.
∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
15.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，完成于明嘉靖三年（1524年），王文素著，全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：
“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔各几何？
”
译文：
一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽是多少步？
请你解决这个问题．
解：
设矩形长为x步，宽为（x－12）步，依题意得x（x－12）＝864，即x2－12x－864＝0，解得x1＝36，x2＝－24（舍）．∴x－12＝24.
答：
该矩形长为36步，宽为24步．
16．如图是由相同的小正方形组成的网格，A，B两点都在小正方形的顶点上．现请你在图①，图②中各画一个以A，B，C，D为顶点的菱形．要求：
（1）顶点C，D在小正方形的顶点上；
（2）工具只有无刻度的直尺；（3）所画的两个菱形不全等．
解：
答案不唯一，可参考图①、图②.
17．（2018·曲靖）数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母a，b，c表示三条线段（如图），把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；
（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
解：
（1）
∴共有12种情况．
（2）∵A，B卡片不能构成三角形；C，D卡片可以构成三角形，
∴同时构成三角形的情况需抽到C，D，∴P＝
.
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交于点O.
（1）求证：
OA＝OC；
（2）过O点作OE⊥AC交AB于E点，连接CE，求证：
四边形OAEC是菱形．
证明：
（1）∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，∴∠BAC＝∠B′AC.
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠B′AC，∴OA＝OC；
（2）∵∠BAC＝∠B′AC，OE⊥AC，∴AC垂直平分OE.∵OA＝OC，∴OE垂直平分AC，∴AC与OE互相垂直平分，∴四边形OAEC是菱形．
19．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G.
求证：
（1）四边形CFEG是矩形；
（2）AE＝FG.
证明：
（1）∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠GCF＝∠CFE＝∠CGE＝90°，∴四边形EFCG为矩形；
（2）连接EC.∵四边形EFCG为矩形，∴FG＝CE.又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE＝EC，∴AE＝FG.
20．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：
打九折销售；
方案二：
不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，并说明理由．
解：
（1）设平均每次下调的百分率为x，依题意得5（1－x）2＝3.2，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8（舍去），即平均每次下调的百分率是20%；
（2）小华选择方案一购买更优惠，
方案一所需要费用为3.2×0.9×5000＝14400元，
方案二所需费用为3.2×5000－200×5＝15000元，
∵14400<15000，∴小华选择方案一购买更优惠．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．已知关于x的方程（m－1）x2－x－2＝0.
（1）若x＝－1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）当m为何实数时，方程有两个实数根？
（3）若x1，x2是方程的两个根，且x
x2＋x1x
＝－
，试求实数m的值．
解：
（1）∵x＝－1是方程的一个根，∴m－1＋1－2＝0，则m＝2.∴原方程为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1.∴m＝2，方程的另一根是x＝2；
（2）依题意得Δ＝1＋8（m－1）＝8m－7≥0，∴m≥
.又m－1≠0，∴m≠1.故当m≥
且m≠1时，方程有两个实数根；
（3）x
x2＋x1x
＝x1x2（x1＋x2）＝
·
＝－
，整理得（m－1）2＝16，∴m1＝5，m2＝－3.又m≥
，∴m＝5.
22．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：
四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：
四边形ABCD是正方形．
证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即DB⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC＝60°.
∵EO⊥AC，∴∠AEO＝30°.
∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，
∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.
∵AC⊥BD，∴AO＝OD.
又∵AO＝
AC，OD＝
BD，∴AC＝BD.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形．
六、（本大题共12分）
23．（2018·襄阳）如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.
（1）证明与推断：
①求证：
四边形CEGF是正方形；
②推断：
的值为________．
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α（0°<α<45°），如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝2
，则BC＝________．
解：
（1）①证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.
∵GE⊥BC，GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°.
∴EG＝EC.∴四边形CEGF是正方形．
②
（2）连接CG，由旋转的性质可知∠BCE＝∠ACG＝α.
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
＝
，
＝
，∴
＝
＝
，
∴△ACG∽△BCE.∴
＝
＝
，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝
BE.
（3）3
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