DVD在线租赁的研究第四组.docx
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DVD在线租赁的研究第四组
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
C题
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
20030002
所属学校（请填写完整的全名）：
青岛黄海学院
参赛队员（打印并签名）：
1.顾春丽
2.冷和胜
3.杨亚伟
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
张春梅
日期：
2013年9月10日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）
DVD在线租赁的研究
摘要
本文主要谈论了DVD在线租赁的问题。
对网站如何购买，分配DVD的问题进行讨论，以满意度达到最大为目标函数，会员所借的张数以及DVD的全部张数为约束条件，建立了最优规划模型从而得出最优的方案。
对于问题一：
建立了简单的线性规划模型。
首先根据会员租赁的次数，把会员分成一类会员和二类会员，并对会员的归还日期做出了合理的假设，所有的会员都必须在本月归还所租赁的DVD，由题目分析可以得出，光盘的流动数必须大于要求满足会员的人数，我们得出问题一的结论为：
第一个月至少满足50%喜欢该DVD的会员能够看到DVD所需的张数分别为6250,3125,1563,782,313；三个月至少满足95%喜欢该DVD的会员能够看到DVD所需的张数分别为3539，1980,990,495,198。
对于问题二：
我们认为题中提到的满意度只与会员对DVD的偏爱度有关，可用偏爱度来作目标函数，引入0-1变量建立整数规划模型。
会员能够租到第j种DVD就为1，不能租到的就为0，然后再利用lingo软件编程求解出前30位会员的分配方案，所求得的结果为表4。
对于问题三：
建立了双目标最优规划模型，运用Matlab软件和Lingo软件秋季恩。
结合问题一与问题二，本小题看似是双目标规划，但是却无法把这两个目标合成一个目标来求解，因为虽然假设了每个会员会在月末的时候把所租赁的光碟全部还上，但是每个会员还的日期都是不固定的，所以结果很难分析，观察问题一和问题二，我们可以知道问题一求得是DVD数量，问题二求得是满意度，所以问题三是序列决策问题。
关键字：
线性规划0-1规划双目标最优规划
1、问题重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
表1对1000个会员调查的部分结果
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
表2现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）
DVD编号
D001
D002
D003
D004
…
DVD现有数量
10
40
15
20
…
会员在线订单
C0001
6
0
0
0
…
C0002
0
0
0
0
…
C0003
0
0
0
3
…
C0004
0
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
注：
D001~D100表示100种DVD,C0001~C1000表示1000个会员,会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。
（注：
表2数据位于文件B2005Table2.xls中,可从
2、问题分析
2.1针对问题一的分析
考虑到会员租碟的实际情况，假设表1中所给的数据具有随机性，它能正确的反映出所有会员的选择，为达到满足租赁每种DVD的数量达到希望租赁人数的50%，算出每种DVD希望租赁的会员所占比例，设出每种DVD的数量，由60%的租赁两次，40%的租赁一次，列出方程式，算出每种DVD的数量。
在建立保证希望看到该DVD的会员中至少50%的基础上，计算在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD的数量。
2.2针对问题二的分析
给出了网站100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单。
分析数据发现即使每个会员都分配三张碟片，总数为3000，小于网站拥有的碟片总数3007。
显然我们只需要建立一个基于最大满意度的整数规划问题，从而求得分配的最优方案。
2.3针对问题三的分析
题中要求网站购买DVD数量并对其进行分配使其95%的会员能够得到他们想看的DVD，通过合理的分配满足大多数人的需求而获得满意度的最大值就和购买最少的DVD购买数量是本问题的解决所在，建立了双目标最优规划模型。
3、模型假设
（1）假设这1000人具有代表性，能够正确的反应会员的信息；
（2）假设所有的会员本月所租赁的DVD要在本月月末的时候归还；
（3）假设DVD在租赁过程中无损坏；
（4）问题二中对每种DVD，网站的分配量必须不超过网站所拥有的DVD量；
（5）问题二中每位会员每次都会得到3张DVD光碟；
（6）问卷调查的结果可靠,真实，具有广泛性；
（7）会员在一个月内不重复借同一种DVD；
4、符号说明
第
种DVD的张数
愿意观看的总人数
第j种DVD的数量
购买量
满意度
购买第j中光盘购买量
5、模型的建立与求解
5.1对问题一的求解
5.1.1对至少50%会员的求解
通过对1000名会员的问卷调查分析计算，由
计算出愿意观看人数的比例，然后对10万个会员的愿意观看总人数进行计算，
得出10万个会员选择结果，如表1：
表1对10万个会员分析的结果
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看人数的比例
0.2
0.1
0.05
0.025
0.01
愿意观看的总人数
20000
10000
5000
0.025
0.01
5.1.2对50%会员模型的建立
对于60%的会员租赁两次，40%的会员租赁一次，当两种会员同时租赁一种DVD光碟时可得公式（5.1）
（5.1）
将表1中愿意观看的总人数
代入公式（5.1）计算得到：
因为题目要求为“每种DVD至少准备多少张”，所以我们取上述结果的最小值，得表2：
表2满足50%会员所需DVD张数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
DVD的张数
6250
3125
1563
782
313
5.1.3对95%会员模型的建立
在模型一的基础上，为达到满足三个月内至少有95%的会员能够看到该DVD的要求列式（5.2）
（5.2）
将表1的数据代入公式（5.2）得到：
因为题目要求“每种DVD至少准备多少张”，所以我们取公式（5.2）结果的最小值，得表3：
表3满足95%的会员所需DVD张数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
DVD的张数
3539
1980
990
495
198
5.2对问题二的求解
对问题二，经过对会员满意度进行处理之后，由问题2）如何对这些DVD进行分配以及的“问题分析”部分对会员满意度的分析讨论，设计以所有会员总体满意度
为目标的，用
（网站给
会员分配第
种DVD）作为决策变量的0—1整数规划模型，得到总体满意度最大的分配方案。
5.2.1引入决策变量
为顾客的满意度
5.2.2模型的建立
根据题给条件，有两个约束条件需要满足
1.每一名会员得到三种DVD，有
；
2.而DVD的数目不能超过目前所有的数目，有
；
建立目标函数为：
取得最大值
使用lingo求解（见附录1）可得在满足会员获得最大的满意度时，前30位会员获得的DVD的编号如表4：
表4前30位会员获得的DVD的编号
会员编号
DVD编号
会员编号
DVD编号
1
8
41
98
16
10
84
97
2
6
44
62
17
47
51
64
3
32
50
80
18
41
60
78
4
7
18
41
19
66
84
86
5
11
66
68
20
45
61
89
6
19
53
66
21
45
50
53
7
26
66
81
22
38
55
57
8
31
35
71
23
29
81
95
9
53
78
100
24
37
41
76
10
41
55
85
25
9
69
81
11
59
63
66
26
22
68
95
12
2
31
41
27
50
58
78
13
21
78
96
28
8
34
82
14
23
52
89
29
26
30
55
15
13
52
85
30
37
62
98
5.3对问题三建立双目标（总购买量、总满意度）最优规划模型
题中要求网站购买DVD数量并对其进行分配使其95%的会员能够得到他们想看的DVD，由会员在线订单可知，当前需要处理的会员有1000名，又因规定每人每次获得3张DVD，所以网站的定购量就一定是小于3000张的，其中一部分人网站就会让其得不到任何碟片。
在这种前提下，通过合理的分配满足大多数人的需求而获得满意度的最大值就和购买最少的DVD购买数量是本问题的解决所在。
5.3.1确定目标函数：
要在上述前提下满意度最大，且使购买总量最小。
引入决策变量
和
，这里同模型二相似，
用来表示第
个人是否被分配第
种DVD。
当第
个会员被分配第
种时，
=1，否则
=0。
表示第
种DVD的购买总量。
利用模型二中给出的满意度
，可以定义目标函数为：
（
表示购买总量，
表示满意度）
根据题给条件，有两个约束条件需要满足：
（1）由于每个会员在第一次得到的碟片数有0和3两种情况，得到：
，
（2）第
种DVD的发放量应小于等于其购买量
，且
为正整数。
得到：
，
（3）所有会员中本月只有95%的会员得到他想看的DVD，得到：
，
（4）网站给第
个会员分配第
种DVD的情况
，只有0和1的选择。
得到：
综上所述,可以得到双目标规划模型如下：
考虑到上述求解的复杂性，引入交易系数
，当
取1时表示交易成功，即会员得到所要碟片，当
取0时表示交易失败，即会员没有得到所要碟片。
可将上述模型的约束条件转化为：
通过对满意度和最小购买量双目标规划模型运用lingo和Matlab软件计算结果满意度为1833.33。
根据计算结果，对DVD作如下的分配如表5：
DVD的分配表格
D001
21
D021
34
D041
53
D061
27
D081
29
D002
36
D022
29
D042
35
D062
31
D082
18
D003
27
D023
35
D043
26
D063
32
D083
22
D004
38
D024
22
D044
35
D064
34
D084
19
D005
21
D025
29
D045
34
D065
32
D085
33
D006
28
D026
31
D046
25
D066
31
D086
21
D007
30
D027
26
D047
32
D067
30
D087
34
D008
33
D028
19
D048
25
D068
35
D088
24
D009
35
D029
25
D049
32
D069
33
D089
24
D010
25
D030
41
D050
34
D070
30
D090
27
D011
29
D031
29
D051
40
D071
36
D091
39
D012
31
D032
35
D052
26
D072
34
D092
28
D013
28
D033
31
D053
33
D073
25
D093
24
D014
31
D034
31
D054
26
D074
31
D094
23
D015
27
D035
39
D055
31
D075
28
D095
40
D016
38
D036
35
D056
32
D076
24
D096
24
D017
28
D037
21
D057
31
D077
20
D097
36
D018
26
D038
30
D058
31
D078
30
D098
32
D019
31
D039
29
D059
28
D079
31
D099
18
D020
38
D040
28
D060
34
D080
28
D100
35
6、模型的评价与推广
6.1模型的评价
6.1.1模型的优点
（1对满意度的设计比较可行、合理；
（2所建立的模型能够很好地解决租赁次数问题，使结果比较理想；
（3）对多目标规划模型，用确定优先级与综合评估这两种方法将它转化为单目标规划模型求解，比较方便；
6.1.2模型的缺点
（1）我们从极端的角度进行了考虑，这样虽然能够更好的满足会员需求，但同时也增加了DVD的购买量，这对于经营者来说是不利的。
（2）算的时候不足1的都进1，所以会存在比较大的误差。
6.2模型的推广
对模型约束条件算法的改进，选择更优秀的方法，尽量实现多重最优分配方案以对不同方案尽行对比选择；进一步简化模型，减少模型的求解规模；对模型约束条件进行进一步的简化，以便容易编程实现求解；对问题中的满意度（关于喜好程度的函数）进行改进使得更逼近于实际。
7、参考文献
（1）熊伟，运筹学，北京：
机械工业出版社，2005年。
（2）陈叔平谭永基，一类投资问题的建模与分析，数学的实践与认识，VOL.29NO.1:
45-49页，1999。
（3）韩中庚招聘公务员问题的优化模型与评述，工程数学学报，VOL.21NO.7:
147-154页，2004。
（4）韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：
高等教育出版社，2005年。
8、附录
1
问题二的附录
model:
sets:
zhonglei/1..100/:
dvd;
huiyuan/1..30/:
people;
link（huiyuan,zhonglei）:
c,b;
endsets
min=@sum（link:
c*b）;
@for（zhonglei（J）:
@sum（huiyuan（I）:
b（I,J））@for（huiyuan（I）:
@sum（zhonglei（J）:
b（I,J））=3）;
@for（link:
@bin（b））;
data:
dvd=10401520201230333525293128612282826313834293522298111925412935140395106302921106153634113225264402633266121138443627314244128110353330240151128242088928318223702134438273928241550243655240;
people=123456789101112131415161718192021222324252627282930;
c=@file（'C:
\DocumentsandSettings\Administrator\桌面\123.txt'）;
enddata
end
部分程序结果：
DATA1（1,2）0.0000000.000000
DATA1（1,3）0.0000000.000000
DATA1（1,4）0.0000000.000000
DATA1（1,5）0.0000000.000000
DATA1（1,6）0.0000000.000000
DATA1（1,7）0.000000-8.000000
DATA1（1,8）1.000000-1.000000
DATA1（1,9）0.0000000.000000
DATA1（1,10）0.0000000.000000
DATA1（1,11）0.000000-4.000000
DATA1（1,12）0.0000000.000000
DATA1（1,13）0.0000000.000000
DATA1（1,14）0.0000000.000000
DATA1（1,15）0.0000000.000000
DATA1（1,16）0.0000000.000000
DATA1（1,17）0.0000000.000000
DATA1（1,18）0.0000000.000000
DATA1（1,19）0.0000000.000000
DATA1（1,20）0.0000000.000000
DATA1（1,21）0.0000000.000000
DATA1（1,22）0.0000000.000000
DATA1（1,23）0.0000000.000000
DATA1（1,24）0.0000000.000000
DATA1（1,25）0.0000000.000000
DATA1（1,26）0.0000000.000000
DATA1（1,27）0.0000000.000000
DATA1（1,28）0.0000000.000000
DATA1（1,29）0.0000000.000000
DATA1（1,30）0.0000000.000000
DATA1（1,31）0.0000000.000000
DATA1（1,32）0.0000000.000000
DATA1（1,33）0.0000000.000000
DATA1（1,34）0.0000000.000000
DATA1（1,35）0.0000000.000000
DATA1（1,36）0.0000000.000000
DATA1（1,37）0.0000000.000000
DATA1（1,38）0.0000000.000000
DATA1（1,39）0.0000000.000000
DATA1（1,40）0.0000000.000000
DATA1（1,41）1.000000-7.000000
DATA1（1,42）0.0000000.000000
DATA1（1,43）0.0000000.000000
DATA1（1,44）0.0000000.000000
DATA1（1,45）0.0000000.000000
DATA1（1,46）0.0000000.000000
DATA1（1,47）0.0000000.000000
DATA1（1,48）0.0000000.000000
DATA1（1,49）0.000000-5.000000
DATA1（1,50）0.000
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