人教版初三上数学第66讲圆教师版.docx

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人教版初三上数学第66讲圆教师版

圆

1.掌握与圆有关的概念、圆周角定理；

2.掌握圆的有关概念、定理的应用.

1．圆的定义：

（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转________，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．记作⊙O，读作圆O.点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

确定一个圆需要两个条件：

第一是圆心，第二是半径。

（2）圆是到_______的距离等于_________的点的集合．

2.弦和直径：

（1）弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦.

（2）直径：

经过圆心的弦叫做直径。

直径等于半径的两倍。

3.弧：

（1）弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作,读作弧AB.

（2）半圆、优弧、劣弧：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如.小于半圆的弧叫做劣弧，如。

（3）等弧：

在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。

（图一）（图二）

4.同心圆与等圆

（1）同心圆：

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（2）等圆：

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。

如图二中的⊙O1与⊙O2的半径都是r,它们是等圆。

同圆或者等圆的半径相同。

（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

5．与圆有关的角

（1）圆心角：

顶点在__________的角叫圆心角．

圆心角的性质：

圆心角的度数等于它所对的_____________．

（2）圆周角：

顶点在__________，两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

②同弧或等弧所对的圆周角相等；_________________，相等的圆周角所对的弧相等．

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为_______．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是____________．

⑤圆内接四边形的对角_______；外角等于它的内对角．

（3）弦切角：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．

弦切角的性质：

弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．

弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．

参考答案：

1.

（1）一周

（2）定点,定长

5.

（1）圆心,弧的度数

（2）圆上,在同圆或等圆中直角直角三角形互补

1.圆的基本概念

【例1】下列说法中，不正确的是（）

A.过圆心的弦是圆的直径B.等弧的长度一定相等

C.周长相等的两个圆是等圆D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧

【解析】A.过圆心的弦是圆的直径，说法正确；

B.等弧的长度一定相等，说法正确；

C.周长相等的两个圆是等圆，说法正确；

D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧一定是等弧；

【答案】D

练习1.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）

A．同弧所对的圆周角相等

B．直径是圆中最大的弦

C．圆上各点到圆心的距离相等

D．圆是中心对称图形

【答案】C

练习2.下列说法：

①直径是弦；②弦是直径；③过圆内一点有无数多条弦，这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

2.圆周角定理

【例2】（2014泉州中考）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠O=40°，则∠C=（）

A.20°B.40°C.50°D.80°

【解析】根据圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠C=∠O=20°。

解：

∵圆心角∠O和圆周角∠C所对的是同一段弧；

∴∠C=∠O=20°．

【答案】A

练习3.如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）

A.65°B.25°C.15°D.35°

【答案】B

练习4.（2014杭州金华中考）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，则∠AOB的度数为（）

A.34°B.56°C.60°D.68°

【答案】D

3.直径所对的圆周角

【例3】（2014广东肇庆一模）如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC=（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【解析】根据直径所对的圆周角是直角，再利用直角三角形两锐角互余求解即可，

解：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠C=90°，

∴∠BAC=90°﹣30°=60°．

【答案】故选B．

练习5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

练习6.如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

4.圆周角定理的简单应用

【例4】（2014山东聊城一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠C=30°，AB=2，则⊙O的半径为（）

A.B.2C.D.4

【解析】先利用圆周角定理求出∠AOB，再根据等边三角形的判定得到△AOB是等边三角形，从而得解。

【答案】解：

连接OA，OB，则∠AOB=2∠C=60°，

∵OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，有OA=AB=2．

故选B．

练习7．如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于（）

A.30°B.60°C.90°D.45°

【答案】B

练习8．（2014湖北湛江一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2=度．

【答案】90

5.圆周角定理综合运用

【例5】（2014鼎湖区一模）如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

【解析】根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．

【答案】解：

∵AB是直径

∴∠ACB=∠ADB=90°

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm

∴BC2=AB2﹣AC2=102﹣62=64

∴BC==8（cm）

又CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴

∴AD=BD

又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2

∴AD2+BD2=102

∴AD=BD==5（cm）．

练习9.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．

（1）求证：

∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长

【答案】

（1）证明：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

又∵DC=CB，

∴AD=AB，

∴∠B=∠D；

（2）解：

设BC=x，则AC=x-2，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∴（x-2）2+x2=42，

解得：

x1=1+，x2=1-（舍去）

∵∠B=∠E，∠B=∠D，

∴∠D=∠E，

∴CD=CE，

∵CD=CB，

∴CE=CB=1+

练习10.如图所示，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．

求证：

∠ACB=2∠BAC．

【答案】证明：

∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；

又∵∠AOB=2∠BOC，

∴∠ACB=2∠BAC．

【例6】（2014广东珠海一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.

（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？

并证明；

（2）若cos∠PCB=，求PA的长.

【解析】

（1）要求△PAD是以AD为底边的等腰三角形，所以PA=PD，再利用P是中点这个条件，进而可以找到全等三角形，此问利用倒推即可得出结论；

（2）给了余弦值，可以倒角把角度放到直角三角形中，所以过点P作PE⊥AD于E即可。

【答案】解：

（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形

∵P是优弧BAC的中点∴弧PB＝弧PC

∴PB＝PC

∵BD＝AC＝4∠PBD=∠PCA

∴△PBD≌△PCA

∴PA=PD即△PAD是以AD为底边的等腰三角形

（2）由

（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2

过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1

∵∠PCB=∠PAD

∴cos∠PAD=cos∠PCB=

∴PA=

练习11.已知：

如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．

（1）求∠EBC的度数；

（2）求证：

BD=CD．

【答案】

（1）解：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°．

又∵∠BAC=45°，

∴∠ABE=45°．

又∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=67.5°．

∴∠EBC=22.5°．

（2）证明：

连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∴AD⊥BC．

又∵AB=AC，

∴BD=CD．

练习12.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．

（1）填空：

∠APC=_________度，∠BPC=_________度；

（2）求证：

△ACM≌△BCP；

（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．

【答案】

（1）解：

∠APC=60°，∠BPC=60°；

（2）证明：

∵CM∥BP，

∴∠BPM+∠M=180°，

∠PCM=∠BPC，

∵∠BPC=∠BAC=60°，

∴∠PCM=∠BPC=60°，

∴∠M=180°﹣∠BPM=180°﹣（∠APC+∠BPC）=180°﹣120°=60°，

∴∠M=∠BPC=60°，

又∵A、P、B、C四点共圆，

∴∠PAC+∠PBC=180°，

∵∠MAC+∠PAC=180°

∴∠MAC=∠PBC

∵AC=BC，

∴△ACM≌△BCP；

（3）解：

作PH⊥CM于H，

∵△ACM≌△BCP，

∴CM=CPAM=BP，

又∠M=60°，

∴△PCM为等边三角形，

∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，

在Rt△PMH中，∠MPH=30°，

∴PH=，

∴S梯形PBCM=（PB+CM）×PH==．

1.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=400，则∠BOC的度数为（）【答案】C

A.200B.400C.800D.700

2．以下命题中，正确的命题的个数是（）【答案】A

（1）同圆中等弧对等弦．

（2）圆心角相等，它们所对的弧长也相等．

（3）三点确定一个圆．（4）平分弦的直径必垂直于这条弦．

A.1个B.2个C.3个D.4个

3．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b（a>b），则此圆的半径为（）【答案】C

A.B.C.或D.a+b或a-b

4．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则