高中数学平面总结练习含答案解析A.docx

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高中数学平面总结练习含答案解析A

2.1.1　平面

一、平面的基本知识

1.平面的概念

几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.但是,几何里的平面是①　　　　　　　　　. 

2.平面的画法

（1）水平放置的平面通常画成一个②　　　　,用③　　　　表示平面,如下图,它的锐角通常画成④　　　　,且横边长等于其邻边长的⑤　　　　. 

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把被遮挡部分用⑥　　　　画出来. 

3.平面的表示

（1）用希腊字母α,β,γ等表示,此时常把这些希腊字母写在代表平面的平行四边形的

⑦　　　　上,如平面α,平面β. 

（2）用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者⑧　　　的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如上图中的平面α也可表示成平面ABCD、平面AC或者平面BD. 

二、平面的基本性质

　　公理

类别　　

公理1

公理2

公理3

自然语言

如果一条直线上的

⑨　　　在一个平面内,那么这条直线在此平面内 

过

　　　　的三点,有且只有一个平面 

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条

　　　　的公共直线 

图形语言

符号语言

⑩　　　　⇒l⊂α 

A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使

　　　　⇒α∩β=l,且P∈l 

判断题

1.我们常用平行四边形表示平面,所以平行四边形就是一个平面.（　　）

2.10个平面重叠起来要比22个平面重叠起来厚一些.（　　）

3.一条直线在平面α内,可用下图表示.（　　）

4.直线a与直线b相交于点A,可用符号表示为a∩b=A.（　　）

5.平面ABCD的面积为100m2.（　　）

6.在空间图形中,因解题需要添加的辅助线都是虚线.（　　）

7.过三点A,B,C有且只有一个平面.（　　）

8.经过两条平行直线有且只有一个平面.（　　）

一、证明点、线共面问题

1.（2015江西临川一中月考,★☆☆）如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,且BC=

AD,BE∥AF,且BE=

AF,G,H分别为FA,FD的中点.

（1）证明:

四边形BCHG是平行四边形;

（2）C,D,F,E四点是否共面?

为什么?

思路点拨　

（1）

（2）

二、证明点共线问题

2.（2016广西南宁二中月考,★☆☆）如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:

B,E,D三点共线.

思路点拨　先由AB∥CD证明AB,CD确定一个平面β,然后证明B,D,E在α与β的交线上.

3.（2015甘肃天水月考,★☆☆）在四面体ABCD中,作截面PQR,如图,若PQ,BC延长后交于M,PR,BD延长后交于N,RQ,DC延长后交于K,求证:

M,N,K三点共线.

思路点拨

三、证明线共点问题

4.（2015山东临沂月考,★★☆）在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H四点,如果EF与GH交于点M,则（　　）

A.M一定在直线AC上

B.M一定在直线BD上

C.M可能在AC上,也可能在BD上

D.M既不在AC上,也不在BD上

思路点拨　

5.（2015江苏淮安月考,★☆☆）已知平面α,平面β,平面γ两两相交于直线l1,l2,l3,且l1,l2,l3互不平行,如图所示.求证:

l1,l2,l3交于一点.

思路点拨　证明l1∩l2=P

证明P∈α,P∈γ

P∈l3

结论

题组一　点、直线、平面之间关系的三种语言表示

1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是（　　）

A.A∈l,l∉αB.A∈l,l⊄α

C.A⊂l,l⊄αD.A⊂l,l∉α

2.如图所示,用符号语言可表示为（　　）

A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A

B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A

C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n

D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n

3.下列图形均表示两个相交平面,其中画法正确的是（　　）

题组二　公理1、公理2的应用

4.两两平行的三条直线最多可以确定　　　　个平面. 

5.空间四点中没有任何三点共线,它们最多可以确定　　　　个平面. 

题组三　公理3的应用

6.两个平面若有三个公共点,则这两个平面（　　）

A.相交B.重合

C.相交或重合D.以上都不对

7.如图所示,α∩β=l,A∈α,B∈α,C∈β,C∉l,AB∩l=R,设A、B、C三点确定的平面为γ,则β∩γ是（　　）

A.直线ACB.直线BC

C.直线CRD.以上皆错

8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点,求证:

（1）E、C、D1、F四点共面;

（2）CE、D1F、DA三线共点.

9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于Q,求证:

B,Q,D1三点共线.

（时间:

30分钟;分值:

45分）

一、选择题（每小题5分,共25分）

1.（2015山东潍坊高一期末,★☆☆）下列各图形中,P,Q,R,S分别是棱的中点,这四个点不共面的一个图是（　　）

2.（2016北京朝阳月考,★★☆）已知几个命题:

①若点P不在平面α内,A、B、C三点都在平面α内,则P、A、B、C四点不在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是（　　）

A.0B.1

C.2D.3

3.（2016重庆巴蜀中学月考,★★☆）经过空间任意三点所作的平面（　　）

A.只有一个B.有两个

C.有无数多个D.只有一个或有无数多个

4.（2015北京海淀期中,★★☆）下列说法正确的是（　　）

A.三点确定一个平面

B.四边形一定是平面图形

C.梯形一定是平面图形

D.不重合的平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点

5.（2015新疆乌鲁木齐期末,★★☆）已知平面α分别与平面β、γ相交,则这三个平面可能的交线有（　　）

A.1条或2条

B.2条或3条

C.1条或3条

D.1条或2条或3条

二、填空题（每小题5分,共10分）

6.（2015河北保定三中期中,★☆☆）空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是　　　　. 

7.（2015河北故城高级中学月考,★☆☆）正方体的8个顶点一共可以确定　　　　个平面. 

三、解答题（共10分）

8.（2015山东青岛二中月考,★★☆）如图,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?

证明你的结论.

知识清单

①无限延展的　②平行四边形　③平行四边形　④45°　⑤2倍　⑥虚线　⑦一个角

⑧相对　⑨两点　⑩A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α　

不在一条直线上　

A∈α,B∈α,C∈α

过该点　

P∈α,且P∈β

1.×　2.×　3.×　4.√　5.×　6.×　7.×　8.√

链接高考

1.解析　

（1）证明:

∵G,H分别为FA,FD的中点,

∴GH∥AD,且GH=

AD,

又BC∥AD,且BC=

AD,

∴GH∥BC,且GH=BC,

∴四边形BCHG为平行四边形.

（2）共面.∵BE∥AF,且BE=

AF,G为FA的中点,

∴BE∥FG,且BE=FG,

∴四边形BEFG为平行四边形,

∴EF∥BG.

由

（1）知BG∥CH,∴EF∥CH,

∴EF与CH共面.

又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.

2.证明　∵AB∥CD,∴AB,CD确定一个平面,设为平面β,

∴AC在平面β内,∴点E在平面β内,且点B,D在平面β内.

而AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,即点B,D,E在平面α内,

∴B,D,E为平面α与平面β的公共点,

根据公理3可得,B,D,E三点共线.

3.证明　∵PQ∩BC=M,∴M∈直线PQ,M∈直线BC,

∴M∈平面PQR,M∈平面BCD.

∵PR∩BD=N,∴N∈直线PR,N∈直线BD,

∴N∈平面PQR,N∈平面BCD.同理K∈平面PQR,K∈平面BCD.

∴M,N,K均为平面PQR与平面BCD的公共点,即三点均在两平面的公共直线上,

∴M,N,K三点共线.

4.A　如图,HG∩EF=M,HG⊂平面ACD,EF⊂平面ACB,

∴M∈平面ACD,M∈平面ACB.

又平面ACD∩平面ACB=AC,∴M∈AC.

5.证明　根据题意,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3.

∵l1⊂β,l2⊂β,且l1,l2不平行,

∴l1与l2相交.

设l1∩l2=P,则P∈l1,P∈l2,

∴P∈α,P∈γ.

∵α∩γ=l3,∴P∈l3,

∴l1,l2,l3交于一点.

基础过关

1.B　点与直线、点与平面间的关系是元素与集合间的关系,直线与平面间的关系是集合与集合间的关系,故选B.

2.A　本题主要考查图形语言与符号语言之间的相互转化,注意符号的规范应用.

3.D　A中图形没有画出两平面的交线,故不正确;B,C中图形的实、虚线没有按照画法原则去画,也不正确.故选D.

4.答案　3

解析　当这三条直线为三棱柱的三条侧棱所在直线时,确定平面的个数最多.

5.答案　4

解析　可以想象三棱锥的4个顶点,它们最多可以确定4个平面.

6.C　若这三个点在同一直线上,则两平面可能相交;若这三个点不在同一直线上,则这两个平面重合.

7.C　∵C∈β,C∈γ,∴C∈β∩γ.又R∈AB,AB⊂γ,∴R∈γ.又R∈β,∴R∈β∩γ.∴交线为直线CR.

8.证明　

（1）连接EF、A1B、D1C,如图,∵E,F分别为AB,AA1的中点,

∴EF∥A1B且EF=

A1B.

∵A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC,

∴四边形A1D1CB是平行四边形,

∴A1B∥CD1,从而EF∥CD1.

∴EF与CD1可确定一个平面,

∴E、C、D1、F四点共面.

（2）由

（1）得EF∥CD1且EF=

CD1,

∴直线D1F和CE不平行,

分别延长D1F与CE,则D1F与CE必相交,

设D1F∩CE=P,

∵D1F⊂平面AA1D1D,P∈D1F,

∴P∈平面AA1D1D.

又CE⊂平面ABCD,P∈EC,∴P∈平面ABCD,即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点,而平面ABCD∩平面AA1D1D=AD,

∴P∈AD.

∴CE、D1F、DA三线共点.

9.证明　连接BD1,A1B,CD1.

显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1.

∴BD1⊂平面A1BCD1.

同理,BD1⊂平面ABC1D1.

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.

∵A1C∩平面ABC1D1=Q,

∴Q∈平面ABC1D1.

又∵A1C⊂平面A1BCD1,

∴Q∈平面A1BCD1.

∴Q∈BD1,∴B,Q,D1三点共线.

三年模拟

一、选择题

1.D　A中,易证PS∥QR;B中,易证PQ∥SR;C中,可证PR∥SQ,故选D.

2.A　在①中:

直线与直线外一点确定一个平面,若在平面α内,A、B、C三点共线,则P、A、B、C四点在同一平面内,故①不正确;在②中:

共点的三条直线可能不共面,如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面,故②不正确;在③中:

将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形,两组对边仍然相等,但四个点不共面,所以不是平行四边形,故③不正确.故选A.

3.D　当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个.故过空间任意三点作平面,只有一个或有无数多个.故选D.

4.C　不共线的三点确定一个平面,故A错;空间四边形不是平面图形,故B错;若平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点,则平面α和平面β重合,故D错.

5.D　平面α、β、γ可相交于一条直线;当平面β、γ互相平行时,有两条交线;平面α、β、γ可以两两相交于三条直线,如三棱柱的三个侧面.

二、填空题

6.答案　1,2或3

解析　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面（平面ABB1A1）.

②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,直线AB,AA1与A1D1可以确定两个平面（平面ABB1A1和平面ADD1A1）.

③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个平面（平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1）.

7.答案　20

解析　①正方体有6个面;②每两条平行的棱（不在正方体的同一面上）所在的直线确定一个平面,共6个平面;③共顶点的三条棱的另外三个顶点确定一个平面,共8个平面.∴由正方体的8个顶点共可确定6+6+8=20个平面.

三、解答题

8.解析　平面ABC与平面β的交线与l相交.

证明:

∵AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,

∴AB与l一定相交.

设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l,

又∵AB⊂平面ABC,l⊂β,

∴P∈平面ABC,P∈β,

又点C也是平面ABC与β的一个公共点,

且P,C是不同的两点,

∴直线PC就是平面ABC与β的交线,

即平面ABC∩平面β=PC,∵PC∩l=P,

∴平面ABC与平面β的交线与l相交.