北京市中考专题复习资料圆的有关计算.docx
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北京市中考专题复习资料圆的有关计算
圆的有关计算
课标解读
考试内容
考试要求
考查频度
A
B
C
点和圆的位置关系
了解点和圆的位置关系
尺规作图（利用基本作图完成）：
过不在同一直线上的三点作圆；能利用点与圆的位置关系解决有关简单问题
★
直线和圆的位置关系
了解直线和圆的位置关系；会判断直线和圆的位置关系；理解切线与过切点的半径的关系；会用三角尺过圆上一点画圆的切线
掌握切线的概念；能利用切线的判定与性质解决有关简单问题；能利用直线和圆的位置关系解决有关简单问题；能利用切线长定理解决有关简单问题
运用切线的有关内容解决有关问题
★★★★★
知识要点
1.点和圆的位置关系
若圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆外⇔；点在圆上⇔；点在圆内⇔.
2.直线和圆的位置关系
如果圆的半径是r，圆心到直线l的距离是d，那么直线l和⊙O相交⇔；直线l和⊙O相切⇔；直线l和⊙O相离⇔.
3.圆的切线的性质与判定
（1）切线的定义：
直线和圆只有公共点时，这条直线叫做圆的切线.
（2）切线的性质：
圆的切线于过切点的半径.
（3）判定：
①和圆有公共点的直线是圆的切线；
②圆心到直线的距离等于圆的，那么这条直线是圆的切线（作垂直证半径）；
③经过半径外端并且于这条半径的直线是圆的切线（作半径证垂直）.
（4）切线长:
①切线的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；②切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长，这点和圆心的连线两条切线的夹角.
4.确定圆的条件：
的三个点确定一个圆.
5.尺规作图（利用基本作图完成）：
如图1-12-20，过不在同一直线上的三点作圆.
已知：
不在同一条直线上的三个点A，B，C.
求作：
圆O，使它经过点A，B，C.
图1-12-20
典例诠释
考点一确定圆的条件
例1如图1-12-21，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）
图1-12-21
A.点PB.点QC.点RD.点M
【答案】B
【名师点评】此题考查经过不共线的三个点作一个圆的方法，即作任意两条线段的垂直平分线，交点即为此圆的圆心.
考点二点、直线和圆的位置关系
例2在平面直角坐标系xOy中，以点（－3，4）为圆心，4为半径的圆（）
A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交
C.与x轴相切，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离
【答案】C
【名师点评】此题要能画出图形，结合图形来判断直线和圆的位置关系，画图是解题关键.
考点三圆的切线的性质与判定
例3（2016·海淀一模）如图1-12-22，AB，AD是⊙O的弦，AO平分∠BAD.过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C，连接CD，BO.延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE.
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）若AE=DE=3，求AF的长.
图1-12-22
（1）【证明】如图1-12-23，连接OD.
图1-12-23
∵BC为⊙O的切线，
∴∠CBO=90°.
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2.
∵OA=OB=OD，∴∠1=∠4=∠2=∠5，
∴∠BOC=∠DOC,∴△BOC≌△DOC，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴CD为⊙O的切线.
（2）【解】∵AE=DE，∴错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
∴∠3=∠4.
∵∠1=∠2=∠4，∴∠1=∠2=∠3.
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE=90°,∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
∴∠AFE=90°.
在Rt△AFE中，∵AE=3，∠3=30°，
∴AF=错误！
未找到引用源。
.
【名师点评】
（1）要证明CD是⊙O的切线，连接半径OD，证明∠ODC=90°，结合角平分线和等腰三角形的知识，证明△BOC≌△DOC即可.
（2）利用“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可以得到∠DAE=∠ABE=30°.又由BE为⊙O直径，可知∠BAE＝90°，即而∠BAF=60°，故∠AFE=90°，在△AFE中，AF可解.
考点四切线长定理的应用
例4如图1-12-24,PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠AOB所对劣弧的长度为（）
图1-12-24
A.6πB.5πC.3πD.2π
【答案】D
【名师点评】此题考查切线的性质和四边形内角和定理，先求出∠AOB的度数，再利用弧长公式计算弧AB的长.
基础精练
1.（2016·昌平期末）已知⊙O的半径长为5，若点P在⊙O内，那么下列结论正确的是（）
A.OP＞5B.OP=5C.0＜OP＜5D.0≤OP＜5
【答案】D
2.（2016·通州一模）如图1-12-25，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（－2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）
图1-12-25
A.（0，0）B.（－1，1）C.（－1，0）D.（－1，－1）
【答案】B
3.（2016·西城期末）如图1-12-26，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）
图1-12-26
A.12B.12错误！
未找到引用源。
C.6错误！
未找到引用源。
D.6错误！
未找到引用源。
【答案】C
4.（2016·东城期末）如图1-12-27，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD=错误！
未找到引用源。
则⊙O半径的长为.
图1-12-27
【答案】1
5.（2016·东城期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：
如图1-12-28，过圆外一点作圆的切线.
已知：
⊙O和点P.
求作：
过点P的⊙O的切线.
图1-12-28
小涵的主要作法如下：
如图1-12-29，
（1）连接OP，作线段OP的中点A；
（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；
（3）作直线PB和PC，
所以PB和PC就是所求的切线.
图1-12-29
老师说：
“小涵的作法正确.”
请回答：
小涵的作图依据是.
【答案】直径所对的圆周角为直角；经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线
6.（2016·朝阳一模）如图1-12-30，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB的延长线于点P，DC⊥AB于点C.
（1）求证：
DB平分∠PDC；
（2）若DC=6，tan∠P=错误！
未找到引用源。
，求BC的长.
图1-12-30
（1）【证明】如图1-12-31，连接OD.
图1-12-31
∵DP是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，∴∠ODP=90°，
∴∠ODB+∠BDP=90°.
又∵DC⊥OB，
∴∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠OBD=90°.
∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD,
∴∠OBD+∠BDP=90°,
∴∠BDP=∠BDC,∴DB平分∠PDC.
（2）【解】如图1-12-32，过点B作BE⊥DP于点E.
图1-12-32
∵∠BDP=∠BDC，BC⊥DC，
∴BC=BE.
∵DC=6，tan∠P=错误！
未找到引用源。
，
∴DP=10，PC=8.
设BC=x，则BE=x，BP=8－x.
∵△PEB∽△PCD，∴错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
∴x=3,∴BC=3.
7.（2016·东城一模）如图1-12-33，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB.
（1）求证：
PB是⊙O的切线.
（2）若PB=3，DB=4，求DE的长.
图1-12-33
（1）【证明】∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠PBO=∠E=90°，
∴PB是⊙O的切线.
（2）【解】∵PB=3，DB=4，
∴PD=5.
设⊙O的半径的长是r，
如图1-12-34，连接OC.
图1-12-34
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD.
∴错误！
未找到引用源。
.
∴错误！
未找到引用源。
.∴r=错误！
未找到引用源。
.
可求出PO=错误！
未找到引用源。
.
易证△DEO∽△PBO,∴错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
.
解得DE=错误！
未找到引用源。
.
8.（2016·石景山一模）如图1-12-35，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F.
（1）求证：
EF⊥AB.
（2）若∠C=30°，EF=错误！
未找到引用源。
，求EB的长.
图1-12-35
（1）【证明】如图1-12-36,连接OD，AD，
图1-12-36
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°.
又∵AB=AC，
∴CD=DB.又CO=AO，∴OD∥AB.
∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥DF,∴EF⊥AB.
（2）【解】∵∠C=30°，
∴∠AOD=60°.
在Rt△ODF中，∠ODF=90°，∴∠F=30°.
∴OA=OD=错误！
未找到引用源。
OF.
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，∠F=30°，
∵EF=错误！
未找到引用源。
，∴AE=错误！
未找到引用源。
.
∵OD∥AB，OA=OC=AF，
∴OD=2AE=2错误！
未找到引用源。
，AB=2OD=4错误！
未找到引用源。
.
∴EB=AB－AE=3错误！
未找到引用源。
.
9.（2016·丰台一模）如图1-12-37，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
图1-12-37
（1）求证：
∠CBF=错误！
未找到引用源。
∠CAB；
（2）连接BD，AE交于点H，若AB=5，tan∠CBF=错误！
未找到引用源。
，求BH的长.
（1）【证明】连接AE，如图1-12-38.
图1-12-38
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°.
∵AB=AC，
∴∠EAB=错误！
未找到引用源。
∠CAB.
∵BF是⊙O的切线，
∴∠ABE+∠CBF=90°.
∵∠ABE+∠EAB=90°.
∴∠CBF=∠EAB,∴∠CBF=错误！
未找到引用源。
∠CAB.
（2）【解】如图1-12-39.
图1-12-39
∵tan∠EAB=tan∠CBF=错误！
未找到引用源。
，
又∵AB=5，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得BE=错误！
未找到引用源。
.
∵错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
，
∴∠EBD=∠EAC=∠EAB.
∴tan∠EBD=tan∠EAB=错误！
未找到引用源。
∴错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
∴EH=错误！
未找到引用源。
.∴BH=错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
.
10.（2016·西城一模）如图1-12-40，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D.点E在错误！
未找到引用源。
上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF.
（1）求证：
CF⊥AB；
（2）若CD=4，CB=4错误！
未找到引用源。
，cos∠ACF=错误！
未找到引用源。
，求EF的长.
图1-12-40
（1）【证明】连接BD，如图1-12-41.
图1-12-41
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠1=90°.
∵∠1=∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3.∴∠DAB+∠3=90°.
∴∠CFA=180°－（∠DAB+∠3）=90°.
∴CF⊥AB.
（2）【解】连接OE，如图1-12-42.
图1-12-42
∵∠ADB=90°，∴∠CDB=180°－∠ADB=90°.
∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4错误！
未找到引用源。
，
∴DB=错误！
未找到引用源。
=8.
∵∠1＝∠3，
∴cos∠1=cos∠3=错误！
未找到引用源。
.
∵在Rt△ABD中，cos∠1=错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
，∴AB=10.
∴OA=OE=5，AD=错误！
未找到引用源。
=6.
∵CD=4，∴AC=AD+CD=10.
∴在Rt△ACF中，CF=AC·cos∠3=8.
∴AF=错误！
未找到引用源。
=6.∴OF=AF－OA=1.
∴在Rt△OEF中，EF=错误！
未找到引用源。
=2错误！
未找到引用源。
.
11.（2016·西城二模）如图1-12-43，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°.
图1-12-43
（1）求证：
AE是⊙O的切线；
（2）若AB=AD，AC=2错误！
未找到引用源。
，tan∠ADC=3，求CD的长.
（1）【证明】连接OA，OB，如图1-12-44.
图1-12-44
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°.
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°.
∵∠BAE=45°，
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°.
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线.
（2）【解】过点A作AF⊥CD于点F，如图1-12-45.
图1-12-45
∵AB=AD，∴错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
.
∴∠ACB=∠ACD=45°.
∵AF⊥CD于点F，∴∠AFC=∠AFD=90°.
∴∠ACF=∠CAF=45°,∴AF=CF.
∵AC=2错误！
未找到引用源。
，
∴在Rt△AFC中，AF=CF=AC·sin∠ACF=2.
∵在Rt△AFD中，tanD=错误！
未找到引用源。
=3，
∴DF=错误！
未找到引用源。
.
∴CD=CF+DF=错误！
未找到引用源。
.
12.（2016·朝阳二模）如图1-12-46，O是∠MAN的边AN上一点，以OA为半径作⊙O，交∠MAN的平分线于点D，DE⊥AM于点E.
图1-12-46
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若∠EDA=30°，AE=1，求OE的长.
（1）【证明】如图1-12-47,连接OD.
图1-12-47
∵AD平分∠MAN，
∴∠EAD=∠OAD.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD.
∴∠EAD=∠ODA.
∵DE⊥AM于E，∴∠AED=90°.
∴∠EAD+∠EDA=90°.
∴∠ODA+∠EDA=90°.
∴OD⊥ED.∴DE是⊙O的切线.
（2）【解】如图1-12-48,
图1-12-48
∵∠EDA=30°，
∴∠ODA=60°.
∵OA=OD，
∴△ADO为等边三角形.
在Rt△AED中，AE=1，可得AD=2，ED=错误！
未找到引用源。
.
∴OD=AD=2.
在Rt△ODE中，由勾股定理可得OE=错误！
未找到引用源。
.
13.（2016·东城二模）如图1-12-49，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
（1）求证：
∠ABC=2∠FAC；
（2）若AC=2错误！
未找到引用源。
，sin∠CAF=错误！
未找到引用源。
求BE的长.
图1-12-49
（1）【证明】如图1-12-50，连接BD.
图1-12-50
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵BA=BC，∴∠ABC=2∠DBA，AD=错误！
未找到引用源。
AC.
∵AF为⊙O的切线，
∴∠FAB=90°.
∴∠FAC+∠CAB=90°.
∴∠FAC=∠DBA.∴∠ABC=2∠FAC.
（2）【解】如图1-12-51,连接AE,
∴∠AEB=∠AEC=90°.
图1-12-51
∵sin∠CAF=错误！
未找到引用源。
，∠ABD=∠CAF=∠CBD=∠CAE，
∴sin∠ABD=sin∠CAF=错误！
未找到引用源。
.
∵∠ADB=90°，AD=错误！
未找到引用源。
AC=错误！
未找到引用源。
∴AB=错误！
未找到引用源。
=10,∴BC=BA=10.
∵∠AEC=90°，AC=2错误！
未找到引用源。
，
∴CE=AC·sin∠CAE=2.
∴BE=BC－CE=10－2=8.
14.（2016·海淀二模）如图1-12-52，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O切BC于点D，连接AD.
图1-12-52
（1）求证：
AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DAC=错误！
未找到引用源。
，求BD的长.
（1）【证明】如图1-12-53，连接OD.
∵⊙O切BC于点D，∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°.
∴OD∥AC.
∴∠ODA=∠DAC.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD.
∴∠OAD=∠DAC.∴AD平分∠BAC.
图1-12-53
（2）【解】如图1-12-53,连接DE.
∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE=90°.
∵∠OAD=∠DAC，sin∠DAC=错误！
未找到引用源。
，
∴sin∠EAD=sin∠OAD=错误！
未找到引用源。
.
∵OA=5，∴AE=10.
∴AD=4错误！
未找到引用源。
.∴CD=4，AC=8.
∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC.
∴错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
.即错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
.∴BD=错误！
未找到引用源。
.
15.（2016·石景山二模）如图1-12-54，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF.
（1）求证：
DF=2CE；
（2）若BC=3，sinB=错误！
未找到引用源。
，求线段BF的长.
图1-12-54
（1）【证明】如图1-12-55，连接OE交DF于点G，
图1-12-55
∵AC切⊙O于点E，
∴∠CEO=90°.
又∵BD为⊙O的直径，
∴∠DFC=∠DFB=90°.
∵∠C=90°，∴四边形CEGF为矩形.
∴CE=GF，∠EGF=90°.
∴DG=GF.∴DF=2CE.
（2）【解】在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵BC=3，sinB=错误！
未找到引用源。
，∴AB=5.
设OE=x，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC.
∴错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
，∴错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
，∴x=错误！
未找到引用源。
.∴BD=错误！
未找到引用源。
.
在Rt△BDF中，∠DFB=90°，∴BF=错误！
未找到引用源。
.
真题演练
1.（2016·北京）如图1-12-56，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交错误！
未找到引用源。
于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：
AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路.
图1-12-56
（1）【证明】如图1-12-57,连接BC.
图1-12-57
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∵DE为⊙O的切线,∴∠EDO=90°.
∵F是AC的中点且OA=OB,
∴在△ABC中,FO是△ABC的一条中位线,
∴FO∥BC∴∠AFO=∠ACB=90°.
∴∠AFO=∠EDO,∴AC∥DE.
（2）【解法1】思路:
①如图1-12-58,连接CD,AD,过点D作DH⊥AB于点H.
图1-12-58
②由∠EDO=90°,OA=AE,得AD=OA=DO,得△DAO为等边三角形.
③由OA=AE,AC∥DE得四边形ACDE为平行四边形.
④由△DAO为等边三角形,得DH=错误！
未找到引用源。
a.
⑤错误！
未找到引用源。
=AE·DH=错误！
未找到引用源。
.
求解过程:
连接CD,AD,过点D作DH⊥AB于点H.
在Rt△EDO中,∵OA=AE,
∴AD=OA=AE=a,∴AD=OA=DO=a.
∴△DAO为等边三角形,∴DH=错误！
未找到引用源。
OA=错误！
未找到引用源。
a.
∵AC∥DE,OA=AE,
∴AF为△EOD的一条中位线,∴ED=2AF.
∵F为AC的中点,∴AC=2AF.∴AC=ED.
又∵AC∥DE，∴四边形ACDE为平行四边形.
错误！
未找到引用源。
=AE·DH=a×错误！
未找到引用源。
a=错误！
未找到引用源。
.
【解法2】思路:
①AF为△ODE的中位线.
②如图1-12-59,连接CD.△CDF≌△AOF（SAS）.
图1-12-59
③在Rt△ODE中,由勾股定理得DE=错误！
未找到引用源。
a.
④错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
.
求解过程:
在△ODE中,AF∥DE,OA=AE,
∴AF是△ODE的中位线,∴OF=DF.
又∵F为弦AC的中点,∴AF=CF.
又∵∠CFD和∠AFO互为对顶角,
∴∠CFD=∠AFO.
在△CDF和△AOF中,错误！
未找到引用源。
∴△CDF≌△AOF（SAS）.
∴错误！
未找到引用源。
在⊙O中,OD=OA=AE=a,
∴OE=2OD=2a.
在Rt△ODE中,由勾股定理得DE=错误！
未找到引用源。
a.
∴错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
OD·DE=错误！
未找到引用源。
.
【解法3】思路:
①如图1-12-60,连接AD,DC.
图1-12-60
②由直角三角形斜边中线的性质可得AD=a,进而可得△ADO是等边三角形.
③由∠AOD=60°可得ED=错误！
未找到引用源。
a,DF=错误！
未找到引用源。
a,AF=FC=错误！
未找到引用源。
a.
④错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
.
求解过程:
由
（1）可得∠EDO=90°,
又∵OA=AE=a,∴AD=OA=a.
又∵OD=OA=a,∴△ADO为等边三角形.
∴∠AOD=60°.
又∵AC∥DE,∴∠DEO=∠CAO=30°.
∴DE=错误！
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a,OF=DF=错误！
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a.∴AF=FC=错误！
未找到引用源。
a.
∴错误！
未找到引用源。
=错误！
未找到引用源。
DF·ED+错误！
未找到引用源。
DF·AF+错误！
未找到引用源。
DF·FC
=错误！
未找到引用源。
（ED+AF+FC）·DF=错误！
未找到引用源。
·错误！
未找到引用源。
a=错误！
未找到引用源。
.
2.（2015·北京）如图1-12-61，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且错误！
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