北京市中考专题复习资料圆的有关计算.docx
《北京市中考专题复习资料圆的有关计算.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北京市中考专题复习资料圆的有关计算.docx(37页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![北京市中考专题复习资料圆的有关计算.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-2/21/b6806712-e4c7-4902-839c-862fa91898cc/b6806712-e4c7-4902-839c-862fa91898cc1.gif)
北京市中考专题复习资料圆的有关计算
圆的有关计算
课标解读
考试内容
考试要求
考查频度
A
B
C
点和圆的位置关系
了解点和圆的位置关系
尺规作图(利用基本作图完成):
过不在同一直线上的三点作圆;能利用点与圆的位置关系解决有关简单问题
★
直线和圆的位置关系
了解直线和圆的位置关系;会判断直线和圆的位置关系;理解切线与过切点的半径的关系;会用三角尺过圆上一点画圆的切线
掌握切线的概念;能利用切线的判定与性质解决有关简单问题;能利用直线和圆的位置关系解决有关简单问题;能利用切线长定理解决有关简单问题
运用切线的有关内容解决有关问题
★★★★★
知识要点
1.点和圆的位置关系
若圆的半径是r,点到圆心的距离是d,那么点在圆外⇔;点在圆上⇔;点在圆内⇔.
2.直线和圆的位置关系
如果圆的半径是r,圆心到直线l的距离是d,那么直线l和⊙O相交⇔;直线l和⊙O相切⇔;直线l和⊙O相离⇔.
3.圆的切线的性质与判定
(1)切线的定义:
直线和圆只有公共点时,这条直线叫做圆的切线.
(2)切线的性质:
圆的切线于过切点的半径.
(3)判定:
①和圆有公共点的直线是圆的切线;
②圆心到直线的距离等于圆的,那么这条直线是圆的切线(作垂直证半径);
③经过半径外端并且于这条半径的直线是圆的切线(作半径证垂直).
(4)切线长:
①切线的定义:
经过圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;②切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长,这点和圆心的连线两条切线的夹角.
4.确定圆的条件:
的三个点确定一个圆.
5.尺规作图(利用基本作图完成):
如图1-12-20,过不在同一直线上的三点作圆.
已知:
不在同一条直线上的三个点A,B,C.
求作:
圆O,使它经过点A,B,C.
图1-12-20
典例诠释
考点一确定圆的条件
例1如图1-12-21,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是()
图1-12-21
A.点PB.点QC.点RD.点M
【答案】B
【名师点评】此题考查经过不共线的三个点作一个圆的方法,即作任意两条线段的垂直平分线,交点即为此圆的圆心.
考点二点、直线和圆的位置关系
例2在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆()
A.与x轴相交,与y轴相切B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交D.与x轴相切,与y轴相离
【答案】C
【名师点评】此题要能画出图形,结合图形来判断直线和圆的位置关系,画图是解题关键.
考点三圆的切线的性质与判定
例3(2016·海淀一模)如图1-12-22,AB,AD是⊙O的弦,AO平分∠BAD.过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C,连接CD,BO.延长BO交⊙O于点E,交AD于点F,连接AE,DE.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若AE=DE=3,求AF的长.
图1-12-22
(1)【证明】如图1-12-23,连接OD.
图1-12-23
∵BC为⊙O的切线,
∴∠CBO=90°.
∵AO平分∠BAD,
∴∠1=∠2.
∵OA=OB=OD,∴∠1=∠4=∠2=∠5,
∴∠BOC=∠DOC,∴△BOC≌△DOC,
∴∠CBO=∠CDO=90°,
∴CD为⊙O的切线.
(2)【解】∵AE=DE,∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
∴∠3=∠4.
∵∠1=∠2=∠4,∴∠1=∠2=∠3.
∵BE为⊙O的直径,
∴∠BAE=90°,∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°,
∴∠AFE=90°.
在Rt△AFE中,∵AE=3,∠3=30°,
∴AF=错误!
未找到引用源。
.
【名师点评】
(1)要证明CD是⊙O的切线,连接半径OD,证明∠ODC=90°,结合角平分线和等腰三角形的知识,证明△BOC≌△DOC即可.
(2)利用“在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等”可以得到∠DAE=∠ABE=30°.又由BE为⊙O直径,可知∠BAE=90°,即而∠BAF=60°,故∠AFE=90°,在△AFE中,AF可解.
考点四切线长定理的应用
例4如图1-12-24,PA、PB是⊙O的切线,切点是A、B,已知∠P=60°,OA=3,那么∠AOB所对劣弧的长度为()
图1-12-24
A.6πB.5πC.3πD.2π
【答案】D
【名师点评】此题考查切线的性质和四边形内角和定理,先求出∠AOB的度数,再利用弧长公式计算弧AB的长.
基础精练
1.(2016·昌平期末)已知⊙O的半径长为5,若点P在⊙O内,那么下列结论正确的是()
A.OP>5B.OP=5C.0<OP<5D.0≤OP<5
【答案】D
2.(2016·通州一模)如图1-12-25,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是()
图1-12-25
A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,0)D.(-1,-1)
【答案】B
3.(2016·西城期末)如图1-12-26,⊙C与∠AOB的两边分别相切,其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB=90°,OP=6,则OC的长为()
图1-12-26
A.12B.12错误!
未找到引用源。
C.6错误!
未找到引用源。
D.6错误!
未找到引用源。
【答案】C
4.(2016·东城期末)如图1-12-27,AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使AC=3BC,CD与⊙O相切于D点,若CD=错误!
未找到引用源。
则⊙O半径的长为.
图1-12-27
【答案】1
5.(2016·东城期末)阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:
如图1-12-28,过圆外一点作圆的切线.
已知:
⊙O和点P.
求作:
过点P的⊙O的切线.
图1-12-28
小涵的主要作法如下:
如图1-12-29,
(1)连接OP,作线段OP的中点A;
(2)以A为圆心,OA长为半径作圆,交⊙O于点B,C;
(3)作直线PB和PC,
所以PB和PC就是所求的切线.
图1-12-29
老师说:
“小涵的作法正确.”
请回答:
小涵的作图依据是.
【答案】直径所对的圆周角为直角;经过半径的外端,并且垂直于半径的直线是圆的切线
6.(2016·朝阳一模)如图1-12-30,点D在⊙O上,过点D的切线交直径AB的延长线于点P,DC⊥AB于点C.
(1)求证:
DB平分∠PDC;
(2)若DC=6,tan∠P=错误!
未找到引用源。
,求BC的长.
图1-12-30
(1)【证明】如图1-12-31,连接OD.
图1-12-31
∵DP是⊙O的切线,
∴OD⊥DP,∴∠ODP=90°,
∴∠ODB+∠BDP=90°.
又∵DC⊥OB,
∴∠DCB=90°,
∴∠BDC+∠OBD=90°.
∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,
∴∠OBD+∠BDP=90°,
∴∠BDP=∠BDC,∴DB平分∠PDC.
(2)【解】如图1-12-32,过点B作BE⊥DP于点E.
图1-12-32
∵∠BDP=∠BDC,BC⊥DC,
∴BC=BE.
∵DC=6,tan∠P=错误!
未找到引用源。
,
∴DP=10,PC=8.
设BC=x,则BE=x,BP=8-x.
∵△PEB∽△PCD,∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
∴x=3,∴BC=3.
7.(2016·东城一模)如图1-12-33,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求证:
PB是⊙O的切线.
(2)若PB=3,DB=4,求DE的长.
图1-12-33
(1)【证明】∵∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,
∴∠PBO=∠E=90°,
∴PB是⊙O的切线.
(2)【解】∵PB=3,DB=4,
∴PD=5.
设⊙O的半径的长是r,
如图1-12-34,连接OC.
图1-12-34
∵PD切⊙O于点C,
∴OC⊥PD.
∴错误!
未找到引用源。
.
∴错误!
未找到引用源。
.∴r=错误!
未找到引用源。
.
可求出PO=错误!
未找到引用源。
.
易证△DEO∽△PBO,∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
.
解得DE=错误!
未找到引用源。
.
8.(2016·石景山一模)如图1-12-35,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线,交AB于点E,交CA的延长线于点F.
(1)求证:
EF⊥AB.
(2)若∠C=30°,EF=错误!
未找到引用源。
,求EB的长.
图1-12-35
(1)【证明】如图1-12-36,连接OD,AD,
图1-12-36
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=90°.
又∵AB=AC,
∴CD=DB.又CO=AO,∴OD∥AB.
∵FD是⊙O的切线,
∴OD⊥DF,∴EF⊥AB.
(2)【解】∵∠C=30°,
∴∠AOD=60°.
在Rt△ODF中,∠ODF=90°,∴∠F=30°.
∴OA=OD=错误!
未找到引用源。
OF.
在Rt△AEF中,∠AEF=90°,∠F=30°,
∵EF=错误!
未找到引用源。
,∴AE=错误!
未找到引用源。
.
∵OD∥AB,OA=OC=AF,
∴OD=2AE=2错误!
未找到引用源。
,AB=2OD=4错误!
未找到引用源。
.
∴EB=AB-AE=3错误!
未找到引用源。
.
9.(2016·丰台一模)如图1-12-37,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
图1-12-37
(1)求证:
∠CBF=错误!
未找到引用源。
∠CAB;
(2)连接BD,AE交于点H,若AB=5,tan∠CBF=错误!
未找到引用源。
,求BH的长.
(1)【证明】连接AE,如图1-12-38.
图1-12-38
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°.
∵AB=AC,
∴∠EAB=错误!
未找到引用源。
∠CAB.
∵BF是⊙O的切线,
∴∠ABE+∠CBF=90°.
∵∠ABE+∠EAB=90°.
∴∠CBF=∠EAB,∴∠CBF=错误!
未找到引用源。
∠CAB.
(2)【解】如图1-12-39.
图1-12-39
∵tan∠EAB=tan∠CBF=错误!
未找到引用源。
,
又∵AB=5,
∴在Rt△ABE中,由勾股定理可得BE=错误!
未找到引用源。
.
∵错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
,
∴∠EBD=∠EAC=∠EAB.
∴tan∠EBD=tan∠EAB=错误!
未找到引用源。
∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
∴EH=错误!
未找到引用源。
.∴BH=错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
.
10.(2016·西城一模)如图1-12-40,在△ABC中,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点D.点E在错误!
未找到引用源。
上,连接DE,AE,连接CE并延长交AB于点F,∠AED=∠ACF.
(1)求证:
CF⊥AB;
(2)若CD=4,CB=4错误!
未找到引用源。
,cos∠ACF=错误!
未找到引用源。
,求EF的长.
图1-12-40
(1)【证明】连接BD,如图1-12-41.
图1-12-41
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠1=90°.
∵∠1=∠2,∠2=∠3,
∴∠1=∠3.∴∠DAB+∠3=90°.
∴∠CFA=180°-(∠DAB+∠3)=90°.
∴CF⊥AB.
(2)【解】连接OE,如图1-12-42.
图1-12-42
∵∠ADB=90°,∴∠CDB=180°-∠ADB=90°.
∵在Rt△CDB中,CD=4,CB=4错误!
未找到引用源。
,
∴DB=错误!
未找到引用源。
=8.
∵∠1=∠3,
∴cos∠1=cos∠3=错误!
未找到引用源。
.
∵在Rt△ABD中,cos∠1=错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
,∴AB=10.
∴OA=OE=5,AD=错误!
未找到引用源。
=6.
∵CD=4,∴AC=AD+CD=10.
∴在Rt△ACF中,CF=AC·cos∠3=8.
∴AF=错误!
未找到引用源。
=6.∴OF=AF-OA=1.
∴在Rt△OEF中,EF=错误!
未找到引用源。
=2错误!
未找到引用源。
.
11.(2016·西城二模)如图1-12-43,四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,连接AC,AE,∠ACB=∠BAE=45°.
图1-12-43
(1)求证:
AE是⊙O的切线;
(2)若AB=AD,AC=2错误!
未找到引用源。
,tan∠ADC=3,求CD的长.
(1)【证明】连接OA,OB,如图1-12-44.
图1-12-44
∵∠ACB=45°,
∴∠AOB=2∠ACB=90°.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=45°.
∵∠BAE=45°,
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°.
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上,∴AE是⊙O的切线.
(2)【解】过点A作AF⊥CD于点F,如图1-12-45.
图1-12-45
∵AB=AD,∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
.
∴∠ACB=∠ACD=45°.
∵AF⊥CD于点F,∴∠AFC=∠AFD=90°.
∴∠ACF=∠CAF=45°,∴AF=CF.
∵AC=2错误!
未找到引用源。
,
∴在Rt△AFC中,AF=CF=AC·sin∠ACF=2.
∵在Rt△AFD中,tanD=错误!
未找到引用源。
=3,
∴DF=错误!
未找到引用源。
.
∴CD=CF+DF=错误!
未找到引用源。
.
12.(2016·朝阳二模)如图1-12-46,O是∠MAN的边AN上一点,以OA为半径作⊙O,交∠MAN的平分线于点D,DE⊥AM于点E.
图1-12-46
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)连接OE,若∠EDA=30°,AE=1,求OE的长.
(1)【证明】如图1-12-47,连接OD.
图1-12-47
∵AD平分∠MAN,
∴∠EAD=∠OAD.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD.
∴∠EAD=∠ODA.
∵DE⊥AM于E,∴∠AED=90°.
∴∠EAD+∠EDA=90°.
∴∠ODA+∠EDA=90°.
∴OD⊥ED.∴DE是⊙O的切线.
(2)【解】如图1-12-48,
图1-12-48
∵∠EDA=30°,
∴∠ODA=60°.
∵OA=OD,
∴△ADO为等边三角形.
在Rt△AED中,AE=1,可得AD=2,ED=错误!
未找到引用源。
.
∴OD=AD=2.
在Rt△ODE中,由勾股定理可得OE=错误!
未找到引用源。
.
13.(2016·东城二模)如图1-12-49,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:
∠ABC=2∠FAC;
(2)若AC=2错误!
未找到引用源。
,sin∠CAF=错误!
未找到引用源。
求BE的长.
图1-12-49
(1)【证明】如图1-12-50,连接BD.
图1-12-50
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵BA=BC,∴∠ABC=2∠DBA,AD=错误!
未找到引用源。
AC.
∵AF为⊙O的切线,
∴∠FAB=90°.
∴∠FAC+∠CAB=90°.
∴∠FAC=∠DBA.∴∠ABC=2∠FAC.
(2)【解】如图1-12-51,连接AE,
∴∠AEB=∠AEC=90°.
图1-12-51
∵sin∠CAF=错误!
未找到引用源。
,∠ABD=∠CAF=∠CBD=∠CAE,
∴sin∠ABD=sin∠CAF=错误!
未找到引用源。
.
∵∠ADB=90°,AD=错误!
未找到引用源。
AC=错误!
未找到引用源。
∴AB=错误!
未找到引用源。
=10,∴BC=BA=10.
∵∠AEC=90°,AC=2错误!
未找到引用源。
,
∴CE=AC·sin∠CAE=2.
∴BE=BC-CE=10-2=8.
14.(2016·海淀二模)如图1-12-52,在△ABC中,∠C=90°,点E在AB上,以AE为直径的⊙O切BC于点D,连接AD.
图1-12-52
(1)求证:
AD平分∠BAC;
(2)若⊙O的半径为5,sin∠DAC=错误!
未找到引用源。
,求BD的长.
(1)【证明】如图1-12-53,连接OD.
∵⊙O切BC于点D,∠C=90°,
∴∠ODB=∠C=90°.
∴OD∥AC.
∴∠ODA=∠DAC.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD.
∴∠OAD=∠DAC.∴AD平分∠BAC.
图1-12-53
(2)【解】如图1-12-53,连接DE.
∵AE为⊙O的直径,∴∠ADE=90°.
∵∠OAD=∠DAC,sin∠DAC=错误!
未找到引用源。
,
∴sin∠EAD=sin∠OAD=错误!
未找到引用源。
.
∵OA=5,∴AE=10.
∴AD=4错误!
未找到引用源。
.∴CD=4,AC=8.
∵OD∥AC,∴△BOD∽△BAC.
∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
.即错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
.∴BD=错误!
未找到引用源。
.
15.(2016·石景山二模)如图1-12-54,在Rt△ACB中,∠C=90°,D是AB上一点,以BD为直径的⊙O切AC于点E,交BC于点F,连接DF.
(1)求证:
DF=2CE;
(2)若BC=3,sinB=错误!
未找到引用源。
,求线段BF的长.
图1-12-54
(1)【证明】如图1-12-55,连接OE交DF于点G,
图1-12-55
∵AC切⊙O于点E,
∴∠CEO=90°.
又∵BD为⊙O的直径,
∴∠DFC=∠DFB=90°.
∵∠C=90°,∴四边形CEGF为矩形.
∴CE=GF,∠EGF=90°.
∴DG=GF.∴DF=2CE.
(2)【解】在Rt△ABC中,∠C=90°,
∵BC=3,sinB=错误!
未找到引用源。
,∴AB=5.
设OE=x,∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC.
∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
,∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
,∴x=错误!
未找到引用源。
.∴BD=错误!
未找到引用源。
.
在Rt△BDF中,∠DFB=90°,∴BF=错误!
未找到引用源。
.
真题演练
1.(2016·北京)如图1-12-56,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交错误!
未找到引用源。
于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.
(1)求证:
AC∥DE;
(2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.
图1-12-56
(1)【证明】如图1-12-57,连接BC.
图1-12-57
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∵DE为⊙O的切线,∴∠EDO=90°.
∵F是AC的中点且OA=OB,
∴在△ABC中,FO是△ABC的一条中位线,
∴FO∥BC∴∠AFO=∠ACB=90°.
∴∠AFO=∠EDO,∴AC∥DE.
(2)【解法1】思路:
①如图1-12-58,连接CD,AD,过点D作DH⊥AB于点H.
图1-12-58
②由∠EDO=90°,OA=AE,得AD=OA=DO,得△DAO为等边三角形.
③由OA=AE,AC∥DE得四边形ACDE为平行四边形.
④由△DAO为等边三角形,得DH=错误!
未找到引用源。
a.
⑤错误!
未找到引用源。
=AE·DH=错误!
未找到引用源。
.
求解过程:
连接CD,AD,过点D作DH⊥AB于点H.
在Rt△EDO中,∵OA=AE,
∴AD=OA=AE=a,∴AD=OA=DO=a.
∴△DAO为等边三角形,∴DH=错误!
未找到引用源。
OA=错误!
未找到引用源。
a.
∵AC∥DE,OA=AE,
∴AF为△EOD的一条中位线,∴ED=2AF.
∵F为AC的中点,∴AC=2AF.∴AC=ED.
又∵AC∥DE,∴四边形ACDE为平行四边形.
错误!
未找到引用源。
=AE·DH=a×错误!
未找到引用源。
a=错误!
未找到引用源。
.
【解法2】思路:
①AF为△ODE的中位线.
②如图1-12-59,连接CD.△CDF≌△AOF(SAS).
图1-12-59
③在Rt△ODE中,由勾股定理得DE=错误!
未找到引用源。
a.
④错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
.
求解过程:
在△ODE中,AF∥DE,OA=AE,
∴AF是△ODE的中位线,∴OF=DF.
又∵F为弦AC的中点,∴AF=CF.
又∵∠CFD和∠AFO互为对顶角,
∴∠CFD=∠AFO.
在△CDF和△AOF中,错误!
未找到引用源。
∴△CDF≌△AOF(SAS).
∴错误!
未找到引用源。
在⊙O中,OD=OA=AE=a,
∴OE=2OD=2a.
在Rt△ODE中,由勾股定理得DE=错误!
未找到引用源。
a.
∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
OD·DE=错误!
未找到引用源。
.
【解法3】思路:
①如图1-12-60,连接AD,DC.
图1-12-60
②由直角三角形斜边中线的性质可得AD=a,进而可得△ADO是等边三角形.
③由∠AOD=60°可得ED=错误!
未找到引用源。
a,DF=错误!
未找到引用源。
a,AF=FC=错误!
未找到引用源。
a.
④错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
.
求解过程:
由
(1)可得∠EDO=90°,
又∵OA=AE=a,∴AD=OA=a.
又∵OD=OA=a,∴△ADO为等边三角形.
∴∠AOD=60°.
又∵AC∥DE,∴∠DEO=∠CAO=30°.
∴DE=错误!
未找到引用源。
a,OF=DF=错误!
未找到引用源。
a.∴AF=FC=错误!
未找到引用源。
a.
∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
DF·ED+错误!
未找到引用源。
DF·AF+错误!
未找到引用源。
DF·FC
=错误!
未找到引用源。
(ED+AF+FC)·DF=错误!
未找到引用源。
·错误!
未找到引用源。
a=错误!
未找到引用源。
.
2.(2015·北京)如图1-12-61,AB是⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BM,弦CD∥BM,交AB于点F,且错误!
未找到引用源。