届高考数学全国通用二轮复习中档大题精品讲义 第2讲 解三角形.docx

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届高考数学全国通用二轮复习中档大题精品讲义第2讲解三角形

第2讲　解三角形

[明考情]

高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置.

[知考向]

1.利用正弦、余弦定理解三角形.

2.三角形的面积.

3.解三角形的综合问题.

考点一　利用正弦、余弦定理解三角形

方法技巧　

（1）公式法解三角形：

直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.

（2）边角互化法解三角形：

合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.

1.（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝（a2－b2－c2）.

（1）求cosA的值；

（2）求sin（2B－A）的值.

解　

（1）由asinA＝4bsinB及＝，得a＝2b.

由ac＝（a2－b2－c2）及余弦定理，得

cosA＝＝＝－.

（2）由

（1），可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB，

得sinB＝＝.

由

（1）知，A为钝角，所以cosB＝＝.

于是sin2B＝2sinBcosB＝，cos2B＝1－2sin2B＝，

故sin（2B－A）＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×－×＝－.

2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

（1）若PB＝，求PA；

（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

解　

（1）由已知得∠PBC＝60°，∠PBA＝30°.

在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝3＋－2××cos30°＝，

∴PA＝.

（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα，

在△PBA中，由正弦定理得＝，

化简得cosα＝4sinα，故tanα＝，即tan∠PBA＝.

3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且＋＝.

（1）求角A的大小；

（2）若＝＋，a＝，求b的值.

解　

（1）由题意，可得＋＝3，即＋＝1，

整理得b2＋c2－a2＝bc，

由余弦定理知，cosA＝＝，

因为0＜A＜π，所以A＝.

（2）根据正弦定理，得＝＝＝＝＋cosA＝＋＝＋，

解得tanB＝，所以sinB＝.

由正弦定理得，b＝＝＝2.

4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.

（1）求角B的大小；

（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.

解　

（1）∵bsinA＝acosB，

由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB.

在△ABC中，sinA≠0，

即得tanB＝.

∵B∈（0，π），∴B＝.

（2）∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，

即9＝a2＋4a2－2a·2acos，

解得a＝，∴c＝2a＝2.

考点二　三角形的面积

方法技巧　三角形面积的求解策略

（1）若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.

（2）若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.

5.（2016·全国Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

（1）求角C的大小；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

解　

（1）由已知及正弦定理得，2cosC（sinAcosB＋sinB·cosA）＝sinC，2cosCsin（A＋B）＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.因为0＜C＜π，所以cosC＝，所以C＝.

（2）由已知，absinC＝，又C＝，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25，可得a＋b＝5.所以△ABC的周长为5＋.

6.在△ABC中，已知C＝，向量m＝（sinA，1），n＝（1，cosB），且m⊥n.

（1）求A的大小；

（2）若点D在边BC上，且3＝，AD＝，求△ABC的面积.

解　

（1）由题意知m·n＝sinA＋cosB＝0，

又C＝，A＋B＋C＝π，所以sinA＋cos＝0.

所以sinA－cosA＋sinA＝0，即sin＝0.

又0＜A＜，所以A－∈，

所以A－＝0，即A＝.

（2）设||＝x，由3＝，得||＝3x，

由

（1）知，A＝C＝，所以||＝3x，B＝.

在△ABD中，由余弦定理，得（）2＝（3x）2＋x2－2·3x·xcos，

解得x＝1，所以AB＝BC＝3，

所以S△ABC＝BA·BC·sinB＝·3·3·sin＝.

7.（2017·全国Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A＋C）＝8sin2.

（1）求cosB的值；

（2）若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b.

解　

（1）由题设及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2，

故sinB＝4（1－cosB）.

上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，

解得cosB＝1（舍去）或cosB＝.

故cosB＝.

（2）由cosB＝，得sinB＝，

故S△ABC＝acsinB＝ac.

又S△ABC＝2，则ac＝.

由余弦定理及a＋c＝6，

得b2＝a2＋c2－2accosB

＝（a＋c）2－2ac（1＋cosB）

＝36－2××＝4.

所以b＝2.

8.（2017·延边州一模）已知函数f（x）＝sin2ωx－sin2，函数f（x）的图象关于直线x＝π对称.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，f ＝，求△ABC面积的最大值.

解　

（1）f（x）＝－cos2ωx－＝cos－cos2ωx

＝－cos2ωx＋sin2ωx＝sin.

令2ωx－＝＋kπ，解得x＝＋，k∈Z.

∴f（x）的对称轴为x＝＋，k∈Z.

令＋＝π，

解得ω＝，k∈Z.

∵＜ω＜1，

∴当k＝1时，ω＝，

∴f（x）＝sin.

∴f（x）的最小正周期T＝＝.

（2）∵f ＝sin＝，

∴sin＝.

∴A＝.

由余弦定理得，cosA＝＝＝，

∴b2＋c2＝bc＋1≥2bc，

∴bc≤1.

∴S△ABC＝bcsinA＝bc≤，

∴△ABC面积的最大值是.

考点三　解三角形的综合问题

方法技巧　

（1）题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.

（2）和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.

（3）和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.

9.（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝.

（1）求b和sinA的值；

（2）求sin的值.

解　

（1）在△ABC中，因为a>b，

所以由sinB＝，得cosB＝.

由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝13，

所以b＝.

由正弦定理＝，

得sinA＝＝.

所以b的值为，sinA的值为.

（2）由

（1）及a

所以sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝1－2sin2A＝－.

所以sin＝sin2Acos ＋cos2Asin ＝.

10.△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1＋＝.

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形，求函数y＝2sin2B－2sinBcosC的取值范围.

解　

（1）因为1＋＝，所以由正弦定理，得1＋＝＝.

因为A＋B＋C＝π，所以sin（A＋B）＝sinC，

所以＝，因为sinC≠0，sinB≠0，

所以cosA＝，故A＝.

（2）因为A＋B＋C＝π，A＝，所以B＋C＝.

所以y＝2sin2B－2sinBcosC＝1－cos2B－2sinBcos

＝1－cos2B＋sinBcosB－sin2B＝1－cos2B＋sin2B－＋cos2B

＝＋sin2B－cos2B＝sin＋.

又△ABC为锐角三角形，

所以＜B＜⇒＜2B－＜，

所以y＝sin＋∈.

故函数y＝2sin2B－2sinBcosC的取值范围是.

11.（2017·咸阳二模）设函数f（x）＝sinxcosx－sin2（x∈R），

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f ＝0，c＝2，求△ABC面积的最大值.

解　

（1）函数f（x）＝sinxcosx－sin2（x∈R）.

化简可得f（x）＝sin2x－＝sin2x－.

令2kπ－≤2x≤2kπ＋（k∈Z），

则kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

即f（x）的递增区间为（k∈Z）.

令2kπ＋≤2x≤2kπ＋（k∈Z），

则kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），

即f（x）的递减区间为（k∈Z）.

（2）由f ＝0，得sinC＝，

又因为△ABC是锐角三角形，

所以C＝.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，将c＝2，C＝代入得4＝a2＋b2－ab，

由基本不等式得a2＋b2＝4＋ab≥2ab，即ab≤4（2＋），

所以S△ABC＝absinC≤·4（2＋）·＝2＋，

即△ABC面积的最大值为2＋.

12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m＝（2a－c，cosC），n＝（b，cosB），m∥n.

（1）求角B的大小；

（2）若b＝1，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC内切圆的半径.

解　

（1）由已知可得（2a－c）cosB＝bcosC，结合正弦定理可得（2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B＋C），

又sinA＝sin（B＋C）＞0，所以cosB＝，

所以B＝.

（2）由

（1）得B＝，又b＝1，在△ABC中，b2＝a2＋c2－2accosB，

所以12＝a2＋c2－ac，即1＋3ac＝（a＋c）2.

又（a＋c）2≥4ac，所以1＋3ac≥4ac，

即ac≤1，当且仅当a＝c＝1时取等号.

从而S△ABC＝acsinB＝ac≤，当且仅当a＝c＝1时，S△ABC取得最大值.

设△ABC内切圆的半径为r，由S△ABC＝（a＋b＋c）r，得r＝.

例　（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（a＋b，sinA－sinC），向量n＝（c，sinA－sinB），且m∥n.

（1）求角B的大小；

（2）设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积.

审题路线图

―→―→―→

规范解答·评分标准

解　

（1）因为m∥n，

所以（a＋b）（sinA－sinB）－c（sinA－sinC）＝0，

………………………………………………………………………………………………1分

由正弦定理，可得（a＋b）（a－b）－c（a－c）＝0，即a2＋c2－b2＝ac.……………………3分

由余弦定理可知，cosB＝＝＝.因为B∈（0，π），所以B＝.…………5分

（2）设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝可知，θ∈.

由正弦定理及AD＝，有＝＝＝2，

所以BD