普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖北理.docx

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普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖北理

2010年湖北理

一、选择题（共10小题；共50分）

1.若为虚数单位，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是

A.B.C.D.

2.设集合，，则的子集的个数是

A.B.C.D.

3.在中，，，，则

A.B.C.D.

4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记"硬币正面向上"为事件，"骰子向上的点数是"为事件，则事件，中至少有一件发生的概率是

A.B.C.D.

5.已知和点满足．若存在实数使得成立，则

A.B.C.D.

6.将参加夏令营的名学生编号为：

，采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为．这名学生分住在三个营区，从到在第营区，从到住在第营区，从到住在第营区，三个营区被抽中的人数依次为

A.B.C.D.

7.如图，在半径为的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前个圆的面积之和，则

A.B.C.D.

8.现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A.B.C.D.

9.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是

A.B.

C.D.

10.记实数中的最大数为，最小数为．已知的三边边长为、、（），定义它的倾斜度为，则“”是“为等边三角形”的

A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件

C.充要条件D.既不充分也不必要的条件

二、填空题（共5小题；共25分）

11.在的展开式中，系数为有理数的项共有 项．

12.已知，式中变量，满足约束条件则的最大值为 ．

13.圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 ．

14.某射手射击所得环数的分布列如下：

已知的期望，则的值为 ．

15.设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径做半圆．过点作的垂线交半圆于．连接，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段 的长度是，的几何平均数，线段 的长度是，的调和平均数．

三、解答题（共6小题；共78分）

16.已知函数，．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合．

17.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：

万元）与隔热层厚度（单位：

）满足关系：

，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．

（1）求的值及的表达式．

（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．

18.如图，在四面体中，，，，且．

（1）设为的中点，证明：

在上存在一点，使，并计算的值；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

19.已知一条曲线在轴的右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是．

（1）求曲线的方程；

（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点、的任一直线，都有?

若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

20.已知数列满足：

，，；数列满足：

．

（1）求数列，的通项公式；

（2）证明：

数列中的任意三项不可能成等差数列．

21.已知函数的图象在点处的切线方程为．

（1）用表示出，；

（2）若在上恒成立，求的取值范围．

（3）证明：

．

答案

第一部分

1.D【解析】，．

2.A【解析】如图，

集合中只有两个元素（，的坐标），故的子集的个数是．

3.D【解析】由正弦定理，得，解得．因为，则，从而为锐角，所以．

4.C【解析】事件，中至少有一件发生含有三种互斥情况为，和．

5.B

【解析】因为，所以为的重心．

设是边的中点，则，

又因为，所以，故．

其他解法：

将“和点满足”特殊化为“为正的中心”．易求得，排除A、C、D．

6.B【解析】从名学生中选出名，随机抽取的号码为，

则被抽取的相邻号码之间的间隔应该是，从而被抽取的号码成等差数列．

该等差数列以为首项、为公差，其通项公式为．

在第一营区抽取的学生数需满足，可知第一营区抽取的学生数为人；

在第二营区抽取的学生数需满足，可知在第二营区抽取的学生数为人；

在第三营区抽取的学生数需满足，可知在第三区抽取的学生数为人．

7.C【解析】第一个圆的半径是，第二个圆的半径为，第三个圆的半径为，，第个圆的半径为，则其半径依次组成以为首项，以为公比的等比数列，从而其面积是以为首项，以为公比的等比数列，故．

8.B【解析】方法一：

若不考虑到司机和甲、乙之间的关系，而只考虑将人分配到四个岗位上，每个岗位至少一人，则共有种方法，其中不符合要求的有三类情况：

一是甲、乙二人都分配到司机岗位时有种方法，二是甲、乙中有一人分配到司机岗位，且司机岗位有人时有种方法，三是甲、乙二人中有一人分配到司机岗位，且此岗位只有一人时有种方法．所以符合题意的分配方法种数是

方法二：

完成此分配有两种情况：

一是司机岗位只有一人，此时有种方法，二是司机岗位有两人，此时有种方法，所以符合题意的分配方法种数是

9.D【解析】曲线变形为，表示的是如图所示的半圆，圆心坐标为，半径为．

当直线在如图所示两条直线之间时，直线与圆有公共点，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，得，又，所以．

10.B

【解析】必要：

当三角形为等边三角形时，倾斜度显然为；

不充分：

当时，显然不是等边三角形，但其倾斜度

第二部分

11.

【解析】由通项公式得，若满足系数为有理数，则需要满足，且是的整数倍，所以故系数为有理数的项共有项．

12.

13.

【解析】设球的半径为，则由题意可知．

14.

【解析】由分布列的性质可知，可解得．

15.，

【解析】由射影定理可知中，，中．

第三部分

16.

（1）因为

所以的最小正周期为．

（2）由已知得

当时，取得最大值．

取得最大值时，对应的的集合为

17.

（1）设隔热层厚度为．由题设，得，即

解得

因此的解析式为

因为建造费用为，所以隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为

（2）由题意得

令，即

解得

因为当时，；

当时，，

所以是的最小值点，且对应的最小值为

故当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为万元．

18.

（1）解法一：

如图，在平面内作交于，连接．

又，，

，．

取为的中点，则，．

在等腰中，，．

在中，，．

在中，．

，．

解法二：

在平面内作交于，取为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示），

则，，．

为中点，．

设，．

所以

所以

，，即，．

所以存在点使得且．

（2）解法一：

如图，连接，．

由，知：

．

又，．

又由知：

．

，．

在等腰中，为的中点，．

，知：

．

为二面角的平面角．

在等腰中，，．

在中，，

在中，，所以

解法二：

记平面的法向量，

则由，，且，．得

故可取，又平面的法向量为．所以

二面角的平面角是锐角，记为，则．

19.

（1）设是曲线上任意一点，那么点满足

化简得

（2）设过点的直线与曲线的交点为，．

设的方程为，由

得

一方面

另一方面

由得

整理得

又，于是不等式等价于

变形得

由式，不等式等价于

而对任意实数，的最小值为，所以不等式对于任意的成立等价于

解得

由此可知，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点、的任一直线，都有，且的取值范围是．

20.

（1）由题意可知

令，则

又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即

故

又，，故

（2）假设数列存在三项，，按某种顺序成等差数列，

由于数列是首项为，公比为的等比数列，

于是有，则只有可能有成立．所以

两边同乘，化简得

由于，所以式左边为奇数，右边为偶数，故式不可能成立，导致矛盾．

故数列中任意三项不可能成等差数列．

21.

（1）由题意得，则有

解得

（2）由

（1）知，，令

则，故

（i）当时，．

若，则，是减函数，所以，

即，故在上不恒成立．

（ii）当时，．

若，则，是增函数，所以，

即，故当时，．

综上所述，所求的取值范围为．

      （3）证法一：

直接证明

由

（2）知：

当时，有

令，有

当时，有

令，有

即

将上述个不等式依次相加得

整理得

证法二：

用数学归纳法证明

（i）当时，左边，右边，不等式成立．

（ii）假设时，不等式成立，就是

那么

由

（2）知：

当时，有，

令，有

令，得

所以

所以

就是说，当时，不等式也成立．

根据（i）和（ii），可知不等式对任何都成立．