基本不等式最值.docx
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基本不等式最值
基本不等式最值
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若x，，且，则的最小值是
A.5B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑将方程变形，代入可得，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：
，，，
，
，
当且仅当即时取等号，
故选A．
2.已知两个正数a，b满足，则的最小值是
A.23B.24C.25D.26
【答案】C
【解析】解：
根据题意，正数a，b满足，
则；
当且仅当时，取到等号，
即的最小值是25；
故选：
C．
根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件．
3.已知，函数的最小值是
A.5B.4C.6D.8
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．
根据基本不等式的性质判断即可．
4.若，，且，则的最小值是
A.2B.C.D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．
本题的解题巧妙的利用了，构造出了基本不等式的形式，求得问题的答案先根据求得，进而可把求的最小值转化为求的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值．
【解答】
解：
当且仅当时，等号成立
故选D．
5.已知直线经过点，则的最小值为
A.B.C.4D.
【答案】B
【解析】解：
直线经过点，
．
则，当且仅当时取等号．
故选：
B．学_科网
直线经过点，可得：
再利用基本不等式的性质、指数的运算性质即可得出．
本题考查了点与直线的关系、基本不等式的性质、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.若，则的最大值是 优质试题
A.B.C.D.以上都不对
【答案】C
【解析】【分析】
由题意，可变为，利用基本不等式求出最值得出正确选项本题考查利用基本不等式求最值，解答时要注意基本不等式等号成立的条件
已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为
A.16B.9C.5D.4
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到．
根据题意，由等差中项的定义分析可得，进而分析可得，由基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】
解：
根据题意，，，且，，成等差数列，
则，
则，
即则的最小值为16．
故选A．
7.已知x，y均为正实数，且，则的最小值为
A.24B.32C.20D.28
【答案】C
【解析】解：
，y均为正实数，且，
则，
当且仅当时取等号．
的最小值为20．优质试题
故选：
C．
变形利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.已知x，y都是正数，且，则的最小值为
A.6B.5C.4D.3
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：
，且，
，
当且仅当时，取最小值4．
故选C．
9.设，，是与的等差中项，则的最小值为
A.B.3C.4D.9
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，利用等差中项的定义建立a，b的关系是解决本题的关键．
根据等差中项的定义建立a，b的关系，然后利用基本不等式进行求解即可．
【解答】
解：
是与的等差中项，
，
即，
，即．
，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为9．
故选D．
10.下列函数中，最小值是2的是
A.B.
C.D.
【答案】B
运用基本不等式，即可得出结论．
本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，注意基本不等式的运用条件是关键．
11.设，若恒成立，则k的最大值为
A.2B.4C.6D.8
【答案】D
【解析】【分析】
由于等价于，再由，以及基本不等式即可得到答案．
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
【解答】
解：
由于，则得到
当且仅当，即时，取等号
又由恒成立，
故，则k的最大值为8
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
12.设，，若，则的最小值为______．
【答案】9
【解析】【分析】
本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题由题意可得且，整体代入可得，由基本不等式可得．
【解答】
解：
，，且，
且，
当且仅当时取等号，
结合可解得且，
故所求最小值为9，
故答案为9．
13.已知，则函数的最小值为______．
【答案】
【解析】【分析】
首先将原函数化简，再利用基本不等式求出最值，考查了函数最值的求法以及基本不等式的应用．
【解答】
解：
因为，
当且仅当时，函数取得最小值，
所以最小值为．
故答案为．
14.若实数x，y满足，且，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了对数的运算性质和基本不等式，先根据对数的运算性质求出，再根据基本不等式求出最小值即可．
【解答】
解：
，
，
，
，但且仅当，时取等号，
故的最小值为4，
故答案为：
4．
15.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘1法和基本不等式的运用，注意满足的条件：
一正二定三等，考查运算能力，属于中档题不等式有解，即为大于的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．
【解答】
解：
正实数x，y满足，
则，
当且仅当，取得最小值4．
由有解，可得，
解得或．
故答案为．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
16.若，求的最小值．
已知，求的最大值．
【答案】解：
若，则，，
，
当且仅当：
，即时，取“”，
因此，函数的最小值为12；
若，
，
当且仅当：
，即时，取“”，
因此，函数的最大值为．
【解析】先分析各数为正数，且积为定值，直接使用基本不等式求最小值；
先分析各数为正数，且和为定值，直接使用基本不等式求最大值．
本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，注意其前提条件为“一正，二定，三相等”缺一不可，属于中档题．
17.已知，，且．
当x，y分别为何值时，xy取得最小值？
当x，y分别为何值时，取得最小值？
优质试题
【答案】解：
，，且，
，当且仅当，即，时取等号，
．
的最小值为32．
，，
，当且仅当，即，时取等．
因此的最小值为．
【解析】直接利用基本不等式，求出x，y分别为何值时，xy取得最小值；
变形，利用“1”的代换，即可求出当x，y分别为何值时，取得最小值
本题考查利用基本不等式求最值，考查学生变形能力，属于中档题．
18.如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地图中的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设米，已知围墙包括的修建费用均为每米500元，设围墙包括的修建总费用为y元．
求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；
当x为何值时，围墙包括的修建总费用y最小？
并求出y的最小值．
【答案】解：
设米，则由题意得，
且，故，可得，
则，
所以y关于x的函数解析式为
，
当且仅当，即时等号成立．
故当x为40米时，y最小，y的最小值为120000元．
【解析】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，确定函数模型是关键．
根据面积确定AD的长，利用围墙包括的修建费用均为500元每米，
即可求得函数的解析式
根据函数的特点，满足一正二定三取等号的条件，利用基本不等式，
即可确定函数的最值．
19.已知，求函数的最大值．
已知，，且，求的最小值．
【答案】解：
，，
函数，当且仅当时取等号，
函数的最大值是1．
，，且，
，当且仅当时取等号．
的最小值是4．
【解析】由于，可得，变形函数，利用基本不等式的性质即可得出．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
20.若正数a，b满足．
求ab的取值范围．
求的取值范围．
【解析】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
正数a，b满足，可得，解出即可得出．
正数a，b满足，可得，解出即可得出．
21.已知不等式的解集为或
求实数a，b的值；
若，，求的最小值．
【答案】解：
根据题意，不等式的解集为或，
则方程的两个根是1和4，
则有，，
即，；
由知，
因为，所以，所以
所以
当且仅当，即时，等号成立所以的最小值为9．
【解析】根据题意，分析可得方程的两个根是1和4，由根与系数的关系分析可得，，解可得a、b的值；学_科网
由知的解析式，由基本不等式分析可得答案．
本题考查一元二次不等式的解法以及基本不等式的应用，关键是求出a、b的值．
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