（2）能否举例说明“指数爆炸”增长的含义?
提示:
如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别
快,足以体现“爆炸”的效果.
2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是（）
A.y减少1个单位B.y增加1个单位
C.y减少2个单位D.y增加2个单位
【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.
3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份
利润的m倍,则m等于（）
A.（1.02）12B.（1.02）11C.（0.98）12D.（0.98）11
【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a（1+2%）11,故
m=（1.02）11.
4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是.
【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判
断出y=3x的增长速度最快.
答案:
y=3x
5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.
【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数
模型或对数型函数模型的增长速度.
答案:
幂函数或对数型
【知识探究】
知识点几类函数模型的增长差异
观察图形,回答下列问题:
问题1:
函数t（x）,f（x）,g（x）,h（x）随着x的增大,函数值有什么共同的
变化趋势?
问题2:
函数t（x）,f（x）,g（x）,h（x）增长的速度有什么不同?
【总结提升】
1.四类不同增长的函数模型
（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
（2）增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.
（3）增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.
（4）增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.
2.几类函数模型的选择
（1）一次函数模型:
当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y
是x的一次函数,一次函数的图象为直线.
（2）二次函数模型:
二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次
函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.
（3）指数函数模型、对数函数模型:
当问题中每期（或每年、每段等）的
增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减
率、利息等现实生活联系紧密.
【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关
（1）阅读理解关:
一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读
审题,找出关键词、句,理解其意义.
（2）建模关:
即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.
（3）数理关:
运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.
【题型探究】
类型一几类函数模型的增长差异
【典例】1.（2015·怀柔高一检测）四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
1
25
100
225
400
625
900
y
2
2
32
1024
32768
1.1×106
3.4×107
1.1×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.32
5.32
5.91
6.32
6.64
6.91
关于x呈指数函数变化的变量是.
2.函数f（x）=1.1x,g（x）=lnx+1,h（x）=的图象如图所示,试分别指出
各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异（以1,e,a,b,c,d为分
界点）.
【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的
是哪一组?
提示:
由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.
2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?
1,e,a,b,c,d的含义
是什么?
提示:
关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲
线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.
【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加
值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量
y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.
答案:
y2
2.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f（x）=1.1x,曲线C2对应的函数是h（x）=,曲线C3对应的函数是g（x）=lnx+1.
由题图知,当0h（x）>g（x）;当1g（x）>h（x）;当ef（x）>h（x）;当ah（x）>f（x）;当bg（x）>f（x）;当cf（x）>g（x）;当x>d时,f（x）>h（x）>g（x）.
【方法技巧】常见的函数模型及增长特点
（1）线性函数模型:
线性函数模型y=kx+b（k>0）的增长特点是直线上升,
其增长速度不变.
（2）指数函数模型:
能用指数型函数f（x）=abx+c（a,b,c为常数,a>0,b>1）表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
（3）对数函数模型:
能用对数型函数f（x）=mlogax+n（m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1）表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.
（4）幂函数模型:
能用幂型函数f（x）=axα+b（a,b,α为常数,a≠0,α≠1）表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.
【变式训练】有一组数据如下表:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最
接近的一个是（）
A.v=log2tB.v=t
C.v=D.v=2t-2
【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v=
=-1≠1.5,代入C,得v==1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5.
经计算可知最接近的一个是选项C.
类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
【典例】（2015·赤峰高一检测）函数f（x）=2x和g（x）=x3的图象如图所
示.设两函数的图象交于点A（x1,y1）,
B（x2,y2）,且x1（1）请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.
（2）结合函数图象,判断f（6）,g（6）,f（2011）,
g（2011）的大小.
【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?
增加的速
度怎样?
它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?
提示:
曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.
又因为f
（1）>g
（1）,f
（2）（2）,f（9）g（10）,所以
1
【解析】
（1）C1对应的函数为g（x）=x3,C2对应的函数为f（x）=2x.
（2）因为f
（1）>g
（1）,f
（2）（2）,f（9）g（10）,所以
1x2.从图象上可以看出,当x1时,f（x）x2时,f（x）>g（x）,所以
f（2011）>g（2011）.又因为g（2011）>g（6）,所以f（2011）>g（2011）>
g（6）>f（6）.
【延伸探究】
1.（改变条件）若将“函数f（x）=2x”改为“f（x）=3x”,又如何求解
（1）
呢?
【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知
:
C1对应的函数为g（x）=x3,C2对应的函数为f（x）=3x.
2.（改变问法）本例条件不变,
（2）中结论若改为:
试结合图象,判断
f（8）,g（8）,f（2015）,g（2015）的大小.
【解析】因为f
（1）>g
（1）,f
（2）（2）,f（9）g（10）,所以
1x2.从图象上可以看出,当x1
当x>x2时,f（x）>g（x）,所以f（2015）>g（2015）.又因为g（2015）>g（8）,所以f（2015）>g（2015）>g（8）>f（8）.
【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是
观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数
是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
【补偿训练】（2015·包头高一检测）函数f（x）=lgx,g（x）=0.3x-1的图
象如图所示:
（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点,对f（x）,g（x）的大
小进行比较）.
【解析】
（1）曲线C1对应的函数为g（x）=0.3x-1,C2对应的函数为
f（x）=lgx.
（2）当0f（x）;当x1g（x）;当x>x2时,g（x）>f（x）;当x=x1或x=x2时,g（x）=f（x）.
【延伸探究】
1.（改变问法）本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系.
【解析】根据C2对应的函数关系式为f（x）=lgx,结合图象与x的交点为
（1,0）可知,x1<1;由于f（10）=lg10=1,g（10）=0.3×10-1=2,g（10）>
f（10）,根据图象,可知x2<10.
2.（改变问法）本题条件不变,试根据图象比较f（1.5）,g（1.5）,
f（2015）,g（2015）的大小.
【解析】由于f（3）=lg3>0,g（3）=0.3×3-1<0,f（10）=lg10=1,
g（10）=0.3×10-1=2,
g（10）>f（10）,结合图象可知3g（x）,故
f（1.5）>g（1.5）;由于x2<10,故当x>10时,g（x）>f（x）,故
g（2015）>f（2015）,又因为f（2015）>f（1.5）,所以
g（2015）>f（2015）>f（1.5）>g（1.5）.
类型三函数模型的选择问题
【典例】1.（2015·临汾高一检测）某公司为了适应市场需求,对产品
结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若
要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则
可选用（）
A.一次函数B.二次函数
C.指数型函数D.对数型函数
2.（2015·邯郸高一检测）某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为
50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.
方案一:
工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;
方案二:
工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需
付14元的排污费.问:
（1）工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资
金的前提下应选择哪种方案?
通过计算加以说明.
（2）若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?
【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢
”,联想到哪类函数的增长特性?
提示:
符合对数函数的增长特点.
2.典例2中要进行两种方案的选择,需对两种方案进行什么比较?
提示:
需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.
【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对
称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来
越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.
2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知
y1=（50-25）x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=（50-25）x-14×0.5x=18x.
（1）当x=3000时,y1=42000,y2=54000,因为y1（2）当x=6000时,y1=114000,y2=108000,因为y1>y2,所以应选择方案一处理污水.
【方法技巧】解函数应用题的四个步骤
第一步:
阅读、理解题意,认真审题.
读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括
出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实
现应用问题向数学问题的转化.
第二步:
引进数学符号,建立数学模型.
一般地,设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据已知条
件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系
式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立
数学模型.
第三步:
利用数学方法解答得到的常规数学问题（即数学模型）,求得结
果.
第四步:
再转译成具体问题作出解答.
【变式训练】（2015·抚顺高一检测）某文具店出售软皮本和铅笔,软
皮本每本2元,铅笔每枝0.5元,该店推出两种优惠办法:
（1）买一本软皮
本赠送一枝铅笔;
（2）按总价的92%付款.现要买软皮本4本,铅笔若干枝
（不少于4枝）,若购买铅笔数为x枝,支付款数为y元,试分别建立两种优
惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?
【解题指南】根据题意列出两个一次函数关系式,办法
（1）的函数模型
增长得快,办法
（2）的函数模型增长得慢.
【解析】由优惠办法
（1）得到y与x的函数关系式为:
y=2×4+0.5（x-4）=0.5x+6（x≥4,且x∈N）.
由优惠办法
（2）得到y与x的函数关系式为:
y=（0.5x+2×4）×92%=0.46x+7.36（x≥4,且x∈N）.令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且当4≤x<34时,0.5x+6<0.46x+7.36,当x>34时,0.5x+6>0.46x+7.36,即当购买铅笔数少于34枝（不少于4枝）时,用优惠办法
（1）合算;当购买铅笔数多于34枝时,用优惠办法
（2）合算;当购买铅笔数是34枝时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.
【补偿训练】有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费
方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计费,一个月中30小时以内（
含30小时）90元,超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两
家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小
时.
（1）设在甲中心健身活动x小时的收费为f（x）元,在乙中心健身活动x小
时的收费为g（x）元,试求f（x）和g（x）.
（2）问:
选择哪家比较合算?
为什么?
【解析】
（1）f（x）=5x,15≤x≤40,
（2）当5x=90时,x=18,
即当15≤x<18时,f（x）
当x=18时,f（x）=g（x）,
当18g（x）;
所以当15≤x<18时,选甲比较合算;当x=18时,两家一样合算;当18
易错案例几类函数模型的增长差异
【典例】（2015·白城高一检测）下列函数中随x的增大而增大且速度
最快的是（
）
A.y=exB.y=100lnx
C.y=x10D.y=100·2x
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗?
提示:
错误的根本原因在于影响指数型函数增长速度的量是指数函数
的底数,而非其系数,本题误认为100>,得出100·2x比ex增大
速度快的错误结论.
【自我矫正】选A.指数爆炸式形如指数函数.由于影响指数型函数增
长速度的量是指数函数的底数,因为e>2,所以ex比100·2x增大速
度快.
【防范措施】明确影响指数函数增长的因素
影响指数函数增长速度的量是指数函数的底数,而非其系数.如本
题y=ex与y=100·2x,底数e>2,因此系数对其影响可以忽略,故
y=ex的增长速度大于y=100·2x的增长速度.
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