损伤力学全套教学课件.ppt

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损伤力学,损伤力学是固体力学中近2O年发展起来的一门新分支学科，是材料与结构的变形和破坏理论的重要组成部分。

损伤力学是研究材料或构件在各种加载条件下，物体中的损伤随变形而演化发展直至破坏的过程的学科。

它与断裂力学一起组成破坏力学的主要框架，以研究物体由损伤直至断裂破坏的这样一类破坏过程的力学规律。

损伤力学是不仅是力学专业研究生的学位必修课程，也是面向机械、材料成型加工、土木工程、铁道、水利、能源、岩土工程等专业的研究生的一门选修课程。

先修课程：

弹性力学、塑性力学、断裂力学、张量分析与连续介质力学,损伤力学课程体系,课程主要内容,损伤力学简介一维损伤理论几何损伤理论损伤力学的连续介质热力学理论经典损伤模型损伤力学在断裂分析中的应用损伤测量及工程结构的损伤监测,教材及参考书,损伤力学基础，李灏著，山东科学技术出版社，1992损伤力学，余寿文，冯西桥编著，清华大学出版社，1997损伤理论及其应用，余天庆，钱济成，国防工业出版社，1993损伤力学教程,J.勒迈特著,倪金刚等译,科学出版社,1996损伤力学及其应用,李兆霞编著,科学出版社,2002,第一章损伤力学简介,第一节损伤力学的研究对象与内容,F-15C战斗机疲劳解体,力学学科的分类,一般力学：

研究对象是刚体。

研究力及其与运动的关系。

分支学科有理论力学，分析力学等。

固体力学：

研究对象是可变形固体。

研究固体材料变形、流动和断裂时的力学响应。

其分支学科有：

弹性力学、塑性力学、弹塑性力学、粘弹性力学、损伤力学、断裂力学、板壳理论等。

流体力学：

研究对象是液体，如气体或液体。

分支学科涉及到水力学、空气动力学等。

破坏力学的发展,破坏力学发展的三个阶段古典强度理论：

以强度为指标断裂力学：

以韧度为指标损伤力学：

以渐进衰坏为指标损伤力学定义细（微）结构不可逆劣化（衰坏）过程引起的材料（构件）性能变化变形破坏的力学规律,传统材料力学的强度问题,两大假设：

均匀、连续,断裂力学的韧度问题,均匀性假设仍成立，但且仅在缺陷处不连续,损伤力学的评定方法,均匀性和连续性假设均不成立,一、损伤力学的定义,DamageMechanicsContinuumDamageMechanics（CDM）损伤力学研究材料在损伤阶段的力学行为及相应的边值问题。

它系统地讨论微观缺陷对材料的机械性能、结构的应力分布的影响以及缺陷的演化规律。

主要用于分析结构破坏的整个过程，即微裂纹的演化、宏观裂纹的形成直至结构的破坏。

损伤力学与断裂力学的关系,损伤力学分析材料从变形到破坏，损伤逐渐积累的整个过程；断裂力学分析裂纹扩展的过程。

损伤力学的应用,二、损伤力学研究的范围和主要内容,损伤力学解决的基本问题,如何从物理学、热力学和力学的观点来阐明和描述损伤，引入简便、适用的损伤变量如何检测损伤、监测损伤发展规律、建立损伤演变方程如何建立初始损伤条件和损伤破坏准则如何描述和建立损伤本构关系如何将损伤力学的理论分析应用于工程实际问题,损伤的定义,损伤是指材料在冶炼、冷热工艺过程、载荷、温度、环境等的作用下，其微细结构发生变化，引起微缺陷成胚、孕育、扩展和汇合，从而导致材料宏观力学性能的劣化，最终形成宏观开裂或材料破坏。

细观的、物理学损伤是材料组分晶粒的位错、微孔栋、为裂隙等微缺陷形成和发展的结果。

宏观的、连续介质力学损伤是材料内部微细结构状态的一种不可逆的、耗能的演变过程。

各种材料的损伤机理,金属材料：

位错运动、晶间开裂聚合物：

分子长链之间的键带破坏复合材料：

纤维与基体之间的脱键陶瓷：

夹杂物与基体间的微分离混凝土：

集料与水泥之间的分离,金属材料的损伤机理,在剪应力作用下，原子间的结合键发生位错运动，从而导致材料发生塑性应变。

位错运动被某一微缺陷或微应力集中所终止，将产生一个约束区。

位错的多次终止产生微裂纹核。

晶间开裂夹杂物与基体间的分离,位错运动对材料断裂有两方面的作用：

引起塑性形变，导致应力松弛和抑制裂纹扩展；位错运动受阻，导致应力集中和裂纹成核。

例如：

位错塞积群的前端，可产生使裂纹开裂的应力集中。

位错型缺陷引起微裂纹,位错塞积模型,滑移带前端有障碍物，领先位错到达时，受阻而停止不前；相继释放出来的位错最终导致位错源的封闭；在障碍物前形成一个位错塞积群，导致裂纹成核。

位错反应,（101）,（001）,两个滑移带上位错的聚合形成裂口,位错墙侧移,刃形位错垂直排列位错墙滑移面弯折外力作用晶体滑移位错墙側移滑移面上生成裂纹。

晶间开裂,许多聚合物，尤其是玻璃态透明聚合物如聚苯乙烯、有机玻璃、聚碳酸酯等，在存储及使用过程中，由于应力和环境因素的影响，表面往往会出现一些微裂纹。

这些裂纹的平面能强烈反射可见光，形成银色的闪光，故称为银纹，相应的开裂现象称为银纹化现象。

银纹损伤,拉伸试样在拉断前产生银纹化现象，银纹方向与应力方向垂直,损伤的分类,宏观（变形状态）：

弹性损伤弹塑性损伤蠕变损伤疲劳损伤微观（损伤形式）：

微裂纹损伤（micro-crack）微孔洞损伤（micro-void）剪切带损伤（shearbond）界面（interface）,弹脆性损伤：

岩石、混凝土、复合材料、低温金属弹塑性损伤：

金属、复合材料、聚合物的基体，滑移界面（裂纹、缺口、孔洞附近细观微空间），颗粒的脱胶，颗粒微裂纹引起微空洞形核、扩展剥落（散裂）损伤：

冲击载荷引起弹塑性损伤；细观孔洞、微裂纹均匀分布孔洞扩展与应力波耦合疲劳损伤：

重复载荷引起穿晶细观表面裂纹；低周疲劳分布裂纹蠕变损伤：

由蠕变的细观晶界孔洞形核、扩展，主要由于晶界滑移、扩散蠕变疲劳损伤：

高温、重复载荷引起损伤，晶间孔洞与穿晶裂纹的非线性耦合腐蚀损伤：

点蚀、晶间腐蚀、晶间孔洞与穿晶裂纹的非线性耦合辐照损伤：

中子、射线的辐射，原子撞击引起的损伤，孔洞形核、成泡、肿胀,脆性损伤,当萌生一个细观裂纹而无宏观塑性应变时的损伤。

塑性应变小于弹性应变，即解理力小于产生滑移的力但大于脱键力。

特征：

损伤局部化程度较高。

延性损伤,拉伸时以“颈缩”为先导。

细颈中心承受三向拉应力,微空洞cavity首先在此形成,随后长大聚合成裂纹,最终在细颈边缘处,沿与拉伸轴45o方向被剪断,形成“杯锥”断口。

损伤与大于某一门槛值的塑性应变同时发生。

脆性试样断裂表面的照片韧性试样断裂表面的照片,脆性试样断裂表面的电镜照片韧性试样断裂表面的电镜照片,剪切屈服带,蠕变损伤,金属在高温下承载时，塑性应变中包含了粘性。

应变足够大时，产生沿晶开裂而引起损伤。

通过蠕变使应变率有所增长。

1、断口的宏观特征在断口附近产生塑性变形，在变形区域附近有很多裂纹，使断裂机件表面出现龟裂现象；由于高温氧化，断口表面往往被一层氧化膜所覆盖。

2、断口的微观特征主要为冰糖状花样的沿晶断裂形貌,低周疲劳损伤,高周疲劳损伤,当材料受到低幅值应力循环载荷时，细观塑性应变很小，但在微观水平的某些点处的塑性变形可能很高。

在这些点处只在一些平面上会产生穿晶微开裂。

失效的循环数很高，NR10000,复合材料拉伸断口,损伤的宏观测量,直接测量间接测量剩余寿命密度电阻率疲劳极限弹性模量塑性特征声速变化粘塑性特征,损伤变量和结构寿命预报,损伤演变依赖于：

延性失效或疲劳失效中的应力蠕变、腐蚀或辐照过程中的应力疲劳损伤时载荷循环周数,三、损伤力学的发展历程,Kachanov，1958，连续性因子和有效应力的概念Rabotnov，1963，损伤因子的概念Lemaitre，1971，损伤的概念重新提出Leckie&Hult,1974,蠕变损伤研究的推进70年代中末期，CDM的框架逐步形成Murakami，1980s，几何损伤理论80年代中Bui、Dyson、Krajcinovic、Sidoroff等人的工作对损伤力学的发展作出了重大的贡献90年代，细观损伤力学发展起来,1980年，国际理论与应用力学联合会再美国召开“用连续介质力学方法对损伤和寿命进行预测”的研讨会1981年，欧洲力学委员会在巴黎召开了第一次损伤力学国际会议1982年，美国召开了第二次关于损伤力学的国际学术会议1982年，中国首次召开了全国损伤力学学术讨论会1986年，法国召开了断裂的局部方法国际学术会议，使损伤理论用于工程结构向前推进了一步,第二节损伤力学的研究方法与基本理论,连续损伤力学（ContinuumDamageMechanics,CDM）将具有离散结构的损伤材料模拟为连续介质模型，引入损伤变量（场变量），描述从材料内部损伤到出现宏观裂纹的过程，唯像地导出材料的损伤本构方程，形成损伤力学的初、边值问题，然后采用连续介质力学的方法求解过程：

选取物体内某点的代表性体积单元定义损伤变量建立损伤演化方程建立损伤本构方程根据初始条件、边界条件求解，判断各点的损伤状态、建立破坏准则,细观损伤力学（Meso-DamageMechanics,MDM）根据材料细观成分的单独的力学行为，如基体、夹杂、微裂纹、微孔洞和剪切带等，采用某种均匀化方法，将非均质的细观组织性能转化为材料的宏观性能，建立分析计算理论过程：

选取物体内某点的代表性体积单元，需满足尺度的双重性连续介质力学及热力学分析膝关节够的损伤演化、变形通过细观尺度上的平均化方法将细观结果反映到宏观本构、损伤演化、断裂等行为上,能量损伤理论：

以连续介质力学和热力学为基础损伤过程视为不可逆能量转换过程由体系的自由能和耗散势导出损伤演化方程和本构关系金属及非金属材料的损伤,几何损伤理论：

损伤度的大小和损伤的演化与材料中的微缺陷的尺寸、形状、密度及分布有关损伤的几何描述和等价应力的概念相结合岩石、混凝土结构的损伤分析,代表性体积单元,它比工程构件的尺寸小得多，但又不是微结构，而是包含足够多的微结构,在这个单元内研究非均匀连续的物理量平均行为和响应Lemaitre（1971）建议某些典型材料代表体元的尺寸为：

金属材料0.1mm0.1mm0.1mm高分子及复合材料1mm1mm1mm木材10mm10mm10mm混凝土材料100mm100mm100mm,连续损伤力学中的代表性体积单元,损伤变量,Rabotnov（1963）损伤度,Kachanov（1958）连续性因子,损伤本构方程,利用等效性假设根据不可逆热力学理论基于等效性假设的损伤本构方程（Lemaitre，1971）损伤材料的本构关系与无损状态下的本构关系形式相同，只是将其中的真实应力换成有效应力。

一维情形,根据不可逆热力学理论导出损伤本构方程：

损伤过程是不可逆热力学过程损伤材料存在一个应变能密度和一个耗散势利用它们，根据内变量的正交流动法则导出损伤应变耦合本构方程、损伤应变能释放率方程（即损伤度本构方程）和损伤演化方程的一般形式,一是定义损伤变量并将其视为内变量引入到材料的本构方程中，发展含损伤内变量的本构理论二是寻找基于试验结果之上的损伤演化方程归结为求塑性势函数和自由能函数建立损伤力学的全部方程-及其初边值问题与变分问题的提法-求解,小结：

第二章一维损伤理论,第一节损伤变量及有效应力,一、Kachanov（1958）连续性因子研究材料拉伸蠕变断裂时提出，材料力学性能劣化的机理是缺陷导致的承载面积减小。

取值范围：

无承载能力、破坏,无损伤,Cauchy应力：

有效应力：

二、Rabotnov（1963）损伤度,无承载能力、破坏,无损伤,三、Broberg,1975,对于不可压缩直杆,拉伸时:

于是有名义应力:

第二节应变等价性原理,Lemaitre名义应力作用在受损材料上引起的应变与有效应力作用在与之几何尺寸相同的无损材料上引起的应变等价.,例:

单轴拉伸、线弹性本构方程,产生损伤后，用取代，,也可将上式记为:

受损材料的弹性模量（有效弹性模量）,由可得：

进一步处理可得：

当加载至某一值时卸载，假定损伤不可逆，即卸载过程中的损伤不变，且E为无损时的弹性模量，是常量，,二者比较,卸载线的斜率，也称卸载弹性模量,一、Loland模型,Loland把混凝土单轴拉伸破坏的过程分为:

在整个试件范围内产生微开裂,在破坏区开裂,假设材料和损伤均为各向同性，损伤本构关系,利用实验曲线，拟合得到损伤演化方程：

峰值应变时的损伤,进而损伤本构关系可写为：

参数确定,利用条件：

二、Mazars模型,将整个拉伸破坏过程分成两段描述：

峰值应力前，应力应变为线性，只有初始损伤或无损伤；峰值应力后，材料损伤。

本构：

损伤演化方程：

损伤演化率：

1,余天庆建议将D的表达式改写如下：

单轴压缩时的损伤模型,等效应变：

Mazars认为：

应变张量：

材料无损伤,材料有损伤,本构方程：

损伤演化方程：

令：

三、分段线性模型（余天庆，1985）,把混凝土单轴拉伸破坏的过程分为:

只有初始损伤，线弹性,损伤扩展，分段线性的折线,当时，本构关系可表示为：

对应的损伤方程：

一般情况下采用断裂时的应变，若，由于当时，由上式可得：

四、分段曲线模型（钱济成，1989）,模型的提出基于这样一个事实，即一般的混凝土材料只有在加载初期，应力应变才呈现线性关系。

该模型认为无论峰值应变前还是峰值应变后，应力应变关系均为曲线。

损伤演化方程由实验结果拟合出：

为材料常数，可由边界条件确定：

为曲线参数,可由边界条件确定：

时，无损伤,时，损伤较小，裂纹扩展,时，损伤较大，有裂纹汇合,以作为对象变量：

分段曲线模型也可简化为双线性模型,由可得：

五、银纹（Craze）损伤模型,银纹是聚合物材料的一种典型损伤，是取向的高分子以纤维束的形式维系着银纹的两个银纹面，与裂纹有本质的区别。

特点：

聚合物在玻璃态下拉伸时，产生银纹银纹的出现标志着材料已受损伤银纹可以发展到与试件尺寸相当的长度银纹不会导致试件断裂类似金属断裂前产生的微孔,银纹近似于一个狭长的楔形,可出现在高分子材料表面或内部,其厚度从0.1到几个微米,长度为微米至毫米数量级。

银纹主要由微孔洞和在主应力方向上取向的纤维组成，微孔洞的体积百分比约为50%-80%、直径约为几到几十纳米；纤维直径约为几到几十纳米,根据其排列方向分为主纤维和横系纤维。

银纹出现后,高分子材料仍具有相当高的强度,甚至当银纹已扩展到整个截面时,高分子材料仍能承受载荷。

横向收缩时，假设纤维无断裂，设t时刻的有效面积为,定义损伤变量：

n为银纹区的纤维束数量,对于每一束纤维束来说，其截面积的演化有两个原因：

横向收缩与纤维断裂,假设应力和变形都是均匀的，则有：

体积压缩弹性模量,所以：

纤维断裂时,设纤维为粘弹性，满足Maxwell方程：

从而：

定义为第i束纤维束中的纤维数，则有：

是应力的函数,设，有：

对于恒定应力情况,略去演化方程中与的乘积项，且令,第四节一维蠕变损伤理论,一、材料的蠕变所谓蠕变就是材料在长时间的恒温、恒载荷作用下缓慢地产生塑性变形的现象。

由于这种变形而最后导致材料的断裂称为蠕变断裂。

严格地讲，蠕变可以发生在任何温度，在低温时，蠕变效应不明显，可以不予考虑；当约比温度大于0.3时，蠕变效应比较显著，此时必须考虑蠕变的影响，如碳钢超过300、合金钢超过400，就必须考虑蠕变效应。

蠕变的一般规律,第阶段；AB段，称为减速蠕变阶段（又称过渡蠕变阶段）。

第阶段：

BC段，称为恒速蠕变阶段（又称稳态蠕变阶段）。

第阶段：

cD段，称为加速蠕变阶段（又称为失稳蠕变阶段）。

当减小应力或降低温度时，蠕变第阶段延长，甚至不出现第阶段。

当增加应力或提高温度时，蠕变第阶段缩短，甚至消失，试样经过减速蠕变后很快进入第阶段而断裂。

高分子材料的蠕变：

第阶段：

AB段，为可逆形变阶段，是普通的弹性变形，即应力和应变成正比；第阶段：

BC段，为推迟的弹性变形阶段，也称高弹性变形发展阶段；第阶段：

CD段，为不可逆变形阶段，是以较小的恒定应变速率产生变形，到后期，会产生缩颈，发生蠕变断裂。

1、位错滑移蠕变机理材料的塑性形变主要是由于位错的滑移引起的，在一定的载荷作用下，滑移面上的位错运动到一定程度后，位错运动受阻发生塞积，就不能继续滑移，也就是只能产生一定的塑性形变。

在蠕变第阶段，由于蠕变变形逐渐产生变形硬化，使位错源开动的阻力和位错滑动的阻力逐渐增大，致使蠕变速率不断降低，因而形成了减速蠕变阶段。

在蠕变的第阶段，由于形变硬化的不断发展，促进了动态回复的发生，使材料不断软化。

当形变硬化和回复软化达到动态平衡时，蠕变速率遂为一常数，因此形成了恒速蠕变阶段。

二、蠕变变形机理,2、扩散蠕变机理在较高温度下，原子和空位可以发生热激活扩散，在不受外力的情况下，它们的扩散是随机的，在宏观上没有表现。

在外力作用下，晶体内部产生不均匀应力场，原子和空位在不同位置具有不同的势能，它们会有高势能位向低势能位进行定向扩散。

空位的扩散引起原子反向扩散，从而引起晶粒沿拉伸轴方向伸长，垂直与拉伸轴方向收缩，致使晶体产生蠕变。

3、晶体滑动蠕变机理晶界在外力的作用下，会发生相对滑动变形，在常温下，可以忽略不计，但在高温时，晶界的相对滑动可以引起明显的塑性形变，产生蠕变。

4、粘弹性机理高分子材料在恒定应力的作用下，分子链由卷曲状态逐渐伸展，发生蠕变变形。

当外力减小或去除后，体系自发地趋向熵值增大的状态，分子链由伸展状态向卷曲状态回复，表现为高分子材料的蠕变回复特性。

三、蠕变断裂机理,在高温长期服役过程中，由于蠕变裂纹相对均匀地在机件内部萌生和扩展，显微结构变化引起的蠕变抗力的降低以及环境损伤导致发生断裂另一种情况是高温工程机件中，初始裂纹扩展引起的，,1、蠕变极限：

表示材料对高温蠕变变形的抗力，有两种表示方法：

在给定的温度下，使试样在蠕变第二阶段产生规定稳态蠕变速率的最大应力，定义为蠕变极限。

在给定温度和时间的条件下，使试样产生规定的蠕变应变的最大应力，定义为蠕变极限。

2、持久强度：

是材料在一定的温度下和规定的时间内，不发生蠕变断裂的最大应力。

材料的持久强度是实验测定的，持久强度试验时间通常比蠕变极限试验要长得多，可达几万至几十万小时。

四、蠕变性能指标,五、蠕变损伤分析,-加载前的初始横截面积-加载后的外观横截面积-有效的承载面积-名义应力-Cauchy应力-有效应力,蠕变满足Norton定律：

有损伤的情况下忽略弹性变形：

无损伤,假设损伤演化方程也具有指数函数的形式：

设名义应力保持不变，由于材料的体积不可压缩条件,有效应力可表示为：

采用对数应变：

分三种情况讨论金属材料的蠕变断裂：

无损伤、延性断裂有损伤、脆性断裂同时考虑损伤与变形,1、无损伤、延性断裂,积分上式，并利用初始条件，可得：

延性断裂条件为，因而延性蠕变断裂时间：

Hoff，1953年,缺点：

忽略了扭转破坏无法解释小变形破坏,2、有损伤、脆性断裂,积分上式，并利用初始条件，可得：

脆性损伤断裂条件为，因而脆性蠕变断裂时间：

Kachanov，1958年,由演化方程定义的损伤是可以线性累积的,积分上式，并利用初始条件，可得：

此时的脆性蠕变断裂时间：

由于实际的蠕变损伤不可能线性累积，为此需改写损伤演化方程。

3、同时考虑损伤与变形,微分上式得：

上式为的控制方程，给定任意的加载历史，即可由其得到有效应力的变化过程。

定义损伤：

假想的有效承载面积,例：

如图示加载历史,01段：

由于加载的瞬间没有蠕变应变和损伤的演化，有：

12段：

由于加载的瞬间没有蠕变应变和损伤的演化，有：

积分上式，并利用初始条件，得：

由蠕变断裂条件，得蠕变断裂时间：

几种情况：

：

没有蠕变，则有：

：

既有蠕变又有损伤，则需要由数值积分计算。

应力较小时，可忽略蠕变变形应力较大时，可忽略损伤中等应力水平，需同时考虑,：

没有损伤，则有：

六、蠕变损伤测量,一般依靠测量刚度的变化来测量蠕变损伤,一般情况下，三期蠕变时，材料才有损伤，此时的应变包含两部分：

此时，仍满足Norton律：

同时，在二期蠕变中，对应的应变率稳定在某一固定值,比较二式，得：

第五节一维疲劳损伤理论,构件在变动应力和应变的长期作用下，由于累积损伤而引起的断裂的现象疲劳。

疲劳属低应力循环延时断裂，其断裂应力水平往往比静应力下材料的强度极限低，甚至比屈服极限低；不产生明显的塑性变形，呈现突然的脆断；对材料的缺陷十分敏感；疲劳破坏能清楚显示裂纹的萌生和扩展，断裂。

疲劳的分类,按应力状态：

弯曲疲劳、扭转疲劳、拉压疲劳、复合疲劳等。

按循环周期：

高周疲劳,因断裂应力低，所以也叫低应力疲劳；低周疲劳，由于断裂应力水平高，往往伴有塑性变形，故称为高应力疲劳（或应变疲劳）。

按破坏原因：

机械疲劳、腐蚀疲劳、热疲劳。

疲劳宏观断口的特征,断口拥有三个形貌不同的区域：

疲劳源、疲劳区、瞬断区。

疲劳源裂纹的萌生地；裂纹处在亚稳扩展过程中。

由于应力交变，断面摩擦而光亮。

随应力状态及其大小的不同，可有一个或几个疲劳源。

疲劳区（贝纹区）断面比较光滑，并分布有贝纹线。

循环应力低，材料韧性好，疲劳区大，贝纹线细、明显。

有时在疲劳区的后部，还可看到沿扩展方向的疲劳台阶（高应力作用）。

瞬断区一般在疲劳源的对侧。

脆性材料为结晶状断口；韧性材料有放射状纹理；边缘为剪切唇。

表示应力与应力循环次数N之间的关系曲线称为疲劳曲线。

疲劳曲线及疲劳极限,疲劳极限r对任一给定的应力循环特征r，当应力循环N0次后，材料不发生疲劳破坏的最大应力。

N0称为循环基数。

疲劳损伤机理,一、裂纹萌生常将0.05-0.1mm的裂纹定为疲劳裂纹核。

引起裂纹萌生的原因：

应力集中、不均匀塑性形变。

方式为：

表面滑移带开裂；晶界或其他界面开裂。

疲劳过程：

裂纹萌生、亚稳护展、失稳扩展、断裂。

二、疲劳裂纹扩展第一阶段：

沿主滑移系，以纯剪切方式向内扩展；扩展速率仅.1m数量级。

第二阶段：

晶界的阻碍作用，使扩展方向逐渐垂直于主应力方向；扩展速率m级；可以穿晶扩展，形成疲劳条纹。

-循环期间的最大应力值；-循环期间的最小应力值；-平均应力,-应力幅，-应力循环对称系数,特征参数：

110,疲劳损伤的累积律,1、线性累积律：

1945年Miner根据材料吸收净功的原理提出了疲劳线性累积损伤的数学表达式对于非等幅的循环荷载，这个原理表示为：

材料在破坏时有：

因此，此式即为线性疲劳累积损伤方程式，即Miner定律。

（等幅）,111,由线性累积损伤原理得：

在等幅循环荷载作用下，损伤的计算式很容易由上式得到：

最简单的疲劳损伤定义,112,采用线性累积损伤律时，损伤的演化可采用线性和非线性两种形式：

113,2、非线性累积律：

考虑应力幅影响的一种损伤演化方程在每个循环周期中：

积分上式：

114,Chaboche提出的损伤演化方程9,另一种演化方程,低周疲劳损伤,载荷高、塑性变形严重、应力变化不大，因而需要用应变作为控制参数。

应变幅：

弹性变形造成的损伤为：

积分上式得：

在弹性范围内：

积分上式得：

塑性变形部分的损伤关系是：

因而：

疲劳损伤测量,1、控制应力的加载过程：

应力幅恒定、测量应变幅的变化,Ramberg-Osgood硬化律：

含损伤后：

因而假定应力幅与应变幅之间的关系：

若无损伤，则同样载荷下的应变幅为：

若考虑横向收缩，则有：

所以：

若损伤出现前，应力幅为：

2、控制应变的加载过程：

应变幅恒定、测量应力幅的变化,含损伤后：

所以：

第三章几何损伤理论,Kachanov-Rabotonov一维理论的三维推广,无损状态,损伤状态,虚构的无损状态,第一节损伤张量,根据面积矢量定义：

为变形梯度，则有：

损伤张量可以定义为表观面积和实际受载截面积的差与表观面积之比，即：

为变形梯度的行列式,对损伤张量反对称部分引起的面积变化分析：

表明损伤张量反对称部分引起的面积变化总是垂直于原损伤受载面的方向，它不表征受载面上的面积变化。

因此，损伤张量可取为对称张量，并用主值表示为：

损伤张量存在三个互相垂直的损伤主方向。

损伤,虚构损伤,也可以直接按面积定义：

定义为Cauchy应力张量,为作用在PQR上的面力,第二节有效应力张量,则:

受损伤后,在有效承载面积P*Q*R*上还是受到同样的面力，所以：

定义有效应力张量:

损伤效应张量,作如下变换:

由于损伤而使应力增加的部分,注意：

有效应力张量是非对称张量,有效应力张量