高一数学潮汐问题.doc

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1.6三角函数模型的简单应用---潮汐问题

教学目标：

1、能正确分析收集到的数据，选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。

2、巩固三角函数的有关知识，会初步利用图象解三角不等式，巩固二分法求相应方程近似解。

3、培养学生数学应用意识；提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

教学重点：

 　　用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题

教学难点：

　　对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。

教学媒体：

 几何画板

教学流程：

给出出港口水深数据，提出问题

根据散点图形特征，选择适当的函数拟合

求解函数模型

利用函数模型解决实际问题

反思解题过程，总结解题方法，提炼数学思想

 教学过程：

 1．情景展示，新课导入

 2．问题提出，探究解决

 【师】若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？

 【生】水深情况。

 【师】是的，我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到有关那个港口的水深与时间的对应关系。

请同学们看下面这个问题。

 　　问题探究1：

如图所示，下面是钱塘江某个码头在今年春季每天的时间与水深的关系表：

时间

0.00

3.00

6.00

9.00

12.00

15.00

18.00

21.00

24.00

水深

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？

小组合作发现，代表发言。

可能结果：

1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。

 2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。

 3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。

4） 学生活动：

作图——更加直观明了这种周期性变化规律。

（研究数据的两种形式）

5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？

追问为什么类似正弦型函数（排除法，关键在于周期性）。

 （学生活动，求解解析式）

 　得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程，教师点明：

建模过程——选模，求模，验模，应用。

有了这个模型，我们大致可以知道哪些情况？

学生小组合作讨论回答，如周期、单调性、每时每刻的水深。

　学生计算几个值，最后教师呈现水深关于整点时间的数值表

时刻

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

水深

5.000

6.250

7.165

7.500

7.165

6.250

5.000

3.754

2.835

2.500

2.835

3.754

时刻

12.00

13.00

14.00

15.00

16.00

17.00

18.00

19.00

20.00

21.00

22.00

23.00

水深

5.000

6.250

7.165

7.500

7.165

6.250

5.000

3.754

2.835

2.500

2.835

3.754

【师】有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：

问题探究2：

一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：

该船何时能够进入港口？

在港口能呆多久？

 （师生一起分析）用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数学问题？

水深米

  得出，即，

 （师生齐分析）解三角不等式的方法

 令学生活动：

操作计算器计算， 结合电脑呈现图象

 　　发现：

在[0，24]范围内，方程的解一共有4个，从小到大依次记为：

 　　那么其他三个值如何求得呢？

（学生思考）

 　得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？

什么时间出港呢？

 　（学生讨论，交流）

可能结果：

【生1】货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。

　【生2】货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时30分，中午12时30分，或者傍晚17时30分左右出港。

……

 （学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）

　　刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？

请看下面问题：

问题探究3：

在探究2条件中，若该船在2：

00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

 　　（学生讨论）安全即需要：

实际水深安全水深，即：

 　　　，

 　　讨论求解方法：

用代数的方法？

几何的角度？

（电脑作图并呈现）

 　　通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。

那么P点的坐标如何求得呢？

（学生思考，讨论，交流）求 P点横坐标即解方程

数形结合，二分法求近似解：

  由图得点P点横坐标在[6，7]，故我们只需要算出6，6.5，7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。

时间

实际水深

安全水深

是否安全

6．0

5米

4．3米

安全

6．5

4．2米

4．1米

较安全

7．0

3．8米

4．0米

危险

 货船应该在6时30分左右驶离港口。

（可能有的同学有些异议，可以讨论）

 　从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后在驶回来。

这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？

那该怎么来做呢？

 （学生讨论）

 可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度。

 　 　问题探究4：

若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：

00开始卸货，货物卸空后吃水深度为2米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？

---探究3的变式（学生课后探究）

 3．课时小结，认识深化

 　（师生一起归纳）

 3-1回顾整个探究过程，经历了第一阶段：

收集数据-----画散点图

第二阶段：

根据图象特征---选模、求模、验模

第三阶段：

函数模型应用

 3-2在整个探究过程，我们用到数学常见的一些思想方法：

（1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；

（2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；

 （3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想；

 （4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。

4．教师演示激发学生思考并进一步探究：

生活中哪些现象与三角函数模型有关？

-----周期性

5．作业布置，延时探究

 　4-1电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次。

请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期。

 4-2请调查我们杭州某个地区的每天的用电情况，制定一项“消蜂平谷”的电价方案。

 　4-3一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？

收集其他有关数据，并提供理论证据支持你的结论。