第十一讲 计数原理教师版.docx
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第十一讲计数原理教师版
第十一讲计数原理
【知识要点】
1．分类计数原理的推广
完成一件事，有
类办法，在第1类办法中有
种不同的方法，在第2类办法中有
种不同的方法……在第
类办法中有
种不同的办法，那么完成这件事共有
种不同的方法．
2．分步计数原理的推广
完成一件事，需要分成
个步骤，做第1步有
种不同的方法，做第2步有
种不同的方法……做第
步有
种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法．
【课前小练】
1．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为（ ）
A．6 B．23C．42D．44
答案 B
解析 由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴由分步计数原理可知走法种数为23＝8.
2．（2015·衡水调研卷）为了应对乌克兰危机，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
答案 182
解析 甲、乙中裁一人的方案有C
C
种，甲、乙都不裁的方案有C
种，故不同的裁员方案共有C
C
＋C
＝182种．
3．2015年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为________．
答案 168
解析 分步考虑：
从8所高校中选2所，有C
种选法；依题意必有2位同学被同一所学校录取，则有C
C
种录取方法；另一位同学被剩余的一所学校录取．所以共有C
·C
·C
＝168种录取方法．
【例题解析】
题型一两个计数原理
例1
（1）全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【解析】 方法一 按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：
8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）．
方法二 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）．
【答案】 36
（2）已知
，
，
，则方程
所表示的不同的圆的个数有________．
【解析】 ∵
，∴a有3种方法，同理b的取法有4种，r有2种，又只有a，b，r依次确定后，才能确定圆，∴共有3×4×2＝24个不同的圆．
【答案】 24
归纳小结1 利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问题是分类，还是分步，必须由题而定．如
（1）题中完成这件事分4类即可；
（2）题中完成这件事，需分三步，这三步完成后这件事才算告终．
变式1
（1）设x，y∈N*，直角坐标平面中的点为P（x，y）．
①若x＋y≤6，这样的P点有________个．
②若1≤x≤4,1≤y≤5，这样的P点又有________个．
【解析】 ①当x＝1,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个，不同P点共有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）．
②x有1,2,3,4这4个不同值，而y有1,2,3,4,5这5个不同值，共有不同P点4×5＝20（个）．
【答案】 ①15 ②20
（2）设集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P（a，b）是坐标平面上的点，a，b∈M，P可以表示
①平面上多少个不同的点？
②第二象限内的多少个点？
③不在直线y＝x上的多少个点？
【思路】 要确定平面上点的坐标，需确定横纵坐标，可分两步完成，需用分步计数原理．
【解析】 ①分两步：
第一步，确定横坐标6种方法，第二步确定纵坐标有6种方法，根据分步计数原理得N＝6×6＝36.
②分两步；第一步确定横坐标（小于0）有3种方法；第二步确定纵坐标（大于0）有2种方法，根据分步计数原理得N＝3×2＝6.
③分两步：
第一步确定横坐标有6种方法；第二步确定纵坐标有5种方法．根据分步计数原理得N＝6×5＝30.
【答案】 ①36 ②6 ③30
例2
（1）春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况．
【答案】 45
（2）5名旅客投宿到一个旅店的3个房间，问共有多少种不同的住店方法？
【解析】 ①安排第1名旅客有3个房间（3种方法）．
②安排第2名旅客也有3个房间（3种方法），…….
∴共有3×3×3×3×3＝35（种）不同的住店方法．
【答案】 35
归纳小结2 解决计数问题时一定要明确研究的对象是什么？
怎样才能完成计数，本题给出解决此类问题的一种方法：
住店法．
变式2
（1）三封信投入到4个不同的信箱中，共有________种不同的投法．
【解析】 方法一：
只要三封信都投进了信箱，这件事就算完成，故分三步：
第一步，将第一封信投进信箱，有4种方法．
第二步，将第二封信投进信箱，有4种方法．
第三步，将第三封信投进信箱，有4种方法．
由分步计数原理得共有4×4×4＝64种不同投法．
方法二：
本题相当于3个人住4间店．
【答案】 64
（2）动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？
【解析】 方法一：
因为3只羊都被吃掉，故应分为三步，逐一考虑．每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉，故有4种可能，按照分步乘法计数原理，故有4×4×4＝43＝64种．
方法二：
本题相当于3个人住4间店．
【答案】 64
题型二两个原理的应用
例3
（1）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243 B．252C．261D．279
【解析】 由分步乘法计数原理知：
用0,1，…，9十个数字组成三位数（可有重复数字）的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B.
【答案】 B
（2）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．（用数字作答）
【解析】 解题的步骤为：
先选人，再打包，再分天．结果为C
C
C
＝140.
【答案】 140
归纳小结3 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法可能会采取分类的思想求．另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定．解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
变式3
（1）某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30种B．35种C．42种D．48种
【解析】 方法一：
分两种情况：
①2门A,1门B，有C
C
＝12种选法；②1门A,2门B有C
C
＝3×6＝18种，∴共有12＋18＝30种选法．
方法二：
排除法：
A类3门，B类4门，共7门，选3门，A，B各至少选1门，有C
－C
－C
＝35－1－4＝30种选法．故选A.
【答案】 A
（2）若将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【解析】 由分步乘法计数原理，先排第一列，有A
种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A
×2＝12种排列方法，选A.
【答案】 A
例4 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种（用数字作答）．
【解析】 方法一：
区域1有C
种着色方法；
区域2有C
种着色方法；区域3有C
种着色方法；
区域4,5有3种着色方法（4与2同色有2种，4与2不同色有1种）．
∴共有4×3×2×3＝72种不同着色方法．
方法二：
本小题在各类资料上都能找到影子，但所给图形变化后，需要有敏锐的观察力．本题能较深刻地测试逻辑思维能力．
因区域1与其他四个区域都相邻，宜先考虑．区域1有4种涂法．若区域2,4同色，有3种涂色，此时区域3,5均有两种涂法，涂法总数为4×3×2×2＝48种；若区域2,4不同色，先涂区域2有3种方法，再涂区域4有2种方法．此时区域3,5也都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1＝24种．因此涂法共有48＋24＝72种．
【答案】 72
归纳小结4 做为两个计数原理应用之一的“涂色问题”，曾是高考的热点，解决此类问题体现了两个原理的精髓．
变式4若给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有________种．
【解析】 方法一：
如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步．
当染边1时有3种染法，则染边2有2种染法．
（1）当3与1同色时有1种染法，则4有2种，5有1种，此时染法总数为3×2×1×2×1＝12（种）．
（2）当3与1不同色时，3有1种，①当4与1同色时，4有1种，5有2种；②当4与1不同色时，4有1种，5有1种．则此时有3×2×1×（1×2＋1×1）＝18（种）．
综合
（1）、
（2），由分类加法计数原理，可得染法的种数为30种．
方法二：
通过分析可知，每种色至少要涂1次，至多只能涂2次，即有一色涂1次，剩余两种颜色各涂2次．一次的有C
C
种涂法，涂2次的有2种涂法，故一共有2C
C
＝30种涂法．
【答案】 30
本课总结：
对于分类计数原理，要重点抓住“类”字，应用时要注意“类”及“类”之间的独立性和并列性，对于分步计数原理，要重点抓住“步”字，应用时要注意“步”与“步”之间的相依性和连续性，对于稍复杂问题，常常结合相关知识混合使用两个计数原理．
【课后练习】
1．从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是（ ）
A．10 B．15C．20D．25
答案 D
解析 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25（种）．
2．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）
A．5B．4C．6D．8
答案 D
解析 分类考虑，当公比为2时，等比数列可为1,2,4；2,4,8，当公比为3时，可为1,3,9，当公比为
时，可为4,6,9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有4×2＝8个．
3．（2014·安徽理）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对B．30对C．48对D．60对
答案 C
解析 先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征求解．
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8条，同理与DB成60°角的面对角线也有8条．因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对．又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96（对）．又因为每对被计算了2次，因此成60°的面对角线有
×96＝48（对）．
4．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的两件物品，则他抓的结果有________种．
答案 10
解析 设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c），共10种．
5.用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有________种．
答案 30
解析 由题意知每种颜色涂两个圆，共有5类，每类A
种涂法，所以总数为5A
＝30.
注：
将六圆依次编号①②③④⑤⑥，
可分如下5类：
①③，②⑤，④⑥，
①④，②⑤，③⑥，
①④，②⑥，③⑤，
①⑤，②④，③⑥，
①⑥，②④，③⑤.
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