高届高级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第五章 54.docx

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高届高级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第五章54

§5.4　复　数

1.复数的有关概念

（1）定义:

形如a＋bi（a,b∈R）的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部（i为虚数单位）.

（2）分类:

满足条件（a,b为实数）

复数的分类

a＋bi为实数⇔b＝0

a＋bi为虚数⇔b≠0

a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0

（3）复数相等:

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a,b,c,d∈R）.

（4）共轭复数:

a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c,b＝－d（a,b,c,d∈R）.

（5）模:

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模,记作|a＋bi|或|z|,即|z|＝|a＋bi|＝（a,b∈R）.

2.复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z（a,b）及平面向量＝（a,b）（a,b∈R）是一一对应关系.

3.复数的运算

（1）运算法则:

设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,a,b,c,d∈R.

（2）几何意义:

复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即＝＋,＝－.

概念方法微思考

1.复数a＋bi的实部为a,虚部为b吗？

提示　不一定.只有当a,b∈R时,a才是实部,b才是虚部.

2.如何理解复数的加法、减法的几何意义？

提示　复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）复数z＝a＋bi（a,b∈R）中,虚部为bi.（　×　）

（2）复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.（　×　）

（3）复平面中原点是实轴与虚轴的交点.（　√　）

（4）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.

（　√　）

题组二　教材改编

2.若复数z＝（x2－1）＋（x－1）i为纯虚数,则实数x的值为（　　）

A.－1B.0C.1D.－1或1

答案　A

解析　∵z为纯虚数,∴∴x＝－1.

3.在复平面内,向量对应的复数是2＋i,向量对应的复数是－1－3i,则向量对应的复数是（　　）

A.1－2iB.－1＋2iC.3＋4iD.－3－4i

答案　D

解析　＝＋＝－1－3i＋（－2－i）＝－3－4i.

4.若复数z满足（3＋4i）z＝1－i（i是虚数单位）,则复数z的共轭复数等于（　　）

A.－－iB.－＋i

C.－－iD.－＋i

答案　D

解析　由题意可得z＝＝＝,

所以＝－＋i,故选D.

题组三　易错自纠

5.（2020·山东模拟）已知a＋bi（a,b∈R）是的共轭复数,则a＋b等于（　　）

A.－1B.－C.D.1

答案　D

解析　由＝＝－i,

从而知a＋bi＝i,由复数相等得a＝0,b＝1,

从而a＋b＝1.

6.（2019·葫芦岛模拟）若复数z满足iz＝2－2i（i为虚数单位）,则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案　B

解析　由题意,∵z＝＝＝－2－2i,

∴＝－2＋2i,则z的共轭复数对应的点在第二象限.故选B.

7.（多选）对于两个复数α＝1－i,β＝1＋i,下列四个结论中正确的是（　　）

A.αβ＝1B.＝－i

C.＝1D.α2＋β2＝0

答案　BCD

解析　对于两个复数α＝1－i,β＝1＋i,

A项,αβ＝（1－i）（1＋i）＝2,故A不正确；

B项,＝＝＝＝－i,故B正确；

C项,＝＝1,故C正确；

D项,α2＋β2＝（1－i）2＋（1＋i）2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0,故D正确.故正确的结论为BCD.

复数的有关概念

1.（2019·河南省百校联考）已知i为虚数单位,则复数z＝的虚部为（　　）

A.iB.2C.－1D.－i

答案　C

解析　因为＝＝＝2－i,所以z的虚部为－1.

2.（2019·汉中模拟）已知a,b∈R,（a－i）i＝b－2i,则a＋bi的共轭复数为（　　）

A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i

答案　A

解析　由（a－i）i＝1＋ai＝b－2i,得

∴a＋bi＝－2＋i,其共轭复数为－2－i,故选A.

3.（2020·东莞模拟）已知a为实数,若复数（a＋i）（1－2i）为纯虚数,则a等于（　　）

A.－B.2C.D.－2

答案　D

解析　（a＋i）（1－2i）＝a＋2＋（1－2a）i,

∵复数是纯虚数,∴a＋2＝0且1－2a≠0,

得a＝－2且a≠,即a＝－2.故选D.

4.（2019·河南省八市重点高中联考）已知复数z＝＋2iz,则|z|等于（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　由题意得z＝＝＝＝,

故|z|＝＝,故选A.

思维升华　复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等,在解题过程中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.

复数的运算

命题点1　复数的乘法运算

例1　

（1）（2018·全国Ⅲ）（1＋i）（2－i）等于（　　）

A.－3－iB.－3＋iC.3－iD.3＋i

答案　D

解析　（1＋i）（2－i）＝2＋2i－i－i2＝3＋i.

（2）i（2＋3i）等于（　　）

A.3－2iB.3＋2iC.－3－2iD.－3＋2i

答案　D

解析　i（2＋3i）＝2i＋3i2＝－3＋2i,故选D.

命题点2　复数的除法运算

例2　

（1）（2018·全国Ⅱ）等于（　　）

A.－－iB.－＋i

C.－－iD.－＋i

答案　D

解析　＝＝

＝＝－＋i.

故选D.

（2）（2019·全国Ⅲ）若z（1＋i）＝2i,则z等于（　　）

A.－1－iB.－1＋iC.1－iD.1＋i

答案　D

解析　z＝＝＝＝1＋i.

命题点3　复数的综合运算

例3　

（1）（2020·达州模拟）已知z（1＋i）＝－1＋7i（i是虚数单位）,z的共轭复数为,则||等于（　　）

A.B.3＋4iC.5D.7

答案　C

解析　z＝＝＝3＋4i,

故＝3－4i⇒||＝5,故选C.

（2）（2019·天津市实验中学模拟）已知z1＝1＋i,z2＝1－i（i是虚数单位）,则＋＝________.

答案　0

解析　＋＝＋＝＋＝0.

思维升华　

（1）复数的乘法:

复数乘法类似于多项式的乘法运算.

（2）复数的除法:

除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.

跟踪训练1　

（1）已知a∈R,i是虚数单位,若z＝＋ai,z·＝4,则a为（　　）

A.1或－1B.1

C.－1D.不存在的实数

答案　A

解析　由题意得＝－ai,

故z·＝3＋a2＝4⇒a＝±1,故选A.

（2）（2019·晋城模拟）若＝m＋ni,其中m,n∈R,则m－n等于（　　）

A.B.C.－D.－

答案　B

解析　依题意,得＝

＝＝－－i,

所以m＝－,n＝－,所以m－n＝.故选B.

复数的几何意义

例4　

（1）（2019·江西省临川第一中学模拟）已知i为虚数单位,复数z满足z（1＋i）＝2－i,则在复平面上复数z对应的点位于（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案　D

解析　因为z＝＝＝＝－i,

所以复平面上复数z对应的点为,位于第四象限,故选D.

（2）已知集合A＝{z|（a＋bi）＋（a－bi）z＋2＝0,a,b∈R,z∈C},B＝{z||z|＝1,z∈C},若A∩B＝∅,则a,b之间的关系是（　　）

A.a＋b＞1B.a＋b＜1

C.a2＋b2＜1D.a2＋b2＞1

答案　C

解析　设z＝x＋yi,x,y∈R,

则（a＋bi）（x－yi）＋（a－bi）（x＋yi）＋2＝0,

化简整理得,ax＋by＋1＝0,即集合A可看成复平面中直线ax＋by＋1＝0上的点,集合B可看成复平面中圆x2＋y2＝1上的点,

若A∩B＝∅,即直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1没有交点,d＝＞1,即a2＋b2＜1,故选C.

思维升华　复数与复平面内的点、向量是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可.

跟踪训练2　

（1）（2019·临沂模拟）已知＝－1＋bi,其中a,b是实数,则复数a－bi在复平面内对应的点位于（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案　B

解析　由＝－1＋bi,

得a＝（－1＋bi）（1－i）＝（b－1）＋（b＋1）i,

∴即a＝－2,b＝－1,

∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应的点的坐标为（－2,1）,位于第二象限,故选B.

（2）已知复数z1＝－1＋2i,z2＝1－i,z3＝3－2i,它们所对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若＝x＋y,则x＋y的值是________.

答案　5

解析　由已知得A（－1,2）,B（1,－1）,C（3,－2）,

∵＝x＋y,

∴（3,－2）＝x（－1,2）＋y（1,－1）＝（－x＋y,2x－y）,

∴解得故x＋y＝5.

1.（2019·葫芦岛模拟）设i是虚数单位,若复数z＝1＋2i,则复数z的模为（　　）

A.1B.2C.D.

答案　D

解析　依题意,|z|＝＝,故选D.

2.（2019·北京）已知复数z＝2＋i,则z·等于（　　）

A.B.C.3D.5

答案　D

解析　∵z＝2＋i,∴＝2－i,z·＝（2＋i）（2－i）＝5.

故选D.

3.设z＝＋2i,则|z|等于（　　）

A.0B.C.1D.

答案　C

解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i,

∴|z|＝1.故选C.

4.已知复数z＝,则z＋在复平面内对应的点位于（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案　A

解析　∵z＝＝＝－＋i,

∴z＋＝＋i,

∴z＋在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故选A.

5.（2020·湖南省师范大学附属中学模拟）若复数z＝m2＋m＋（m＋1）i是纯虚数,其中m是实数,则等于（　　）

A.iB.－iC.2iD.－2i

答案　B

解析　复数z＝m（m＋1）＋（m＋1）i是纯虚数,

故m（m＋1）＝0且（m＋1）≠0,解得m＝0,

故z＝i,故＝＝＝－i.故选B.

6.（2019·安徽江南十校联考）已知复数z满足z2＝12＋16i,则z的模为（　　）

A.20B.12C.2D.2

答案　C

解析　设z＝a＋bi,a,b∈R,

则由z2＝12＋16i,得a2－b2＋2abi＝12＋16i,

则解得或

即|z|＝＝＝2.故选C.

7.（多选）下面是关于复数z＝的四个命题,其中的真命题为（　　）

A.|z|＝2B.z2＝2i

C.z的共轭复数为1＋iD.z的虚部为－1

答案　BD

解析　∵z＝＝＝－1－i,

∴|z|＝,z2＝2i,z的共轭复数为－1＋i,z的虚部为－1,故选BD.

8.（多选）设z1,z2是复数,则下列命题中的真命题是（　　）

A.若|z1－z2|＝0,则1＝2

B.若z1＝2,则1＝z2

C.若|z1|＝|z2|,则z1·1＝z2·2

D.若|z1|＝|z2|,则z＝z

答案　ABC

解析　对于A,若|z1－z2|＝0,则z1－z2＝0,z1＝z2,

所以1＝2为真；

对于B,若z1＝2,则z1和z2互为共轭复数,

所以1＝z2为真；

对于C,设z1＝a1＋b1i,z2＝a2＋b2i,

若|z1|＝|z2|,则＝,