冀教版九年级数学下册知识讲义30利用二次函数解决动点问题.docx

冀教版九年级数学下册知识讲义30利用二次函数解决动点问题.docx

《冀教版九年级数学下册知识讲义30利用二次函数解决动点问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《冀教版九年级数学下册知识讲义30利用二次函数解决动点问题.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

冀教版九年级数学下册知识讲义30利用二次函数解决动点问题

初中数学

利用二次函数解决动点问题

学习目标

一、考点突破

1.综合掌握二次函数的知识点，理解特殊与一般的关系。

2.掌握二次函数动点问题的解题方法，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）。

二、重难点提示

重点：

掌握动点问题的解题方法。

难点：

综合运用知识并解决实际问题。

考点精讲

1.什么是“动点型问题”？

所谓“动点型问题”，是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。

2.“动点型问题”的基本类型。

①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形的问题（相似、等腰三角形、面积）；

④求直线、抛物线的解析式；

⑤探究存在性问题。

3.“动点型问题”的解决方法。

解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题。

【要点诠释】

根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题。

典例精讲

例题1（工业园区二模）如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：

点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点。

当线段AM最短时，重叠部分的面积是。

思路分析：

先根据相似三角形的判定定理，得出△ABE∽△ECM，设BE＝x，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM的表达式，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积。

答案：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B，

又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，

∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM，

设BE＝x，

∴＝，即＝，∴CM＝－＋x＝－（x－3）2＋，

∴AM＝5－CM＝（x－3）2＋，

∴当x＝3时，AM最短为，

又∵当BE＝x＝3＝BC，

∴点E为BC的中点，

∴AE⊥BC，EF⊥AC

∴AE＝＝＝4，

∴EM＝＝＝，

∴S△AEM＝AM•EM＝××＝。

故答案为。

技巧点拨：

本题考查的是相似三角形的判定与性质及二次函数的最值问题，在解答此题时，要注意数形结合思想与函数思想的应用。

例题2（重庆）如图所示，抛物线y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。

（1）求A、B、C的坐标。

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N。

若点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求△AEM的面积。

（3）在

（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）。

若FG＝2DQ，求点F的坐标。

思路分析：

（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y＝0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标。

（2）设M点横坐标为m，则PM＝－m2－2m＋3，MN＝（－m－1）×2＝－2m－2，矩形PMNQ的周长d＝－2m2－8m＋2，将－2m2－8m＋2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x＝m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积。

（3）设F（n，－n2－2n＋3），根据已知，若FG＝2DQ，即可求得。

答案：

（1）由抛物线y＝－x2－2x＋3可知，C（0，3），

令y＝0，则0＝－x2－2x＋3，解得x＝－3或x＝1，

∴A（－3，0），B（1，0）。

（2）由抛物线y＝－x2－2x＋3可知，对称轴为x＝－1，

设M点的横坐标为m，则PM＝－m2－2m＋3，MN＝（－m－1）×2＝－2m－2，

∴矩形PMNQ的周长＝2（PM＋MN）

＝（－m2－2m＋3－2m－2）×2

＝－2m2－8m＋2

＝－2（m＋2）2＋10，

∴当m＝－2时，矩形的周长最大。

∵A（－3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：

y＝kx＋b，

解得k＝1，b＝3，

∴解析式y＝x＋3，当x＝－2时，则E（－2，1），

∴EM＝1，AM＝1，

∴S＝•AM•EM＝。

（3）∵M点的横坐标为－2，抛物线的对称轴为x＝－1，

∴N应与原点重合，Q点与C点重合，

∴DQ＝DC，

把x＝－1代入y＝－x2－2x＋3，解得y＝4，

∴D（－1，4）

∴DQ＝DC＝，

∵FG＝2DQ，∴FG＝4，

设F（n，－n2－2n＋3），则G（n，n＋3），

∵点G在点F的上方，

∴（n＋3）－（－n2－2n＋3）＝4，

解得：

n＝－4或n＝1。

∴F（－4，－5）或（1，0）。

技巧点拨：

本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中。

运用数形结合、方程思想是解题的关键。

提分宝典

【综合应用】

以抛物线为载体，矩形为背景创设存在性问题，是利用二次函数解决动点问题的常见题型，解答这类题型时，要注意数形结合，综合运用几何代数知识解决问题。

【针对训练】

（南平）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过A（－1，0），B（4，0）两点。

（1）求抛物线的解析式。

（2）若C（m，m－1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F。

①求证：

四边形DECF是矩形。

②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？

若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由。

思路分析：

（1）把A、B两点坐标代入解析式即可。

（2）①把C（m，m－1）代入y＝−x2＋x＋2求得点C的坐标，从而求得AH＝4，CH＝2，BH＝1，AB＝5，然后根据＝＝2，∠AHC＝∠BHC＝90°，得出△AHC∽△CHB，根据相似三角形的对应角相等求得∠ACH＝∠CBH，因为∠CBH＋∠BCH＝90°，所以∠ACH＋∠BCH＝90°，从而求得∠ACB＝90°，先根据有两组对边平行的四边形是平行四边形，求得四边形DECF是平行四边形，进而求得□DECF是矩形；②根据矩形的对角线相等，求得EF＝CD，因为当CD⊥AB时，CD的值最小，此时CD的值为2，所以EF的最小值是2。

答案：

（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过A（－1，0），B（4，0）两点，

∴根据题意，得0＝−−b＋c，0＝−8＋4b＋c，解得  b＝，c＝2，

所以抛物线的解析式为：

y＝−x2＋x＋2。

（2）①证明：

∵把C（m，m－1）代入y＝−x2＋x＋2，

得m−1＝−m2＋m＋2，解得：

m＝3或m＝－2，

∵C（m，m－1）位于第一象限，

∴m＞0，m−1＞0，

∴m＝－2舍去，

∴m＝3，

∴点C坐标为（3，2），

过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝∠BHC＝90°，

由A（－1，0）、B（4，0）、C（3，2）得  AH＝4，CH＝2，BH＝1，AB＝5

∵＝＝2，∠AHC＝∠BHC＝90°

∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH＝∠CBH，

∵∠CBH＋∠BCH＝90°，∴∠ACH＋∠BCH＝90°，∴∠ACB＝90°，

∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴四边形DECF是矩形；

2存在；连接CD

∵四边形DECF是矩形，

∴EF＝CD，

当CD⊥AB时，CD的值最小，

∵C（3，2），∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2。

技巧点拨：

本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上点的坐标的求法，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质等，本题是二次函数的综合性题，其难点是三角形相似的判定：

两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

同步练习

（答题时间：

30分钟）

1.如图，ABCD是边长为1的正方形，动点E在BC边上，∠AEF是直角，边EF交DC于F，当BE的长等于多少时，线段FC最长（　　）

A.B.C.D.

2.如图，Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）

A.（，）B.（2，2）C.（，2）D.（2，）

**3.如图，点A（a，b）是抛物线y＝x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）。

当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：

①ac为定值；②ac＝－bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点，正确的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

**4.点A，B的坐标分别为（－2，3）和（1，3），抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：

①c＜3；②当x＜－3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为－5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a＝−，其中正确的是（　　）

A.②④B.②③C.①③④D.①②④

5.已知抛物线y＝x2＋bx经过点A（4，0）。

设点C（1，－3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD－CD|的值最大，则D点的坐标为。

6.如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，且坐标分别为A（1，0），B（－1，0），若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转30°后D点转到D′位置，且D′在抛物线上，则抛物线的解析式为。

***7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（－4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H，设运动时间为t秒。

①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△

ADG重叠部分的面积；

②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标。

***8.如图1所示，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D。

（1）求k的值。

（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式。

（3）如图2所示，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值。

答案

1.D解析：

设BE＝x，则CE＝1－x，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，

∵∠AEF＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，

∴＝，∴＝，∴CF＝x（1－x）＝－（x－）2＋，

∵－1＜0，开口向下，

当x＝时，CF有最大值，即当BE＝时，线段CF的长最长，故选D。

2.C解析：

∵Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线y＝ax2上，

∴4＝a×（－2）2，解得：

a＝1，

∴解析式为y＝x2，

∵Rt△OAB的顶点A（－2，4），∴OB＝OD＝2，

∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，

∴CD∥x轴，∴点D和点P的纵坐标均为2，

∴令y＝2，得2＝x2，

解得：

x＝±，

∵点P在第一象限，∴点P的坐标为（，2），故选C。

3.C解析：

过A、B分别作AC⊥x轴于C、BD⊥x轴于D，

则：

AC＝b，OC＝－a，OD＝c，BD＝d；

（1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有：

＝，即＝

∴ac＝－bd（结论②正确）。

（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，

有：

b＝a2…Ⅰ、d＝c2…Ⅱ；

Ⅰ×Ⅱ，得：

bd＝a2c2，即－ac＝a2c2，ac＝－4（结论①正确）。

（3）S△AOB＝S梯形ACDB－S△ACO－S△BOD

＝（b＋d）（c－a）－（－a）b－cd

＝bc－ad

＝（bc－•）

＝（bc＋）

由此可看出，△AOB的面积不为定值（结论③错误）。

（4）设直线AB的解析式为：

y＝kx＋h，代入A、B的坐标，

得：

ak＋h＝b…Ⅲ、ck＋h＝d…Ⅳ

Ⅲ×c－Ⅳ×a，得：

h＝＝

＝－ac＝2；

∴直线AB与y轴的交点为（0，2）（结论④正确）。

综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④，故选C。

4.A解析：

∵点A，B的坐标分别为（－2，3）和（1，3），

∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），

又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，

抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），

∴c≤3，（顶点在y轴上时取“＝”），故①错误；

∵抛物线的顶点在线段AB上运动，

∴当x＜－2时，y随x的增大而增大，

因此，当x＜－3时，y随x的增大而增大，故②正确；

若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x＝1，

根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为－2－4＝－6，故③错误；

根据顶点坐标公式，＝3，

令y＝0，则ax2＋bx＋c＝0，CD2＝（－）2－4×＝，

根据顶点坐标公式，＝3，

∴＝－12，∴CD2＝×（－12）＝，

∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD＝AB＝1－（－2）＝3，

∴＝32＝9，解得a＝－，故④正确。

综上所述，正确的结论有②④。

故选A。

5.（2，－6）解析：

∵抛物线y＝x2＋bx经过点A（4，0），

∴×42＋4b＝0，∴b＝－2，

∴抛物线的解析式为：

y＝x2－2x＝（x－2）2－2，

∴抛物线的对称轴为：

直线x＝2，

∵点C（1，－3），

∴作点C关于x＝2的对称点C′（3，－3），

直线AC′与x＝2的交点即为D，

因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC。

而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD－CD|＜AC′。

所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD－C′D|＝AC′。

把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可。

设直线AC′的解析式为y＝kx＋b，

∴4k＋b＝0，3k＋b＝−3，解得：

k＝3，b＝−12，

∴直线AC′的解析式为y＝3x－12，

当x＝2时，y＝－6，

∴D点的坐标为（2，－6）。

6.y＝（x＋1）（x－1）（或y＝x2－）

解析：

根据题意，可设该二次函数的解析式为y＝a（x＋1）（x－1）（a≠0），

如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E，

∵A（1，0），B（－1，0），

∴AB＝2。

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝2，∠DAB＝90°，

又∵由旋转的性质知，∠DAD′＝30°，AD＝AD′＝2，

∴在Rt△AED′中，AE＝AD′cos60°＝2×＝1，D′E＝AD′sin60°＝2×＝，

∴D′（2，），

∵点D′在抛物线上，∴＝a（2＋1）（2－1），解得，a＝，

∴该二次函数的解析式是：

y＝（x＋1）（x－1）（或y＝x2－）。

7.解：

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（－4，0）两点，与y轴交于点B（0，3），

∴36a＋6b＋c＝0，16a−4b＋c＝0，c＝3，解得a＝−，b＝，c＝3，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3。

（2）①根据题意设E′（2t，t），∴t＝－×4t2＋×t＋3，

解得：

t＝2，t＝－3（舍去），

∴D（2，0），E′（4，2）

∵A（6，0），B（0，3），

∴直线AB为y＝－x＋3，

把x＝2代入得y＝－×2＋3＝2，

∴G（2，2），

∵D（2，0），E′（4，2），

∴直线DE′的解析式为y＝x－2，

解y＝−x＋3，y＝x−2，得x＝，y＝，

∴H（，），

∴S△DGH＝×2×（－2）＝，

∴t为2时点E′恰好在抛物线上，

此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积为；

②如图，∵A（6，0），D（2，0），E′（4，2），

以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，

则P1E′＝P2E′＝AD＝4，

∴P1（8，2），P2（0，2），

∵E′和P3关于x轴对称，

∴P3（4，－2）

所以点P的坐标为（8，2）或（0，2）或（4，－2）。

8.解：

（1）把A（2，1）代入y＝得k＝2×1＝2。

（2）作BH⊥AD于H，如图1所示，

把B（1，a）代入反比例函数解析式y＝得a＝2，

∴B点坐标为（1，2），∴AH＝2－1，BH＝2－1，

∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH＝45°，

∵∠BAC＝75°，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAH＝30°，

∴tan∠DAC＝tan30°＝；

∵AD⊥y轴，∴OD＝1，AD＝2，

∵tan∠DAC＝＝，

∴CD＝2，∴OC＝1，∴C点坐标为（0，－1），

设直线AC的解析式为y＝kx＋b，

把A（2，1）、C（0，－1）代入得：

2k＋b＝1，b＝−1，解得k＝，b＝−1，

∴直线AC的解析式为y＝x－1。

（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜1），

∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，

∴N点坐标为（t，t－1），∴MN＝－（t－1）＝－t＋1，

∴S△CMN＝•t•（－t＋1）

＝－t2＋t＋＝－（t－）2＋（0＜t＜1），

∵a＝－＜0，∴当t＝时，S有最大值，最大值为。