关于循环矩阵的计算.docx
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关于循环矩阵的计算
引言
循环矩阵的概念是TMuir于1885年首先提出来的，直到1950至1955年，Good等才分别对循环矩阵的逆、行列式及其特征值进行了研究⑴•从此拉开了对循环矩阵各个方面的研究的历史.
近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃和重要的研究方向[2-4]•它之所以引起广大数学研究者如此大的兴趣，主要是基于下面两个方面的原因：
一方面循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛的应用，比如在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学等领域.
另一方面由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛地应用于应用数学和计算数学的许多领域，如控制理论，最优化，求解（偏）微分方程，矩阵分解多目标决策，二次型化简及平面几何学等•本文主要利用循环矩阵的性质对其逆的求法、对角化、行列式计算等问题进行研究.
1、预备知识
1・1循环矩阵的概念
定义1.1形如
的矩阵称为循环矩阵.
定义1.2形如
「0
i
。
…
。
〕
。
★
。
-
i■■*
33
。
。
。
。
…
i
J
。
。
…
。
一
D二
-
'a0
an-1
ai
a。
a2…
ai…
an_J2
anJ
an4
an4
A=
1
an-2
I-
an4
a
a。
…
a+
an—4
anJ
9
ai
a2
a3
anJ.
a。
称矩阵A为复数域上的n阶循环矩阵，简记为^C（a0,a1,a2/,an-1）.
当印^2,…，a.,为实数域R上的n个数时，称矩阵A为实数域上的n阶循环矩阵，简记为A二R（a°,ai,a2,m）.
1.2循环矩阵的一些性质
设基本循环矩阵为
■0
1
0…
01
0
0
9'
1■■亠
99
0
0
0
0…
1
0
0…
0一
D=
显然，D,D2,…，Dn',Dn=1（n阶单位矩阵）都是循环矩阵且
=a0I+a1Da2D2亠亠an」DnJ!
f（x）二a°+aixa2X2亠亠an_）xn」,
A二f（D）,
此时
性质1.1
两个循环矩阵A,B的乘积仍为循环矩阵，且AB二BA.
证明设
Anaol+aQa2D2an」Dn」=f（D）
2n_1
B二b0lb1Db2Dbn4D=g（D）
因Dn^Dk（k为非负整数，D0=1），
因此，AB=f（D）g（D）=g（D）f（D）=h（D）=BA.
这里h（x）是一个不高于n-1次的多项式，由此知AB是n阶循环矩阵，且
AB二BA.
性质1.2可逆的循环矩阵的逆矩阵仍是循环矩阵.
证明由性质1.1知，只要能找到循环矩阵
n-1
B=b0lb1Db2Dbn/D二g（D）
其中，bo,bi,b2……为待定常数.
使得AB=1即可，其中A为可逆的循环矩阵:
an」boia」b32abn」=Oi
由于A可逆，故
AT|=Aho•
方程组（i.i）有且仅有唯一的解bo,bi,b2……bn」,而B就是A的逆矩阵，且B也是循环矩阵.
性质1.3任何一个循环矩阵A在复数域上都与一个对角矩阵相似.
证明由文献⑸知，n阶循环矩阵D的特征值为
.2k兀亠..2kn
k=cosisin2
knn（k=0,i,2,n-i）（丨=T）.
由于-j（^j），由文献⑹知，D相似于对角矩阵
'…=diag（o,i,…\^）
即存在可逆矩阵P，使得
P’DP=上.
设A二aOl+a1Da2D2
则A相似于对角矩阵
an」Dn■'二f（D），是任意一个n阶循环矩阵,
diag{f（o）,f（i）,f（'n4）}.
事实上，D=P-'；P4
_1.1.1n4
A=f（D）=f（P-'；P）=a°laiP上Pan/（P'；P）
_1
二Pdiag{f（o）,f（i）f（n」）}P.
2、循环矩阵的求逆
循环矩阵的逆可以用初等变换法、伴随矩阵法、分块矩阵法等一般的方法来求解，但作为一类特殊的矩阵，如果用这些方法来求逆未免太麻烦•下面给出的方法比现有的方法简单，适用的范围更广.
定理2.1⑶设n维向量eT=（1,0,0，…，0）,矩阵B=（A®，对矩阵B进行初等变换，使矩阵A变成单位矩阵，如果e变为，那么
M!
M2M3Mn_1Mn
MnMiM2…M」2M—
1・
A—MnAMnM1Mn_3Mn_2
aaaaaa
M2M3M4…MnM1
证明由于循环矩阵的逆为循环矩阵，因此可以设A的逆为
1
X
X2
X3…
Xn4
Xn
Xn
X1
X2…
Xnd
Xn_1
八-1
A=
xnA.
a
Xn
a
X1…
aa
XnJ3
Xnd
_X2
X3
X4…
Xn
X1
由于
AA」二E
从而X1,X2,,Xn是方程组
a1治+
a2x2…+
nanX+1
naKX
anX+
a炉…+
na21
_na1希刃
a才…+
-
a3-4^1
_a2=X）
（21）
[a2人+
asV+
na1
a亍0
的解•此方程的系数矩阵就是A，增广矩阵为B=（Ae），根据方程组的理论只要将B进行初等变换，使矩阵A变成单位矩阵，如果e变为（M1,M2/,Mn）T，那么
方程组（2.1）的解为捲=M仆x2=M2,…,Xn从而
AJ
M1
Mn
Mn」
m2
M1
Mn
M3
M2
M1
MnJ
Mn_2
Mn」
Mn
MnJ
Mn_2
M3
M4
Mn
M1
1
2
1
卫
0
1
2
1
1
0
1
2
2〔
1
0
1
的逆
因为
■1
2
I1
0
1
2
1
1
0
1
2
2
10I
匚
X1
X2
X3
X4
1
0
0
0
的解为
I.X-I
X3
X4
从而
AJ
1
3
I2
3
1
I3
1
IL3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
.21
3
1
3
1
3
1
3一
定理
3.2⑷
设n阶循环矩阵的分块矩阵为
a」A
一A
A?
〕
A
阶矩阵，则
（1）A可逆的充要条件是A和A-A2A4」A3为可逆矩阵.
（2）如果A和A-A2AHA3可逆且A-A2A/A3的逆为
证明
（1）由分块矩阵的理论知
_E
1
-AzA^-
Az!
-E
1
oL「a—人2“人ol
E_
%
Aa,
E「0A4一
两边取行列式得
从而AHO的充要条件是
Aj式0且A—AzA/A,式0.
（2）由于当A4和A-AzA/a,可逆，A的逆为
-]—A/A3R4a/十a/ar'AzA/一
其中R=A-AA'a,，又因为AJ为循环矩阵.所以A」为（2.2）的形式.
根据定理2.2的
（2）,求n阶循环矩阵的逆可以进行分块，分块的原则是以
-1阶顺序主子式为一块，共分成四块，这样就可以将n阶循环矩阵的逆转化
_2
成一个「阶循环矩阵的逆,
-
1
0
1
2
3
1
0
1
例2求A=
2
3
1
0
1
2
3
1
0
1
2
3
从而给问题的解决带来很大的简便.
31
2
1的逆矩阵.
0
1
解根据定理（22）的结论
（2）将矩阵A分块为A弋J
那么
8116
1
A1-A2A4Aa=8911
588一
从而
-1640-23
于是
II
19
-9
-
■-16
40
-23
19
-9|
A，=丄
_9
-16
40
-23
19
19
_9
—16
40
-23
77
-23
19
-9
-16
40
40
—23
19
—9
—16一
111
g-'AA3）=—-9-1640
3、循环矩阵的对角化问题
3.1循环矩阵的对角化
n阶矩阵A关于多项式函数f（x）生成的矩阵为f（A）,A的特征根与的f（A）特征根有下面的结论：
结论3.1设f（x）是一个n_1次多项式函数，若，是矩阵A的特征根，则f「）是矩阵f（A）的特征根.
结论3.2设f（x）是一个n-1次多项式函数，若矩阵A相似于矩阵B，则矩阵f（A）相似于矩阵f（B）.
考察n阶基本循环矩阵D,D的特征多项式为：
n-1也j
》E—D=丸"_1=口（&_qj）,^=en（i=J-1）
j=oo„
如果n阶循环矩阵A记为A=fA（D）=a0E•qD•a2D•…，an」D，不难求得
D与特征值j相应的特征向量，记:
（n』）j
nJn40
（X⑴，X（m））八*mk八.（mVU,
k=0k=Uk1,
将这个两两正交的向量X（j）单位化，可得标准正交基
令矩阵
于是有下面的结论:
结论3.3[5]任意n阶循环矩阵A=fA（D）在复数域C上都可对角化，即
T」AT=diag{fA（°）,fA
（1）,,fA（心）}•
在一类n阶可对角化的相似矩阵中，如果对角化的矩阵为：
B=diag（b。
％,d」）
由结论3.3,只要令fA（j）=bj（j=0,12…，n-1）即可得n个关于a。
©,的线性方程组•又由于矩阵T及特征根口由n阶矩阵K确定，且|T严0•所以，多项式函数f（x）中的系数a。
©,…，务」是唯一确定的[6]•于是，循环矩阵A二fA（D）是唯一确定的•因此，可得出在一类可对角化的相似矩阵中，一定含有且仅含有一个循环矩阵•否则，就不对角化
F面以四阶循环矩阵举例说明:
解令f（X）=12X3X24X3得
由于
所以，A的特征根分别为：
0123
fA（）=10,fA（）—2-2i,fA（）—2,fA（H-22i
其中，
-
11
11
[
1
1
1
1
T=丄
1i
-1-i
，宀
1
i
-1
-i
2
1-1
1-1
1
-1
1
-1
-
1-i
-1i_
1I
1
-i
-1
i
可以验证
T」AT二diag（10,—2—2i,—2,—22i）.
3.2—般矩阵对角化与循环矩阵的关系
称多项式f（x）二逐•ajx•a2X2•an'xn‘为循环矩阵A的生成多项式.
定理3.1[8]n阶矩阵P可以对角化的充要条件是P相似于一个n阶循环矩阵.
证明一方面，若n阶矩阵P与循环矩阵A相似，由于A可以对角化，所以P也
可以相似对角化.
反过来，若n阶矩阵P可以对角化，总存在n阶循环矩阵A与之相似.
事实上，设Q’PQ二diagC1,鼻厂，’n），若能得到A的生成多项式则A就被唯一确定了.为此令
f（；Q='k1,k=0,1；,n-1.
即
其中，；0=1.
这个非齐次线性方程组的系数行列式是Vandermonde行列式，从而不等于0,
于是该方程组有唯一解（a。
®,…，an」），则f（x）被唯一确定.
此时
1
TAT=diag（f
（1）,f（；i）,f（①,,f（^nj））=diag（'i,2/,'n）
即
11
TAT=QPQ
所以存在循环矩阵A与矩阵P相似.
定理3.2[9]设P和Q是两个n阶复矩阵，则它们可以同时对角化（即CJAC和C’BC均为对角形）的充要条件是存在可逆矩阵C及两个多项式f（x）和g（x）使得
P二C’f（B）C,Q二C，g（B）C
其中，B为基本循环矩阵.
4、循环矩阵的行列式计算及应用
引理4.1[10]设A是以az?
…，务为元素的n阶循环矩阵，贝U矩阵A的行列式
A=f（wjf（W2）…f（Wn），其中WiW,…，W3是n次单位根.
证明取
0i00
00i…0
33333
■aa■.aa
Jn=
000…i
'i00…0_
因为
010
00…0
J0=E，j：
=Jn，J；
:
:
:
:
…In匚
----，，Jn=E
00…0
100
所以Jn的特征值为方程Xn-1=0的根［11］，设为"「2,…
记
n1
A=aiEa2Jn''anJnf（Jn）
令
n1
f（x）=a1a2x亠亠anx
则由引理4.1知，A的特征值为f（“），f（，2）,,f（，n）•
故而
A=f（，1）f（，2厂f（，n）.
推论4.1设A是以务㈡?
…，an为元素的n阶循环矩阵，则A可逆的充分与必
要条件是f（x）=a^i•a2x一-anxn°与fn（x）二x-1互素，即（f（x）,xn'）=1.
证明由A=fg1）f©2）…f©n）,A可逆的充要条件是IAM，即fgp，a2x亠■亠anxn」与fn（x）=x-1没有公共根，从而（f（x）,xn‘）=1.
推论4.2若f（x^a1a2x亠•亠anxnJ与fn（x）=x-1互素，则
2n_12n_1
f,x）=ana/a?
xa.”，f2（x）=an」a.xa/，:
fn4（x）=a2•a3x•…，anxn，-a1xnJ都与fn（x）二xT互素.
证明因为分别以f1（X）,f2（X），…，fn」（x）的系数为元素的循环矩阵和以f（x）的
系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论4.1便可推出此推论.例4［12］设A二［1,2,3，,n］，求矩阵A的行列式.
解因为
A二［1,2,3，,n］
所以
123
n12
A=n-1n1
n
n—1
n—2=f（d）f（灼2）…f（们n）,
其中，-'1/'2^'/'n是f（x）=xn-1的根，而f（x）=12x3x………nxn，,
通过计算得
A=（-1）
（n•1）nn，
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（2）：
131-132.
在四年的大学学习和生活中，我得到了来自学院老师、亲人、同学对我多方面的关怀及帮助，使我得以顺利地走过了我人生道路上重要的一段旅程•我深深的感谢他们，并将以此激励我在今后的学习、工作和生活中不断进取！
本文的完成离不开黄保军老师和刘凯老师的热情指导，他们在本文的内容研究和文章撰写过程中都给予我细心指导，并提出了宝贵意见•他们渊博的学识，严谨的治学态度和一丝不苟的教学精神，使我受益匪浅.
同时，感谢所有给予我帮助的老师和同学，正是在他们的帮助下，我的论文才得以顺利完成.
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