概率论与数理统计课程练习计算题docx.docx
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概率论与数理统计课程练习计算题docx
三、解答题
1．设对于事件
A、B、C有P（A）P（B）P（C）
1/4，P（AB）
P（BC）0，
P（AC）
1/8，求A、B、C至少出现一个的概率。
解：
由于ABC
AB，从而由性质
4知，P（ABC）
P（AB）0，又由概率定义知
P（ABC）
0，所以
P（ABC）
0，从而由概率的加法公式得
P（AB
C）P（A）
P（B）
P（C）P（AB）P（AC）P（BC）
P（ABC）
1
1
5
3
8
8
4
2．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多
少
解：
设A表示：
“任意抽取的
5件中恰有
2件次品”。
则n（）
C5
。
5件产品中恰有
2件
10
次品的取法共有C32C73种，即n（A）
C32C73。
于是所求概率为
P（A）n（A）/n（）C32C73/
C105
35/84
3．一批产品共有10个正品
2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。
求：
（1）第二次取出的是次品的概率；
（2）两次都取到正品的概率；
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。
解：
设Ai表示：
“第i次取出的是正品”（i=1，2），则
（1）第二次取到次品的概率为
P（A1A2
10
2
2
2
1
A1A2）
12
12
12
6
12
（2）两次都取到正品的概率为
P（A1A2）P（A1）P（A2
|A1）
10
10
25
12
12
36
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为
P（A1A2）
1025
121236
4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
求：
（1）至少取到一个正品的概率；
（2）第二次取到次品的概率；
（3）恰有一次取到次品的概率。
解：
设A表示：
“第i次取出的是正品”（i
=1，2），则
i
（1）至少取到一个正品的概率
1P（A1A2）1P（A1）P（A2
2
1
65
|A1）1
11
66
12
（2）第二次取到次品的概率为
P（A1A2A1A2）P（A1）P（A2|A1）P（A1）P（A2|A1）
10
2
2
1
1
12
11
12
11
6
（3）恰有一次取到次品的概率为
P（A1A2A1A2）P（A1）P（A2|A1）P（A1）P（A2|A1）
10
2
2
10
10
12
11
12
11
33
5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：
（1）两件都是正品的概率；
（2）恰有一件次品的概率；
（3）至少取到一件次品的概率。
解：
设A表示：
“取出的两件都是正品是正品”；B表示：
“取出的两件恰有一件次品”；
C表示：
“取出的两件至少取到一件次品”；则
（1）两件都是正品的概率
C10215
P（A）
C12222
（2）恰有一件次品的概率
C1
C1
10
P（B）
10
2
C122
33
（3）至少取到一件次品的概率
P（C）1P（A）
C102
15
7
1
1
C122
22
22
6．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是，乙机床和丙机床需要
照看的概率分别是和。
求在一小时中，
（1）没有一台机床需要照看的概率；
（2）至少有一台机床不需要照看的概率。
解：
设A表示：
“没有一台机床需要照看”；B
表示：
“至少有一台机床不需要照看“；Ci
表示：
“第i台机床需要照看”（i=1，2，3）。
则A
C1C2C3；BC1
C2C3。
P（A）
P（C1C2C3）
P（C1）P（C2）P（C3）
（1P（C1））（1P（C2））（1P（C3））
0.04
P（B）
P（C1
C2
C3）
P（C1C2C3）
1P（C1C2C3）
1P（C1）P（C2）P（C3）0.76
7．在某城市中发行三种报纸
A、B、C，经调查，订阅A报的有50%，订阅B报的有30%，
订阅C报的有20%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有
8%，同时订阅B及C
报的有5%，同时订阅A、B、C报的有3%，试求下列事件的概率：
（1）只订阅A及B报；
（2）恰好订阅两种报纸。
解：
（1）P（ABC）P（AB
C）
P（ABABC）
P（AB）
P（ABC）0.10.03
0.07
（2）P（ABC
ABC
ABC）
P（ABC）
P（ABC）P（ABC））
0.070.020.050.14
8．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：
（1）取到的是白球的概率；
（2）取到的是黑球的概率。
解：
设Ai分别表示：
“取到的是黑球、红球、白球”（i=1，2，3），则问题
（1）化为求
P（A
|A）；问题
（2）化为求P（A
|A）。
由题意A1、A2、A3两两互不相容，所以，
3
2
1
2
（1）P（AA
）P（A
A
）
P（A）。
因此由条件概率公式得
3
2
3
2
3
P（A3
P（A3A2）P（A3）
0.2
2
|A2）
P（A2）
P（A2）
10.3
7
（2）P（A1A2）P（A1A2）P（A1）
P（A1
P（A1A2）P（A1）
0.5
5
|A2）
P（A2）
10.3
7
P（A2）
9．已知工厂A、B生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A、B的产品分别占60%和
40%的一批产品中随机抽取一件，求：
（1）该产品是次品的概率；
（2）若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率。
解：
设C表示“取到的产品是次品”；A“取到的产品是A工厂的”；
B“取到的产品是B工厂的”。
则
（1）取到的产品是次品的概率为
P（C）P（A）P（C|A）
P（B）P（C|B）
60
1
40
2
7
100
100
100
100
500
（2）若取到的是次品，那么该产品是
B工厂的概率为
P（B|C）
P（BC）
P（B）P（C|B）
P（C）
P（A）P（C|A）P（B）P（C|B）
402
1001004
77
500
10．有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。
由甲
袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。
解：
设A表示：
“由甲袋取出的球是白球”；
B表示：
“由甲袋取出的球是黑球”；
C表示：
“从乙袋取出的球是白球”。
则
P（C）
P（A）P（C|A）
P（B）P（C|B）
421
661
2
6
2
61
8
21
11．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中
1/2
是第一家工厂生产的，其余两家各
生产
1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有
2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件
产品，求：
（1）取到的是次品的概率；
（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。
解：
设事件A表示：
“取到的产品是次品”
；事件Ai表示：
“取到的产品是第i家工厂生产
的”（i1，2，3）。
则A1A2A3
，且P（Ai）0，A1、A2、A3两两互不相容，
（1）
由全概率公式得
3
1
2
1
4
1
5
13
P（A）
P（Ai）P（A|Ai）
100
4
100
4
100
400
i
1
2
（2）由贝叶斯公式得
P（A1）P（A|A1）
1
2
4
P（A1|A）=
2
100
3
13
13
P（Aj）P（A|Aj）
400
j1
12．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的
不合格率依次为、、和。
现从出厂的产品中任取一件，求：
（1）恰好取到不合格品的概率；
（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。
解：
设事件
A表示：
“取到的产品是不合格品”
；事件Ai表示：
“取到的产品是第
i家工厂
生产的”（i
1，2，3
）。
3
则Ai
，且P（Ai
）0，A1、A2、A3两两互不相容，由全概率公式得
i1
3
（1）P（A）
P（A）P（A|A）
i1
i
i
40
5
25
4
35
2
37/1000
100
100
100
100
100
100
（2）由贝叶斯公式得
P（A
|A）=
P（A2）P（A|A2）
2
3
P（Aj）P（A|Aj）
j1
0.25
0.04
10/37
37/1000
13．有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为
3/10、1/5、1/10、2/5，
而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为
1/4、1/3、1/12、1/8。
求：
（1）此人来迟的概率；
（2）若已知来迟了，此人乘火车来的概率。
解：
设事件A表示：
“此人来迟了”；事件Ai分别表示：
“此人乘火车、轮船、汽车、飞机
4
来”（i
1，2，3，4）。
则
Ai
，且P（Ai）
0，A1、A2、A3、A4两两互不相容
i
1
（1）由全概率公式得
4
P（A）P（Ai）P（A|Ai）
i1
3
1
1
1
1
1
2
1
1
10
4
5
3
10
12
5
8
5
（2）由贝叶斯公式得
3
1
3
P（A1|A）=4
P（A1）P（A|A1）
104
P（Aj）P（A|Aj）
1/5
8
j
1
14．有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10
只，第二箱30
只，其中一等品
18只，
今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回）
，试求：
（1）第一次
取到的是一等品的概率；
（2）两次都取到一等品的概率。
解：
设
i箱零件”（i
Bi
表示：
“第i次取到的是一等品”（i
Ai
表示：
“取到第
1，2）
1，2）；
；
则
（1）P（B1）
P（B1A1
B1A2）
P（B1A1）P（B1A2）
1
10
1
18
2
2
50
2
30
5
（2）P（BB
）
P（BB
2
ABB
A
）
P（B1B2A1）P（B1BA2）
1
2
1
1
1
2
2
1
（10）2
1
（18）2
1
2
50
2
30
5
15．设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以、、的概率被损坏而发生
断路，求电路发生断路的概率。
解：
设A表示：
“第i个电子元件被损坏”（
i=1，2，3），则有
（
A
）0.03
；
P（A）0.04
；
i
P
1
2
P（A3）
0.06。
依题意所求概率为
P（A1
A2A3）P（A1）
P（A2）P（A3）
P（A1A2）
P（A1A3）
P（A2A3）
P（A1A2A3）
0.03
0.04
0.06
0.03
0.04
0.04
0.06
0.03
0.06
0.03
0.04
0.06
0.124672
0.070.020.050.14
16．甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为，
求下列事件的概率：
（1）敌机被击中；
（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。
解：
设事件A表示：
“甲击中敌机”；事件B表示：
“乙击中敌机”；事件C表示：
“敌机被击中”。
则
（1）P（C）P（AB）1P（AB）1P（AB）
1
0.1
0.9
（2）P（AB）
P（A）P（B）
0.8
（10.5）0.4
（3）P（AB）
P（A）P（B）
（1
0.8）0.50.1
17．已知P（A）
1/4，P（B|A）
1/3，P（A|B）
1/2，求P（AB）。
解：
由于
P（A
B）
P（A）
P（B）
P（AB）
P（AB）
P（A）P（B|A）
1
1
1
4
3
12
P（AB）
1
1
P（B）
12
P（A|B）
1
6
2
所以
P（A
1
1
1
1
B）
6
12
3
4
18．设P（A）
0.3，P（B）
0.4，P（AB）0.5，求P（B|（AB））。
解：
由于
P（B|（A
B））
P（B（AB））
，
P（A
B）
B（AB）
BA
BBBA，A
AB
AB，AB
AB
，
而
P（BA）
P（A）
P（AB）
1
P（A）
P（AB）
0.705.
0.2，
P（A
B）
P（A）
P（B）P（AB）
0.71
0.4
05.
08.，
故
P（B|（AB））
P（B（AB））
0.21。
P（A
B）
0.8
4
19．设事件A、B相互独立，已知
P（A）
0.4，P（A
B）
0.7。
求：
（1）P（AB）；
（2）P（AB）
。
解：
由P（AB）P（A）P（B）
P（AB）0.7
即
0.4P（B）0.4P（B）0.7
解得
P（B）
0.5
所以
P（AB）
P（A）P（B）
0.4
（1
0.5）
0.2
P（A
B）
0.6
0.5
0.6
0.5
0.8
20．设A、B为随机事件，且
P（A）
0.5，P（B）
0.6，P（B|A）
0.8，求：
（1）P（AB）；
（2）P（AUB）。
解：
（1）P（AB）
P（A）P（B|A）
0.5
0.8
0.4
（2）P（A
B）
P（A）
P（B）
P（AB）
0.5
0.6
0.4
0.7
21．设事件A、B相互独立，已知
P（A）
0.5，P（A
B）0.8，求：
（1）P（AB）；
（2）P（AUB）。
解：
由条件
P（AB）
P（A）
P（B）
P（AB）
P（A）
P（B）
P（A）P（B）0.8
即
0.5P（B）
0.5P（B）0.8
解得P（B）
0.6，所以
（1）P（AB）P（A）P（B）0.50.40.2
（2）P（AB）P（A）P（B）P（AB）
0.50.40.50.40.7
22．设事件A与事件B相互独立，试证明：
（1）事件A与事件B相互独立；
（2）事件A与事件B相互独立；
（3）事件A与事件B相互独立。
证明：
（1）欲证明
A、B相互独立，只需证
P（AB）P（A）P（B）即可。
而
P（AB）
P（A
AB）
P（A）
P（A）P（B）
P（A）（1
P（B））
P（A）P（B）
所以事件A与事件B相互独立。
同理
（2）由于
P（AB）
P（B
AB）
P（B）
P（A）P（B）
P（B）（1
P（A））
P（A）P（B）
所以事件A与事件B相互独立。
（3）由于
P（AB）
P（A
B）
1
P（A
B）
1P（A）
P（B）
P（AB）
1
P（A）
P（B）P（A）P（B）
[1
P（
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