概率论与数理统计课程练习计算题docx.docx

1、概率论与数理统计课程练习计算题docx三、解答题1 设对于事件A 、 B、C 有 P( A) P( B) P(C)1/ 4 ， P( AB )P(BC ) 0 ，P( AC )1 / 8 ，求 A 、 B、 C 至少出现一个的概率。解：由于 ABCAB ，从而由性质4 知， P( ABC )P(AB ) 0 ，又由概率定义知P( ABC )0 ，所以P( ABC )0 ，从而由概率的加法公式得P( A BC ) P( A)P( B)P(C ) P( AB) P( AC) P( BC)P( ABC )11538842设有 10 件产品， 其中有 3 件次品 , 从中任意抽取 5 件，问其中恰有

2、2 件次品的概率是多少解：设 A 表示：“任意抽取的5 件中恰有2 件次品”。则 n( )C 5。5 件产品中恰有2 件10次品的取法共有 C32 C73 种，即 n( A)C32 C73 。于是所求概率为P( A) n( A) / n( ) C32 C73 /C10535 / 843一批产品共有 10 个正品2 个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）两次都取到正品的概率；（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：设 Ai 表示：“第 i 次取出的是正品” （ i =1， 2），则（ 1）第二次取到次品的概率为P( A1 A2102221A

3、1 A2 )121212612（ 2）两次都取到正品的概率为P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2| A1 )101025121236（ 3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为P( A1 A2 )10 2 512 12 364一批产品共有 10 个正品 2 个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回） 。求：（1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。解：设 A 表示：“第 i 次取出的是正品” （ i=1， 2），则i（ 1）至少取到一个正品的概率1 P( A1 A2 ) 1 P( A1) P( A22165| A1 ) 1116612

4、（ 2）第二次取到次品的概率为P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 )P( A2 | A1) P( A1 )P( A2 | A1)102211121112116（ 3）恰有一次取到次品的概率为P( A1 A2 A1A2 ) P( A1) P(A2 | A1 ) P( A1) P( A2 | A1 )1022101012111211335一批产品共有 10 件正品 2 件次品，从中任取两件，求：（1）两件都是正品的概率；（2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。解：设 A 表示：“取出的两件都是正品是正品” ； B 表示：“取出的两件恰有一件次品” ；C 表示：“取出的两件

5、至少取到一件次品” ；则（ 1）两件都是正品的概率C102 15P( A)C122 22（ 2）恰有一件次品的概率C 1C110P(B)102C12233（ 3）至少取到一件次品的概率P(C) 1 P( A)C10215711C12222226一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是和。求在一小时中，（1）没有一台机床需要照看的概率；（2）至少有一台机床不需要照看的概率。解：设 A 表示：“没有一台机床需要照看” ； B表示：“至少有一台机床不需要照看“；C i表示：“第 i 台机床需要照看” （ i =1， 2，3）。则 AC1C 2C 3

6、； B C1C 2 C 3 。P( A)P(C1C2 C 3 )P(C1 )P(C 2 ) P(C 3 )(1 P(C1)( 1 P(C 2 )( 1 P(C 3)0.04P(B)P(C1C 2C 3 )P(C1C2C3 )1 P(C1C 2C 3 )1 P(C1 )P(C2 ) P(C 3 ) 0.767在某城市中发行三种报纸A 、B、C ，经调查， 订阅 A 报的有 50%，订阅 B 报的有 30%，订阅 C 报的有 20%，同时订阅 A 及 B 报的有 10%，同时订阅 A 及 C 报的有8%，同时订阅 B 及 C报的有 5%，同时订阅 A 、 B、 C 报的有 3%，试求下列事件的概率

7、：（ 1）只订阅 A 及 B 报；（ 2）恰好订阅两种报纸。解：（ 1） P( ABC ) P( ABC )P( AB ABC )P( AB )P( ABC ) 0.1 0.030.07（ 2） P( ABCABCAB C )P( ABC )P(A BC ) P( AB C )0.07 0.02 0.05 0.148一盒子中黑球、红球、白球各占 50%、 30%、 20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。解：设 Ai 分别表示： “取到的是黑球、红球、白球” （ i =1， 2， 3），则问题（ 1）化为求P( A| A ) ；问题（ 2）化

8、为求 P( A| A ) 。由题意 A1 、A2 、A3 两两互不相容，所以，3212（ 1） P( A A) P( AA)P( A ) 。因此由条件概率公式得32323P( A3P( A3 A2 ) P( A3 )0.22| A2 )P( A2 )P( A2 )1 0.37（ 2） P( A1A2 ) P(A1 A2 ) P( A1 )P( A1P( A1 A2 ) P( A1 )0.55| A2 )P( A2 )1 0.37P( A2 )9已知工厂 A、 B 生产产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A、 B 的产品分别占 60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（ 1） 该产品是

9、次品的概率；（ 2） 若取到的是次品，那么该产品是 B 工厂的概率 。解：设 C 表示“取到的产品是次品” ； A “取到的产品是 A 工厂的”；B “取到的产品是 B 工厂的”。则（ 1） 取到的产品是次品的概率为P(C ) P( A) P(C | A)P( B)P(C | B)6014027100100100100500（ 2）若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率为P(B | C )P(BC )P( B) P(C | B)P(C )P( A) P(C | A) P( B)P(C | B)40 2100 100 47750010 有两个口袋，甲袋中盛有 4 个白球， 2 个黑球；乙袋中

10、盛有 2 个白球， 4 个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。解：设 A 表示：“由甲袋取出的球是白球” ；B表示：“由甲袋取出的球是黑球” ；C表示：“从乙袋取出的球是白球” 。则P(C )P( A)P(C | A)P(B)P(C | B)4 2 16 6 12626 182111设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4 ，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、 4%、 5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品 , 它是第一家工厂生产的概率。解：设事

11、件 A表示：“取到的产品是次品”；事件 Ai 表示：“取到的产品是第 i 家工厂生产的”（ i 1， 2， 3 ）。 则 A1 A2 A3，且 P( Ai ) 0 ， A1、 A2 、 A3 两两互不相容，（ 1）由全概率公式得312141513P ( A)P ( Ai ) P ( A | Ai )10041004100400i12（ 2）由贝叶斯公式得P( A1 ) P( A | A1 )124P( A1 | A) =210031313P( Aj )P( A | Aj )400j 112三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的 40%、25%、 35%，其产品的不合格率依次为、 、

12、和。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件A表示：“取到的产品是不合格品”；事件 Ai 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（ i1， 2， 3）。3则 Ai，且 P( Ai) 0 ， A1、 A2、 A3 两两互不相容，由全概率公式得i 13（ 1） P( A)P( A ) P( A | A )i 1ii40525435237 / 1000100100100100100100（ 2）由贝叶斯公式得P( A| A) =P( A2 ) P(A | A2 )23P( Aj )P( A | Aj )j 10.

13、250.0410 / 3737 /100013 有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10 、1/5 、1/10 、2/5 ，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4 、 1/3 、 1/12 、1/8 。求：( 1 ) 此人来迟的概率；( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。解：设事件 A 表示：“此人来迟了” ；事件 Ai 分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机4来”（ i1， 2， 3 ， 4）。则Ai，且 P( Ai )0， A1、 A2、 A3、 A4 两两互不相容i1（ 1）由全概率公式得4P( A)P( Ai ) P( A | Ai )i 13

14、11111211104531012585（ 2）由贝叶斯公式得313P( A1 |A) = 4P( A1 ) P( A | A1 )10 4P( Aj )P( A | Aj )1/ 58j114有两箱同类零件， 第一箱 50 只，其中一等品 10只，第二箱 30只，其中一等品18 只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回），试求：（1）第一次取到的是一等品的概率； （ 2）两次都取到一等品的概率。解：设i 箱零件” (iBi表示：“ 第 i 次取到的是一等品” (iAi表示：“ 取到第1， 2)1， 2) ；则（ 1） P( B1 )P(B1 A1B1 A2 )P(

15、B1 A1 ) P( B1 A2 )11011822502305（ 2） P( B B)P( B B2A B BA)P( B1 B2 A1 ) P( B1 B A2 )12111221(10 )21( 18 ) 21250230515 设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成， 它们分别以、的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。解：设 A 表示：“第 i 个电子元件被损坏” （i =1，2，3），则有(A) 0.03；P( A ) 0.04；iP12P( A3 )0.06 。依题意所求概率为P(A1A2 A3) P(A1)P(A2) P(A3 )P(A1A2)P(A1A3 )P(A2

16、 A3 )P( A1 A2 A3 )0.030.040.060.030.040.040.060.030.060.030.040.060.1246720.07 0.02 0.05 0.1416甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为，求下列事件的概率： ( 1 ) 敌机被击中；（ 2）甲击中乙击不中； （3）乙击中甲击不中。解：设事件 A 表示：“甲击中敌机” ；事件 B 表示：“乙击中敌机” ；事件 C 表示：“敌机被击中”。则（ 1） P(C ) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB )10.10.9（ 2） P( AB )P( A) P(B )

17、0.8(1 0.5) 0.4（ 3） P( AB)P( A) P(B)(10.8) 0.5 0.117 已知 P( A)1/ 4 ， P(B | A)1/ 3 ， P( A | B)1/ 2 ，求 P( A B) 。解：由于P( AB)P( A)P( B)P( AB )P( AB )P( A) P( B|A)1114312P( AB)11P(B)12P( A| B)162所以P( A1111B)6123418设 P( A )0.3 ， P( B)0.4 ， P( AB ) 0.5 ，求 P(B | ( A B) 。解：由于P( B|( AB )P(B( A B )，P( AB )B( A B

18、)BABB BA， AABAB， ABAB，而P( BA)P( A)P( AB )1P( A)P( AB )0.7 05.0.2 ，P( AB )P( A)P( B ) P( AB )0.7 10.405.08. ，故P( B|( A B )P( B( A B )0.2 1 。P( AB )0.8419设事件 A 、 B 相互独立，已知P( A)0.4 ， P( AB)0.7 。求：（ 1） P( AB ) ； （ 2） P( A B )。解：由 P( A B) P( A) P( B)P( AB) 0.7即0.4 P(B) 0.4 P(B) 0.7解得P(B)0.5所以P( AB )P(A)

19、P(B )0.4(10.5)0.2P( AB )0.60.50.60.50.820设 A 、 B 为随机事件，且P( A)0.5 ， P( B)0.6 ， P(B | A)0.8 ，求：（ 1） P( AB ) ；（ 2） P( A U B) 。解：（ 1） P( AB)P( A) P( B | A)0.50.80.4（ 2） P( AB)P( A)P( B)P( AB)0.50.60.40.721 设事件 A 、 B 相互独立，已知P( A)0.5， P( AB) 0.8 ，求：（1） P( AB ) ； （ 2） P( A U B ) 。解：由条件P( A B)P( A)P(B)P( AB

20、 )P(A)P( B)P( A)P( B) 0.8即0.5 P(B)0.5P( B) 0.8解得 P(B)0.6 ，所以（ 1） P( AB ) P( A) P(B ) 0.5 0.4 0.2（ 2） P( A B) P( A) P( B ) P( A B )0.5 0.4 0.5 0.4 0.722设事件 A与事件 B 相互独立，试证明：（1）事件 A与事件 B 相互独立；（2）事件 A与事件 B 相互独立；（3）事件 A与事件 B 相互独立。证明：（ 1）欲证明A、 B 相互独立，只需证P( AB ) P( A) P( B ) 即可。而P( AB )P( AAB)P( A)P( A) P(B)P( A)(1P( B)P( A) P( B )所以事件 A与事件 B 相互独立。同理（ 2）由于P( AB )P( BAB )P( B)P( A) P(B)P( B)(1P( A)P( A) P( B)所以事件 A与事件 B 相互独立。（ 3）由于P( AB )P( AB)1P( AB)1 P( A)P( B)P( AB )1P( A)P( B) P( A) P( B)1P(