高中数学 幂函数零点与函数的应用 板块三 函数的应用完整讲义学生版.docx

高中数学 幂函数零点与函数的应用 板块三 函数的应用完整讲义学生版.docx

《高中数学 幂函数零点与函数的应用 板块三 函数的应用完整讲义学生版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 幂函数零点与函数的应用 板块三 函数的应用完整讲义学生版.docx（41页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学幂函数零点与函数的应用板块三函数的应用完整讲义学生版

2019-2020年高中数学幂函数、零点与函数的应用板块三函数的应用完整讲义（学生版）

典例分析

题型一：

正比例、反比例和一次函数型

【例1】某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是元.

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

【答案】1200

【例2】某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是.

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

【答案】

【例3】某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。

根据此表所给的信息进行预测：

（1）如果不采取任何措施，那么到xx年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；

（2）如果从xx年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？

 观测时间

1996年底

1997年底

xx年底

xx年底

xx年底

该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）

0.xx

0.4000

0.6001

0.7999

1.0001

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数的图象。

将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，

求得k=0.2，b=0，

所以y=0.2x（x∈N）。

因为原有沙漠面积为95万公顷，则到xx年底沙漠面积大约为

95+0.5×15=98（万公顷）。

（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x－0.6（x－5）=90，

解得x=20（年）。

故到xx年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。

点评：

初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。

特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。

【答案】

（1）98（万公顷）

（2）xx年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷

【例4】已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明其中和均为常数；

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】xx年，安徽理，高考

【解析】（Ⅰ）令，则，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，则。

假设时，，则，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假设时，，则，而，∴，即成立。

∴成立。

点评：

该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。

而不是一味的向函数求值方面靠拢。

【答案】（Ⅰ）令，则，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，则。

假设时，，则，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假设时，，则，

而，∴，即成立。

∴成立。

【例5】某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？

并计算他一个月最多可赚得多少元？

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈[250，400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为

，x∈[250，400]．

因函数y在[250，400]上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.

【答案】当x=400时，y有最大值825元

【例6】某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电荷量为akW·h，本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.

（1）写出本年度电价下调后，电力部门的受益y与实际电价x的函数关系式；

（2）设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20%

（注：

受益＝实际用电量×（实际电价－成本价））？

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

（1）∵，

∴下调电价后新增的用电荷量为

∴本年度用电荷量为

∵受益＝实际用电量×（实际电价－成本价），∴

（2），∴

上年受益＝，∴

解得

即最低电价应定为元/.

答：

关系式为，最低电价为元/.

【答案】

（1），

（2）最低电价为元/.

【例7】我国从1990年至xx年间，国内生产总值（GDP）（单位：

亿元）如下表所示：

年份

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

xx

xx

xx

生产总值

18598.4

21662.5

26651.9

34560.5

46670

57494.9

66850.5

73142.7

76967.1

80422.8

89404

根据表中数据，建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型，并利用所建立的函数模型，预测xx年我国的国内生产总值.

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】由表中数据作出散点图，如右图所示.

根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近.选择1990年、xx年的数据代入，得

，解得.

所以，近似的函数模型为.

当x=xx时，y=160209.6，

即预测xx年我国的国内生产总值为160209.6亿元.

点评：

根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解决相应的问题.本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况.

【答案】预测xx年我国的国内生产总值为160209.6亿元

题型二：

二次函数型

【例8】一辆中型客车的营运总利润y（单位：

万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。

（A）4（B）5（C）6（D）7

x年

4

6

8

…

（万元）

7

11

7

…

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】表中已给出了二次函数模型

，

由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则

。

解得a=－1，b=12，c=-25，

即。

又

而取“=”的条件为，

即x=5，故选（B）。

点评：

一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。

【答案】B

【例9】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。

为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。

在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？

刹车时车速v/km/h

15

30

40

50

60

80

刹车距离s/m

1.23

7.30

12.2

18.40

25.80

44.40

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。

此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系。

根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。

假设变量v与s之间有如下关系式：

，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）。

再在散点图中任意选取两点A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是

。

（代入其他数据有偏差是许可的）

将s=15.13代入得

，

解得v≈45.07。

所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。

【答案】汽车在刹车时的速度是45.07km/h

【例10】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？

最大月收益是多少？

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】xx年，北京，高考春

【解析】

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：

=12，所以这时租出了88辆车.

（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：

f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：

f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.

点评：

本题贴近生活。

要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。

【答案】

（1）租出了88辆，

（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元

【例11】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、万件、万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中a，b，c为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？

并说明理由.

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

（1）利用二次函数模型，设

由已知条件可得方程组：

，

解得

∴

把4月份代入可得

（2）用模型2，即指数模型＝

把1，2，3月分别代入可得方程组如下：

解方程组可得：

，×＋

∴，综上可知用模型×＋好.

答：

用模型×＋作为模拟函数较好.

【答案】用模型×＋作为模拟函数较好

【例12】一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时a海里时，每小时所耗燃料费为b元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为c元（与航速无关），若该海轮匀速航行d海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？

此时的总费用为多少？

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省，那么就要找到总费用和航速的关系，总费用等于燃料费和其它费用的总和，燃料费与时间和航速有关，而其它费用只和时间有关，而时间又是由航速确定的，所以本题的一切变量都可以用航速表达出来，从而可以列出函数关系求最值.

由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为k，则：

，

设航速为每小时海里使最省，则：

航行的总费用为

当，即时取最小值.

答：

当航速满足时，费用最小，其最小值为.

【答案】当航速满足时，费用最小，其最小值为

【例13】有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式：

p=x，q=.现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：

对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入9－x万元.

设利润为y万元，.

∴y===，

∴当=2,即x=4时，ymax=1.3.

所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元.

【例14】某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x（0

（1）写出y与x的关系式；

（2）为使日利润最大，问x应取何值？

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

（1）由题意

（2）要保证日利润最大，则当且仅当时.

【答案】

（1）

（2）时

【例15】某商店按每件80元的价格，购进时令商品（卖不出去的商品将成为废品）1000件；市场调研推知：

当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少5件；为获得最大利润，商店决定提高售价x元，请将获得总利润y元表示为x的函数，并确定合理售价，求出最大利润.

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设比100元的售价高元，总利润为元；则

.

显然，当即售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元.

【答案】售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元

【例16】某商场经销一批进货单价为40元的商品,销售单价与日均销售量的关系如下表：

销售单价/元

50

51

52

53

54

55

56

日均销售量/个

48

46

44

42

40

38

36

为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.

设销售单价定为x元，则每个利润为（x－40）元，日均销量为个.

由于，且，得.

则日均销售利润为

，.

易知，当，y有最大值.

所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.

点评：

从表格中发现存在的变化规律，是课标教材中对提价后销量减少一类应用问题相比大纲教材的改进.这种表格背景更符合实际，规律都是从样本数据中发现，而不是直接生硬地得到，同时也提高了读表分析这一数学阅读理解能力.

【答案】定为57元时较为合理

题型三：

分段函数型

【例17】某集团公司在xx年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：

一期xx年投入

1亿元

兴建垃圾堆肥厂

年处理有机肥十多万吨

年综合收益

2千万元

二期xx年投入

4亿元

兴建垃圾焚烧发电一厂

年发电量1.3亿kw/h

年综合收益

4千万元

三期xx年投入

2亿元

兴建垃圾焚烧发电二厂

年发电量1.3亿kw/h

年综合收益

4千万元

如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设xx年以后的x年的总收益为f（x）（单位：

千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理。

由表中的数据易得，

显然，当n≤4时，不能收回投资款。

当n≥5时，由f（n）=10n-24>70，

得n>9.4，取n=10。

所以到xx年可以收回全部投资款。

点评：

分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果。

【答案】到xx年可以收回全部投资款

【例18】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中

（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中

（2）的抛物线表示.

图2—10

（1）写出图中

（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）；

写出图中

（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

（注：

市场售价和种植成本的单位：

元／102，ｋg，时间单位：

天）

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】xx年，全国，高考

【解析】

（1）由图

（1）可得市场售价与时间的函数关系为

f（t）＝

由图

（2）可得种植成本与时间的函数关系为

g（t）＝（t－150）2＋100，0≤t≤300．

（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）＝f（t）－g（t），

即h（t）＝

当0≤t≤200时，配方整理得h（t）＝－（t－50）2＋100，

所以，当t＝50时，h（t）取得区间［0，200］上的最大值100；

当200＜t≤300时，配方整理得

h（t）＝－（t－350）2＋100，

所以，当t＝300时，h（t）取得区间（200，300］上的最大值87.5.

综上，由100＞87．5可知，h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.

点评：

本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.

【答案】

（1）f（t）＝

g（t）＝（t－150）2＋100，0≤t≤300．

（2）从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大

【例19】某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高一元，则日销量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设此商品每个售价为x元，日利润为y元，则：

当时：

即商品按20元每个售出时最大日利润为500元；

当时：

此时商品按每个17元售出时获得最大日利润为490元.

答：

定价为20元可获日最大利润.

【答案】定价为20元可获日最大利润

【例20】中国青年报xx年3月19日报道：

中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：

“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法.

具体方案如下：

方案代号

基本月租（元）

免费时间（分钟）

超过免费时间的话费（元/分钟）

1

30

48

0．60

2

98

170

0．60

3

168

330

0．50

4

268

600

0．45

5

388

1000

0．40

6

568

1700

0．35

7

788

2588

0．30

原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：

（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；

（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；

（3）据中国移动xx年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】xx年，北京，高中数学知识应用竞赛

【解析】

（1）

（2）当0≤t≤600时，解不等式50+0.4t≥268，得545≤t≤600（t∈N），

当t>600时，解不等式50+0.4t≥268+0.45（t-600），得600

综上，545≤t≤1040时（t∈N），第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱.

（3）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即50+0.4×320），所以，不会选择月租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式.

第一种方式的话费为：

30+0.6×（320-48）=193.2（元）；

第二种方式的话费为：

98+0.6×（320-170）=188（元）；

第三种方式的话费为：

168元.

故选择第三种方式.

事实上，相对于原收费方式，当通话时间大于244分钟时，第一种方式不合算，当通话时间只有在120分钟至270分钟时，第二种方式较合算.

【答案】

（1）

（2）第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱.

（3）第三种方式

【例21】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：

服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；

（2）据进一步测定：

每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

（1）当时，；当时，，此时在曲线上，

∴，这时.所以.

（2）∵，即

，解得，∴.

∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时.

生活中有许多实际问题，常作为函数模型的应用背景.我们需依据四步曲“读题理解→建模转化→求解问题→检验作答”求解，从冗长的文字语言中精炼出数学语言，选择合适的数学模型来研究.

【答案】

（1）

（2）小时

【例22】“依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算,总收入不超过800元,免征个人所得税，超过800元部分需征税.设全月纳税所得额为x，x=全月总收入－800元，税率见下表：

级数

全月纳税所得额

税率

1

不超过500元部分

5%

2

超过500元至xx元部分

10%

3

超过xx元至5000元部分

15%

…

…

…

9

超过10000元部分

45%

（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1~3级纳税额f（x）的计算公式；

（2）某人xx年10月总收入3000元，试求该人此月份应缴纳个人所得税多少元；

（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于

A.800~900元B.900~1200元C.1200~1500元D.1500~2800元

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

（1）依税率表，有：

第一段：

x·5%，0＜x≤500；

第二段：

（x－500）×10%+500×5%，500＜x≤xx；

第三段：

（x－xx）×15%+1500×10%+500×5%，xx＜x≤5000，

即f（x）=.

（2）这个人10月份应纳税所得额x=3000－800=2200，

f（2200）=0.15×