初高中数学衔接预习教材共16讲第15讲 函数的单调性与最值.docx

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初高中数学衔接预习教材共16讲第15讲函数的单调性与最值

初高中数学衔接预习教材（共16讲）：

第15讲函数的单调性与最值

第第15讲函数的单调性与最值函数是描述事物运动变化的数学模型，如果了解函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律，因此要研究函数的性质1﹒函数的单调性观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

思考1：

随x的增大，y的值有什么变化？

思考2：

观察yx和2yx的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？

xy123123123123O

（1）（）fxx①从左至右图象上升还是下降?

②在区间____（,）_______上，随着x的增大，（）fx的值逐渐__增大______．

（2）2（）fxx①在区间____（,0）___上，随着x的增大，（）fx的值逐渐_减小_______．②在区间____（0,）____上，随着x的增大，（）fx的值逐渐__增大______．如何利用解析式2（）fxx描述随着随着x的增大，相应的（）fx的值随着增大？

在区间（0,）上，任取两个12,xx，得到221122（）,（）fxxfxx，当12xx时，有12（）（）fxfx，这时我们就说函数2（）fxx在（0,）上是增函数．1.1单调递增函数设函数（）yfx的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量12,xx，当12xx时，都有12（）（）fxfx，那么就说（）fx在区间D上是增函数．图1单调增函数图2单调减函数几点说明：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量12,xx，当12xx时，都有12（）（）fxfx．1.2单调递减函数设函数（）yfx的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量12,xx，当12xx时，都有12（）（）fxfx，那么就说（）fx在区间D上是减函数．【例1】如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f（x）的图象，根据图象说出y=f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，函数（）yfx是增函数还是减函数.解：

函数（）yfx在区间[5,2],[1,3]是减函数，在区间[2,1],[3,5]是增函数．注意：

函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以．练习1画出函数24||3yxx=-+的图象，并指出它的的单调区间．解：

图象如下，在区间（,2]-?

、[0,2]是减函数，在区间[2,0]-、[2,）+?

是增函数．【例2】证明：

函数（）32fxx在,上是增函数．思考：

如何证明一个函数是单调递增的呢？

证明：

在区间,上任取两个值12,xx且12xx，步骤①：

取值2121（）（）（32）（32）fxfxxx则213（）xx步骤②：

作差变形12,,xx，且12xx，210xx21（）（）0fxfx即21（）（）fxfx步骤③：

判断符号所以函数（）32fxx在区间上,是增函数.步骤④：

下结论小结：

利用定义证明函数（）fx在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①取值：

任取12,xxD，且12xx；②作差：

12（）（）fxfx；③变形：

（因式分解和配方等）乘积或商式；④定号：

（即判断差12（）（）fxfx的正负）；⑤下结论：

（即指出函数（）fx在给定的区间D上的单调性）．例【例3】物理学中的玻意耳定律（）kpkV为正常数告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．证明：

根据单调性的定义，设1V，2V是定义域（0，+）上的任意两个实数，且12VV，则21121212（）（）VVkkpVpVkVVVV，由12,（0,）VV且12VV，得120VV，210VV，又0k，于是12（）（）0pVpV，即21（）（）pVpV，所以，函数kpV是（0,）V上的减函数也就是说，当体积V减少时，压强p将增大．练习1：

利用单调性的定义判断2（）1xfxx在（0,1）上的单调性解：

设12,xx是区间（0,1）上的任意两个实数，且12xx，则1212212112121212222

（1）2

（1）2（）（）（）11

（1）

（1）

（1）

（1）xxxxxxxxfxfxxxxxxx由于1201xx，得210xx，12

（1）

（1）0xx于是12（）（）0fxfx，即12（）（）fxfx所以，函数2（）1xfxx是区间（0,1）上的减函数.例【例4】设函数1（）fxxx，证明：

（）fx在（0,1）单调递减；在（1,）上单调递增．证明：

任取1212（0,1,,）xxxx且,21121212121212122111（）（）（）（）（）（）xxfxfxxxxxxxxxxxxx1212121212（）

（1）1（）

（1）xxxxxxxxxx1201xx，120xx，121xx，1210xx，12（）（）0fxfx，即12（）（）fxfx，函数1（）fxxx在（0,1）上是减函数．同理可证，1（）fxxx在（1,）上单调递增．练习1：

证明3（）1fxx在R上的单调递减证明：

任取1212,,Rxxxx且33223312122121221111（）（）（（）（））（）fxfxxxxxxxxxxx，因为12xx，所以210xx，2222221112213（）024xxxxxxx，所以12（）（）0fxfx，即12（）（）fxfx，所以3（）1fxx在R上的单调递减．例【例5】若函数2（）2

（1）2fxxbx在（,4]上是减函数，求b的取值范围解：

2（）2

（1）2fxxbx是开口向上的抛物线，由图象可知，（）fx在2

（1）（,]2b是减函数，2

（1）（,4]（,]2b，

（1）4b，3b．练习1：

函数（）fx在（0,）上是减函数，则2

（1）faa______3（）4f（比较大小）.解：

221331（）0244aaa，又f（x）在（0,）上是减函数，23

（1）（）4faaf.练习2：

若函数2（）2fxxmx在（,4]上是减函数，则m的取值范围是__________解：

[8,）.练习3：

讨论函数223f（x）xax在（2,2）内的单调性.解：

223f（x）xax的对称轴是xa当2a时，f（x）在（2,2）上单调递增；当22a时，f（x）在（2,）a单调递减，在（,2）a上单调递增；当2a时，f（x）在（2,2）上单调递减.A组1．在区间（0,）上不是增函数的函数是（）A．y=2x＋1B．y=3x2＋1C．y=x2D．y=2x2＋x＋12．函数f（x）=4x2－mx＋5在区间（2,）上是增函数，在区间（,2）上是减函数，则f

（1）等于（）A．－7B．1C．17D．253．函数f（x）在区间（－2，3）上是增函数，则y=f（x＋5）的递增区间是（）A．（3，8）B．（－7，－2）C．（－2，3）D．（0，5）4．若（）fx是[,]ab上增函数，对于任意的12,[,]xxab（12xx），下列结论不正确的是（）A．1212（）（）0fxfxxxB．1212（）[（）（）]0xxfxfxC．12（）（）（）（）fafxfxfbD．21210（）（）xxfxfx5．函数）2（）（||）（xxxgxxf和的递增区间依次是（）A．]1,（],0,（B．）,1[],0,（C．]1,（）,,0[D）,1[）,,0[B组1．已知函数2212fxxax在区间4,上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a3B．a－3C．a5D．a32．已知f（x）在区间（－，＋）上是增函数，a、bR且a＋b0，则下列不等式中正确的是（）A．f（a）＋f（b）－f（a）＋f（b）］B．f（a）＋f（b）f（－a）＋f（－b）C．f（a）＋f（b）－f（a）＋f（b）］D．f（a）＋f（b）f（－a）＋f（－b）3．若f（x）是R上增函数，且12（）（）fxfx，则12,xx的大小关系为___________4．f（x）是定义在（0，＋）上的增函数，且（）（）（）xffxfyy

（1）求f

（1）的值．

（2）若f（6）=1，解不等式f（x＋3）－f（x1）＜2．5．设f（x）是定义在（－2，2）上的减函数，并且f（m－1）－f（1－2m）＞0，求实数m的取值范围．2.函数的最值2.1函数的最大值一般地，设函数（）fx的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有（）fxM；

（2）存在0xI，使得0（）fxM.那么，我们称M是函数（）yfx）的最大值（maximumvalue）．2.2函数的最小值一般地，设函数（）fx的定义域为I，如果存在实数m满足：

（1）对于任意的xI，都有（）fxm；

（2）存在0xI，使得0（）fxm.那么，我们称m是函数（）yfx）的最小值（minimumvalue）．注意：

1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0xI，使得0（）fxM；2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的的xI，都有（）fxM（（）fxm）．例【例1】求函数2（）41fxxx，[1,5]x的值域解：

22（）41

（2）3fxxxx，因为2[1,5]，所以当2x时，min（）3fx；当1x或5x时，max（）1406fx，所以函数（）fx的值域为：

[3,6]．例【例2】求函数21yx在区间[2，6]上的最大值和最小值．解：

设12,xx是区间[2,6]上的任意两个实数，且12xx，则2121121221212[

（1）

（1）]2（）22（）（）11

（1）

（1）

（1）

（1）xxxxfxfxxxxxxx由于1226xx，得210xx，12

（1）

（1）0xx于是12（）（）0fxfx，即12（）（）fxfx所以，函数21yx是区间[2,6]上的减函数．因此，函数21yx在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4．小结：

利用函数单调性判断函数的最大（小）值的方法：

（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

（2）利用图象求函数的最大（小）值（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f（x）在x=a处有最小值f（a）,在x=b处有最大值f（b）；如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；练习1．求函数1

（2）2xfxx的最值解：

方法一：

当1x时，3（5）fxx，（）

（1）2fxf；当12x时，（）3fxx，

（2）（）

（1）ffxf，即1（）2fx；当2x时，351））（（2fxxf．所以min（）

（1）2ffx，（）fx无最大值．方法二：

画出（）fx的图象，如右图所示，当2x，（）fx有最小值1，（）fx无最大值．练习2．求函数1（）fxxx（[2,4]x）的最大值和最小值解：

可以证明1（）fxxx在[2,4]x上是单调递增函数，所以min13（）

（2）222fxf；max115（）（4）444fxf．练习3已知函数2

（1）fxxxt，求（）fx在区间[0,2]上的最小值（其中t为常数）．解：

函数21yxtx的对称轴为2tx．

（1）当对称轴在所给范围左侧．即0t时：

当0x时，min1y；

（2）当对称轴在所给范围之间．即022t，即04t时，当2tx，2min14ty；（3）当对称轴在所给范围右侧．即4t时，当2x时，min32yt综上所述：

2min1,01,04432,4ttyttt．A组1．函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x[－2，＋）时，f（x）为增函数，当x（－，－2]时，函数f（x）为减函数，则m等于（）A．－4B．－8C．8D．无法确定2．函数f（x）＝，则f（x）的最大值、最小值为（）A．10,7B．10,8C．8,6D．以上都不对3．下列四个函数：

①y＝；②y＝x2＋x；③y＝－（x＋1）2；④y＝＋2.其中在（－，0）上为减函数的是（）A．①B．④C．①④D．①②④4．若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．B组1．函数y＝－x2的单调减区间是（）A．[0，＋）B．（－，0]C．（－，0）D．（－，＋）2．若函数f（x）定义在[－1,3]上，且满足f（0）f

（1），则函数f（x）在区间[－1,3]上的单调性是（A．单调递增B．单调递减C．先减后增D．无法判断3．已知函数y＝f（x），xA，若对任意a，bA，当ab时，都有f（a）f（b），则方程f（x）＝0的根（）A．有且只有一个B．可能有两个C．至多有一个D．有两个以上4．设函数f（x）在（－，＋）上为减函数，则（）A．f（a）＞f（2a）B．f（a2）＜f（a）C．f（a2＋a）＜f（a）D．f（a2＋1）＜f（a）5．下列四个函数在（－，0）上为增函数的是（）①y＝|x|；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.A．①②B．②③C．③④D．①④6．下列说法中正确的有（）①若x1，x2I，当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则y＝f（x）在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④y＝的单调递减区间是（－，0）（0，＋）．A．0个B．1个新课C．2个D．3个7．若函数y＝－在（0，＋）上是减函数，则b的取值范围是________．8．若f（x）＝x2＋bx＋c，且f

（1）＝0，f（3）＝0

（1）求b与c的值；

（2）试证明函数f（x）在区间（2，＋）上是增函数．9．已知f（x）是定义在[－1,1]上的增函数，且f（x－1）＜f（1－3x），求x的取值范围．10．设函数y＝f（x）＝在区间（－2，＋）上单调递增，求a的取值范围．第第15讲函数的单调性与最值答案1.函数的单调性A组1-5：

CDBCC1．A2．B3．12xx4．解析：

①在等式中0yx令，则f

（1）=0．②在等式中令x=36，y=6则.2）6

（2）36（）,6（）36（）636（fffff故原不等式为：

）,36（）1（）3（fxfxf即f[x（x＋3）]＜f（36），又f（x）在（0，＋）上为增函数，故不等式等价于：

.23153036）3（00103xxxxx5．解析：

∵f（x）在（－2，2）上是减函数由f（m－1）－f（1－2m）＞0，得f（m－1）＞f（1－2m）32232131211,2212212mmmmmmm即解得3221m，m的取值范围是（－32,21）2.函数的最值A组1．B2．A3．A4．（－，40][64，＋）B组1．A.2．D.3．C4．D5．C6．A.7．（－，0）8．解：

（1）∵f

（1）＝0，f（3）＝0，，解得b＝－4，c＝3.

（2）证明：

∵f（x）＝x2－4x＋3，设x1，x2（2，＋）且x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝（x－4x1＋3）－（x－4x2＋3）＝（x－x）－4（x1－x2）＝（x1－x2）（x1＋x2－4），∵x1－x2＜0，x1＞2，x2＞2，x1＋x2－4＞0.f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．函数f（x）在区间（2，＋）上为增函数．9．已知f（x）是定义在[－1,1]上的增函数，且f（x－1）＜f（1－3x），求x的取值范围．解：

由题意可得即0x＜.10．设函数y＝f（x）＝在区间（－2，＋）上单调递增，求a的取值范围．解：

设任意的x1，x2（－2，＋），且x1＜x2，∵f（x1）－f（x2）＝－＝＝.∵f（x）在（－2，＋）上单调递增，f（x1）－f（x2）＜0.＜0，∵x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，2a－1＞0，a＞.